\documentclass{jarticle}
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\usepackage{latexsym}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{定理}
\newtheorem{definition}{定義}
\newtheorem{question}{問}
\title{有限群}
\author{能美武功・坪井道雄・植野耕治}
\begin{document}
\maketitle
~~~~~~~~~~~~~Finite Group \\
~~~~~~~~Takenori Noumi, Michio Tsuboi and Kohji Ueno \\

アブストラクト \\
~~計算機の発達により先端の学問の領域がより容易に前進出来るようになったことは当然
であるが、一方また計算機は、基礎的な概念を初心者に容易に理解させる手段にもなり得る。
本稿では、有限群の基礎的な概念、結合律、が群を決定する上で如何に重要な役割を果たし
ているかを、計算機により動画的にはっきりと見せる、また、実際に群を決定して見せる、
ことを目的としている。\\

It is natural that development of computers enabled us to make further and more rapid
progress into advanced scientific domains. But it has also enabled us more easily
than before to help beginners understand fundamental concepts of science. This thesis
aims to show through the animation of numbers how the associative law plays the main
role in deciding finite groups and how some finite groups are constructed by this method. \\
\\
まえがき\\
~~群論は、数学・情報科学にとどまらず、物理学・化学にも関連する重要なものであるが、
理論構成は抽象的で初心者にはとりつきにくく、教育に苦心するところである。この論文は、
一つには、その解決の方法を実践的に示すものである。（群論全般については、例えば[1]参照。）\\
~~そのためにここでは、位数の小さい有限群の決定をテーマとして、定義から出発して具体的な
群表を数え上げる、という作業を通して理解を深め、またその過程で、順次必要となる概念、
重要な結果を述べてゆくことにする。さらに、内容を問の形にして、自発的に修得してゆけるように
工夫した。\\
~~またあわせて、理論の構成をより感覚的に実感させるため、結合律を活用して、正規部分群に、
その外にある部分群を作用させたときの関係を入れれば、自然に群が決定されてゆくプログラムを作成
した。また群の決定の際、同型の処理が厄介であるが、群表を入力すれば、位数表が出来るプログラム
ならびに、位数表が同じ群については、 同型写像を捜す（捜せない場合は、位数表は同じであるが、
同型ではない場合である。これは位数16の場合に実際に存在する。）プログラムを作成し、これらにより
位数16の群と位数24の群が決定できることを示した。\\
~~数学的に興味ある内容としては、位数16、24の群の構造を知る上で重要な二つの定理
（定理\ref{位数16に関する主定理}、定理\ref{位数24に関する主定理}）を与え、これらを基礎として上述の決定を行った。
分類の結果自体は以前より知られたものであり、例えば文献[2]に表の形であげられているが、
そこでは決定の方法は示されていないし、群の表示の仕方も、生成元と基本関係によるもので
あって、必ずしも分かりやすく使いやすいものとは言えないであろう。\\
~~本文ははじめに述べた方針に従って構成し、第6節迄に基本的な概念の解説、位数15迄の群の決定、
プログラムの解説とそれを用いる例を述べている。第7節では位数16の場合、第8節では位数24の場合
を扱う。最後に付録として、上述のプログラムを記している。\\
~~第6節迄および第9節のシローの定理のように既知の結果であっても、本論文の趣旨と、読者の
便宜のために、なるべく理解しやすい証明を選んで与え、用いる例をそえている。例えば第3節のおける
可換群の基本定理は、整数環Ｚ上の加群の基底の変換を行うことによって証明することが多いが、
これは初学者にとって非常に分かり難い。本稿では、巡回群の定理を用いることによって基本定理
の理解を容易にし、さらに生成元の具体的な計算法も説明している。但し、再び煩雑になることを恐れ、
一意性は示していない。\\
~~本稿の述べ方に従えば、原理的には、「自動」プログラムと、「同型」プログラムを使えば群表が出来、
分類されてしまう訳であるが、それだけでは無味乾燥である。出生の秘密を知り、初めて個々の群に
個性が出来てくる。有限群は数学におけるこのあたりの機微を知るための好個の材料である。\\
~~本稿は本文を能美、坪井が担当し、プログラムを植野が担当した。\\

~~ 参考文献
~~[1]~~浅野啓三・永尾汎：群論、岩波全書261、岩波書店、東京、1965年。pp252 \\
~~ [2] H.S.M. Coxeter・W.O.J.Moser：Generators and Relations for Discrete Groups,
second edition, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Neue Folge 14,
Springer-Verlag, Berlin, 1965年、pp161
\section{群の定義}

\subsection{導入}\label{導入}

\begin{definition}{演算}\label{演算}\\
~~集合S が与えられているとき、\\
S の 「$\circ$~~演算」とは、写像\\
~~~~~~~~~~~~~~$\circ$:~(S $\times$ S)$\longrightarrow$ S \\
~~~~~~~~~~~~~~~~~(a,b) $\longmapsto$ a $\circ$ b
~~~~のことである。\\
\end{definition}

\begin{question}
問~~S=\{a,b\}~~のとき、すべての演算を作れ。\\
\begin{math}
解~~2^4=16 通りある。辞書式に書くと、
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|cc|c|cc|c|cc|c|cc}
1&$a$&$b$&2&$a$&$b$&3&$a$&$b$&4&$a$&$b$\\ \hline
$a$&$a$&$a$&$a$&$a$&$a$&$a$&$a$&$a$&$a$&$a$&$a$\\
$b$&$a$&$a$&$b$&$a$&$b$&$b$&$b$&$a$&$b$&$b$&$b$\\ \hline
5&$a$&$b$&6&$a$&$b$&7&$a$&$b$&8&$a$&$b$\\ \hline
$a$&$a$&$b$&$a$&$a$&$b$&$a$&$a$&$b$&$a$&$a$&$b$\\
$b$&$a$&$a$&$b$&$a$&$b$&$b$&$b$&$a$&$b$&$b$&$b$\\ \hline
9&$a$&$b$&10&$a$&$b$&11&$a$&$b$&12&$a$&$b$\\ \hline
$a$&$b$&$a$&$a$&$b$&$a$&$a$&$b$&$a$&$a$&$b$&$a$\\
$b$&$a$&$a$&$b$&$a$&$b$&$b$&$b$&$a$&$b$&$b$&$b$\\ \hline
13&$a$&$b$&14&$a$&$b$&15&$a$&$b$&16&$a$&$b$\\ \hline
$a$&$b$&$b$&$a$&$b$&$b$&$a$&$b$&$b$&$a$&$b$&$b$\\
$b$&$a$&$a$&$b$&$a$&$b$&$b$&$b$&$a$&$b$&$b$&$b$ \\ \hline
\end{tabular} \]
表は、列を左からかける元、行を右からかける元、と見ることにする。\\
例えば3において、a $\circ$ b=a であり、 b $\circ$ a=b である。 ~~~（解おわり）
\end{question}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%ここで定義\ref{演算}より
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}{群の定義}\label{群}\\
~~集合S とその演算 $\circ$~~~が定義されているとする。\\
~~~このとき、（S, $\circ$）が群であるとは、その演算が次の3項目を満たしているときをいう。\\
~~~~~ 1）（a $\circ$ b）$\circ$ c = a $\circ$ （b $\circ$ c）（結合律）\\
~~~~~ 2）$\exists$ e such that e $\circ$ a = a $\circ$ e =a （単位元の存在）\\
（ある元があって、その元に他のどんな元を左から或いは右からかけても、
そのかけた元になる。その「ある元」を単位元という。）\\
~~~~~3）$\forall$ a $\exists$ \begin{math} a^{-1}\end{math} such that
a $\circ$ \begin{math} a^{-1} \end{math} =e （逆元の存在）\\
（どんな元を取ってきても、その元に応じて、ある元を捜してきて、
右からその元をかけると2）の「単位元」になる。）\\
\end{definition}

註 ~~ 0）として演算の $a$ $\circ$ $b$ $\in$ S をつけ加えれば、群とは、\\
~~~~ 「0), 1), 2), 3)をみたすもの」

\begin{question}
前問において群をなすものを上げよ。群をなさないものはその理由を述べよ。\\
解~~~ a=e とすると、a $\circ$ a = a , a $\circ$ b = b, b $\circ$ a = b \\
故に、演算表は、
\[ \begin{tabular}{c|cc}
& a & b\\ \hline
a & a & b\\
b & b & $\star$ \\
\end{tabular} \]
とならなければならない。\\
同様に、b=e とすると、演算表は、\\
\[ \begin{tabular}{c|cc}
& a & b\\ \hline
a & $\star$ & a\\
b & a & b\\
\end{tabular} \]
となる。\\
この判定条件により、1,3,4,5,6,9,11,12,13,14,16 は駄目。\\
残るは 2,7,8,10 のみ。
e=a の可能性ありのものは７と８。\\
７
\[ \begin{tabular}{c|cc}
& a & b\\ \hline
a & a & b\\
b & b & a\\
\end{tabular} \]
8
\[ \begin{tabular}{c|cc}
& a & b\\ \hline
a & a & b\\
b & b & b\\
\end{tabular} \]
e=b の可能性ありのものは 2 と10。\\
２
\[ \begin{tabular}{c|cc}
& a & b\\ \hline
a & a & a\\
b & a & b\\
\end{tabular} \]
10
\[ \begin{tabular}{c|cc}
& a & b\\ \hline
a & b & a\\
b & a & b\\
\end{tabular} \]
このうち、８と２は条件３）を満たさない。\\
見やすくするために、e を使うと、８は、\\
\[ \begin{tabular}{c|cc}
& e & b\\ \hline
e & e & b\\
b & b & b\\
\end{tabular} \]
\begin{math}
b の右から何をかけてもb になり、e になるものがない。即ち、b^{-1}に相当するものがない。
\end{math}
また２は、
\[ \begin{tabular}{c|cc}
& a & e\\ \hline
a & a & a\\
e & a & e\\
\end{tabular} \]
\begin{math}
a の右から何をかけてもa になり、e になるものがない。即ち、a^{-1}に相当するものがない。
\end{math}
残りは7と10。7は、
\[ \begin{tabular}{c|cc}
& e & b\\ \hline
e & e & b\\
b & b & e\\
\end{tabular} \]
b $\circ$ b=e で、\begin{math} b^{-1} \end{math} の役割はbが果たしている。また10は、\\
\[ \begin{tabular}{c|cc}
& a & e\\ \hline
a & e & a\\
e & a & e\\
\end{tabular} \]
a $\circ$ a=e で、\begin{math} a^{-1} \end{math} の役割はaが果たしている。\\
即ち、条件０、２、３を満たす。\\
あとは条件１（結合則）を確かめればよい。\\
これは、$\bigcirc$ $\circ$ $\bigcirc$ $\circ$ $\bigcirc$ を計算する。
\begin{math} 2^{3} \end{math}通りある。\\
演算表７に関して言えば、次の８個の等式が成立するかどうかを確かめる。\\
~~~~~~~e $\circ$ (e $\circ$ e) = (e $\circ$ e) $\circ$ e\\
~~~~~~~e $\circ$ (e $\circ$ b) = (e $\circ$ e) $\circ$ b\\
~~~~~~~e $\circ$ (b $\circ$ e) = (e $\circ$ b) $\circ$ e\\
~~~~~~~e $\circ$ (b $\circ$ b) = (e $\circ$ b) $\circ$ b\\
~~~~~~~b$\circ$ (e $\circ$ e) = (b $\circ$ e) $\circ$ e\\
~~~~~~~b $\circ$ (e $\circ$ b) = (b $\circ$ e) $\circ$ b\\
~~~~~~~b $\circ$ (b $\circ$ e) = (b $\circ$ b) $\circ$ e\\
~~~~~~~b $\circ$ (b $\circ$ b) = (b $\circ$ b) $\circ$ b\\
この場合、e が登場してくるものは成立するに決まっているから、最後のものだけを確かめればよい。\\
~~~~~~~b $\circ$ (b $\circ$ b) = b $\circ$ e= b\\
~~~~~~~ (b $\circ$ b) $\circ$ b=e $\circ$ b= b\\
$\therefore$ 左=右\\
10も、\\
~~~~~~~a $\circ$ (a $\circ$ a) = a $\circ$ e= a\\
~~~~~~~ (a $\circ$ a) $\circ$ a=e $\circ$ a= a\\
$\therefore$ 左=右\\
即ち、7と10のみが群をなす。（解おわり）\\
\end{question}
註~~以後、（S, $\circ$）のことを単に「 G ： 群 」と書き、演算 $\circ$ も省略する。\\
~~~~ 即ち、$a$ $\circ$ $b$ を単に、$ab$ と書く。

\begin{definition}{同型}\label{同型}\\
~~2個の群GとG' が与えられているとき、
Ｇ$\simeq$G' ： G と G' は同型 ~~~とは、\\
$\Leftrightarrow$ $\exists$ f ：Ｇ$\longrightarrow$ G' \\
such that\\
~~ f ：１対１ onto \\
~~~~且つ$\forall$ x, y $\in$ G に対して、f(x)f(y)=f(xy)\\
（言葉でいうと、「G から G' への１対１ onto な写像f を探してきて、
次の条件を満たせるように出来ればよい。即ち、G の中の任意の二つの元 x, y を取り、xyを作る。
そのとき、x, y の f による行く先f(x), f(y) をかけたf(x)f(y)と、xy のf による行く先 f(xy)
とが等しい。」）\\
\end{definition}

\begin{theorem}{同型により単位元は単位元に移る}\label{単位元は単位元に移る}\\
G の単位元e の同型写像 f による像f(e)は、G' の中の単位元である。\\
証明~~~G' の中のどんな元を右（左）からかけても、そのかけた元になることを言えばよい。\\
~~~~G' の元をx' とすると、f は１対１ onto だから、ある元x がG の中にあって、そのf による像はx'。
~~~~つまり、f(x)=x'。さて、「f(e) $\circ$ x' =x'」を言えばよい。（左からかけたときも同じ。）\\
~~~~f(e) $\circ$ x'=f(e) $\circ$ f(x)=f(ex)=f(x)=x' ~~~~証明おわり。
\end{theorem}

\begin{question}
問１の７と１０が同型であることを確かめよ。\\
解~~~f：群７$\longrightarrow$ 群１０\\
~~~~~~~~~~~e $\longmapsto$ e\\
~~~~~~~~~~~b $\longmapsto$ a\\
とすれば、このf が求める同型写像。\\
１対１ onto は自明。\\
あとは、$\forall$ x, y $\in$ G に対して、f(x)f(y)=f(xy) を確かめればよい。\\
~~~~G には e と b しかないから、次の４個の式を確かめればよい。\\
~~~~~~~~~~~~~~~~f(e)f(e)=f(ee)\\
~~~~~~~~~~~~~~~~f(e)f(b)=f(eb)\\
~~~~~~~~~~~~~~~~f(b)f(e)=f(be)\\
~~~~~~~~~~~~~~~~f(b)f(b)=f(bb)\\
これは、上から、e=e, a=a, a=a, e=e となりいずれも成り立つ。\\
即ち、７と１０は同型。（解おわり）\\
\end{question}
後の問を解くのに、次の定理が役に立つ。\\

\begin{theorem}{違う元に同じ元をかけると違う元が出来る}\label{元の掛け算は一対一}\\
~~~Ｇ ：群 のとき、\\
~~~~~~~~1~~ $a^{-1}$a=e\\
~~~~~~~~2~~ x $\ne$ y $\Longrightarrow$ ax $\ne$ ay \\
~~~~~~~~3~~ x $\ne$ y $\Longrightarrow$ xa $\ne$ ya \\
証明~~ 1 ~~~$a^{-1}$ にも逆元$(a^{-1})^{-1}$ が存在する。\\
~~~~~~~~~a$a^{-1}$=e の両辺にこの元を右からかけて、\\
~~~~~~~~~a$a^{-1}$ $(a^{-1})^{-1}$ =e $(a^{-1})^{-1}$ =$(a^{-1})^{-1}$ \\
~~~~~~~~ここでこの左辺を右の二項を先に計算することによって（結合律）\\
~~~~~~~~左辺=ae=a \\
即ち、 ~~~ $(a^{-1})^{-1}$=a \\
故に ~~~~ $a^{-1}$a=$a^{-1}$ $(a^{-1})^{-1}$ =e \\
~~~~~2 ~~~ 対偶、「ax=ay $\Longrightarrow$ x=y」を示せばよい。\\
~~~~~~~ 左から$a^{-1}$ をかければよい。\\
~~~~~ 3 も 2 と同様。（証明おわり）\\
\end{theorem}

註~~~ 2 の意味は、演算表（以下群表という）を横に見たとき、\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& * & $x$ & * & $y$ & * \\ \hline
* & * & * & * & *& * \\
$a$ & * & $ax$ & * & $ay$ & *\\
* & * & * & * & * & *\\
\end{tabular} \]
同じ行に同じ記号が出てきてはいけない、ことを表している。\\
同様に 3 の意味は群表を縦に見たとき、同じ列に同じ記号が出てきてはいけないことを表している。\\

\subsection{位数3の群}\label{位数3の群}

\begin{question}
S=\{a,b,c\} であるとき、群を作れ。\\
解 a=e として一般性を失わない。\\
\[ \begin{tabular}{c|ccc}
& e & b & c\\ \hline
e & e & b & c\\
b & b & * & *\\
c & c & * & *\\
\end{tabular} \]
\\
前定理より、同じ行、同じ列、に同じ記号は入らない。
bかけるbの場所には従って、e か c しか入らないが、e を入れると、bかけるcの場所に c
しか入らず、これは同じ列に c が２個はいることになり、だめ。即ち、bかけるb
の場所にはｃしか入らない。すると次の群表しかありえないことがわかる。\\
\[ \begin{tabular}{c|ccc}
& e & b & c\\ \hline
e & e & b & c\\
b & b & c & e\\
c & c & e & b\\
\end{tabular} \]
後は、結合則が満たされていることを確かめねばならない。\\
e が含まれていれば成り立つことは明らかなので、次の８通りを確かめればよい。\\
~~~~~~~b $\circ$ (b $\circ$ b) = (b $\circ$ b) $\circ$ b\\
~~~~~~~b $\circ$ (b $\circ$ c) = (b $\circ$ b) $\circ$ c\\
~~~~~~~b $\circ$ (c $\circ$ b) = (b $\circ$ c) $\circ$ b\\
~~~~~~~b $\circ$ (c $\circ$ c) = (b $\circ$ c) $\circ$ c\\
~~~~~~~c $\circ$ (b $\circ$ b) = (c $\circ$ b) $\circ$ b\\
~~~~~~~c $\circ$ (b $\circ$ c) = (c $\circ$ b) $\circ$ c\\
~~~~~~~c $\circ$ (c $\circ$ b) = (c $\circ$ c) $\circ$ b\\
~~~~~~~c $\circ$ (c $\circ$ c) = (c $\circ$ c) $\circ$ c\\
これは順番に、e,b,b,c,b,c,e,e となり、８個とも等式は成立する。
即ち、これは群。\\
つまり、３個の元からなる群はこれただ１個である。（解おわり）\\
\end{question}

\subsection{位数4の群}\label{位数4の群}

\begin{question}
S=\{e,a,b,c\} で、群を作れ。\\
解 前問と同じやり方で捜せば、次の４個が出来る。結合律を確かめると、４個とも満たしていることが分かる。\\

1 \[ \begin{tabular}{c|cccc}
& e & a & b & c \\ \hline
e & e & a & b & c \\
a & a & e & c & b \\
b & b & c & e & a \\
c & c & b & a & e \\
\end{tabular} \]
2 \[ \begin{tabular}{c|cccc}
& e & a & b & c \\ \hline
e & e & a & b & c \\
a & a & e & c & b \\
b & b & c & a & e \\
c & c & b & e & a \\
\end{tabular} \]
3 \[ \begin{tabular}{c|cccc}
& e & a & b & c \\ \hline
e & e & a & b & c \\
a & a & b & c & e \\
b & b & c & e & a \\
c & c & e & a & b \\
\end{tabular} \]
4 \[ \begin{tabular}{c|cccc}
& e & a & b & c \\ \hline
e & e & a & b & c \\
a & a & c & e & b \\
b & b & e & c & a \\
c & c & b & a & e \\
\end{tabular} \]
上の表で、１はどの元も二乗するとe 。他の表では二乗してもe にならない元があるので、１は他の群とは異なることが分かる。
２、３、４で、３が一番見やすい。e を0、a を1、b を2、c を3、と見なすと、\\
3 \[ \begin{tabular}{c|cccc}
& 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\
2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\
3 & 3 & 0 & 1 & 2 \\
\end{tabular} \]
即ち、「４で割った余り同士の足し算」となる。（これを位数４の巡回群~$Z_4 $~という。）
(例えば、3+2=5=4+1 $\equiv$ 1）\\
その見方で群表２、３を見ると、\\
群表２は、a=2, b=3, c=1 となる場合。\\
群表３は、a=3, b=1, c=2 となる場合。\\
即ち、2、3、4 は、同型。（解おわり）\\
\end{question}

\subsection{位数5の群}\label{位数5の群}

\begin{question}
S=\{e,a,b,c,d\} で、群を作れ。\\
解 順序正しく作ってゆくと（左から右へと入る可能性のある記号を埋めてゆく。）\\
aa=b or c or d or e であるが、c or d の時は b としておいて、記号を
入れ換えれば同型ができるから、b のときだけやればよい。aa=e のときはその後作ることにする。\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc|c|ccccc|c|ccccc }
1)&e&a&b&c&d&2)&e&a&b&c&d&3)&e&a&b&c&d\\ \hline
e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d\\
a&a&b&e&d&c&a&a&b&e&d&c&a&a&b&e&d&c\\
b&b&c&d&a&e&b&b&c&d&e&a&b&b&d&c&e&a\\
c&c&d&a&e&b&c&c&d&a&b&e&c&c&e&d&a&b\\
d&d&e&c&b&a&d&d&e&c&a&b&d&d&c&a&b&e\\
\end{tabular} \]
いずれも群ではない。\\
1) は、(ab)c=ec=c 一方、a(bc)=aa=b \\
2) は、(ab)c=ec=c 一方、a(bc)=ae=a \\
3) は、(ab)c=ec=c 一方、a(bc)=ae=a \\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc|c|ccccc|c|ccccc }
4)&e&a&b&c&d&5)&e&a&b&c&d&6)&e&a&b&c&d\\ \hline
e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d\\
a&a&b&e&d&c&a&a&b&c&d&e&a&a&b&c&d&e\\
b&b&d&c&a&e&b&b&e&d&a&c&b&b&e&d&a&c\\
c&c&e&d&b&a&c&c&d&e&b&a&c&c&d&a&e&b\\
d&d&c&a&e&b&d&d&c&a&e&b&d&d&c&e&b&a\\
\end{tabular} \]
いずれも群ではない。\\
4) は、(ab)c=ec=c 一方、a(bc)=aa=b \\
5) は、(cb)a=ea=a 一方、c(ba)=ce=c \\
6) は、(ab)c=cc=e 一方、a(bc)=aa=b \\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc|c|ccccc|c|ccccc }
7)&e&a&b&c&d&8)&e&a&b&c&d&9)&e&a&b&c&d\\ \hline
e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d\\
a&a&b&c&d&e&a&a&b&c&d&e&a&a&b&c&d&e\\
b&b&c&d&e&a&b&b&d&e&a&c&b&b&d&a&e&c\\
c&c&d&e&a&b&c&c&e&d&b&a&c&c&e&d&a&b\\
d&d&e&a&b&c&d&d&c&a&e&b&d&d&c&e&b&a\\
\end{tabular} \]
7) は群。8), 9) は群ではない。\\
8) は、(cb)a=da=c 一方、c(ba)=cd=a \\
9) は、(cb)a=da=c 一方、c(ba)=cd=b \\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc|c|ccccc|c|ccccc }
10)&e&a&b&c&d&11)&e&a&b&c&d&12)&e&a&b&c&d\\ \hline
e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d\\
a&a&b&c&d&e&a&a&b&d&e&c&a&a&b&d&e&c\\
b&b&d&a&e&c&b&b&e&c&d&a&b&b&e&c&d&a\\
c&c&e&d&b&a&c&c&d&e&a&b&c&c&d&a&b&e\\
d&d&c&e&a&b&d&d&c&a&b&e&d&d&c&e&a&b\\
\end{tabular} \]
いずれも群ではない。\\
10) は、(ab)c=cc=b 一方、a(bc)=ae=a \\
11) は、(ab)c=dc=b 一方、a(bc)=ad=c \\
12) は、(ab)c=dc=a 一方、a(bc)=ad=c \\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc|c|ccccc|c|ccccc }
13)&e&a&b&c&d&14)&e&a&b&c&d&15)&e&a&b&c&d\\ \hline
e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d\\
a&a&b&d&e&c&a&a&b&d&e&c&a&a&b&d&e&c\\
b&b&c&e&d&a&b&b&c&a&d&e&b&b&c&a&d&e\\
c&c&d&a&b&e&c&c&d&e&a&b&c&c&d&e&b&a\\
d&d&e&c&a&b&d&d&e&c&b&a&d&d&e&c&a&b\\
\end{tabular} \]
いずれも群ではない。\\
13) は、(ab)c=dc=a 一方、a(bc)=ad=c \\
14) は、(ab)c=dc=b 一方、a(bc)=ad=c \\
15) は、(ab)c=dc=a 一方、a(bc)=ad=c \\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc|c|ccccc|c|ccccc }
16)&e&a&b&c&d&17)&e&a&b&c&d&18)&e&a&b&c&d\\ \hline
e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d\\
a&a&b&d&e&c&a&a&e&c&d&b&a&a&e&c&d&b\\
b&b&d&c&a&e&b&b&c&d&a&e&b&b&c&d&e&a\\
c&c&e&a&d&b&c&c&d&e&b&a&c&c&d&a&b&e\\
d&d&c&e&b&a&d&d&b&a&e&c&d&d&b&e&a&c\\
\end{tabular} \]
16)は群。17),18)は群ではない。\\
17) は、(ab)c=cc=b 一方、a(bc)=aa=e \\
18) は、(ab)c=cc=b 一方、a(bc)=ae=a \\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc|c|ccccc|c|ccccc }
19)&e&a&b&c&d&20)&e&a&b&c&d&21)&e&a&b&c&d\\ \hline
e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d\\
a&a&e&c&d&b&a&a&e&c&d&b&a&a&e&d&b&c\\
b&b&d&e&a&c&b&b&d&a&e&c&b&b&c&e&d&a\\
c&c&b&d&e&a&c&c&b&d&a&e&c&c&d&a&e&b\\
d&d&c&a&b&e&d&d&c&e&b&a&d&d&b&c&a&e\\
\end{tabular} \]
いずれも群ではない。\\
19) は、(cb)a=da=c 一方、c(ba)=cd=a \\
20) は、(cb)a=da=c 一方、c(ba)=cd=e \\
21) は、(ab)c=dc=a 一方、a(bc)=ad=c \\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc|c|ccccc|c|ccccc }
22)&e&a&b&c&d&23)&e&a&b&c&d&24)&e&a&b&c&d\\ \hline
e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d&e&e&a&b&c&d\\
a&a&e&d&b&c&a&a&e&d&b&c&a&a&e&d&b&c\\
b&b&c&a&d&e&b&b&d&c&a&e&b&b&d&c&e&a\\
c&c&d&e&a&b&c&c&b&e&d&a&c&c&b&a&d&e\\
d&d&b&c&e&a&d&d&c&a&e&b&d&d&c&e&a&b\\
\end{tabular} \]
いずれも群ではない。\\
22) は、(ab)c=dc=e 一方、a(bc)=ad=c \\
23) は、(aa)c=ec=c 一方、a(ac)=ab=d \\
24) は、(aa)c=ec=c 一方、a(ac)=ab=d \\
結局、残ったものは二つだけで、\\
7 \[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c &d\\ \hline
e & e & a & b & c &d\\
a & a & b & c & d &e\\
b & b & c & d & e &a \\
c & c & d & e & a &b \\
d & d & e & a & b &c \\
\end{tabular} \]
16 \[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c &d\\ \hline
e & e & a & b & c &d\\
a & a & b & d & e &c\\
b & b & d & c & a &e \\
c & c & e & a & d &b \\
d & d & c & e & b &a \\
\end{tabular} \]
群表７は、見やすい。即ち、a=1,b=2,c=3,d=4 で、5 で割った余りによる足し算。\\
即ち、下記。\\
7 \[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& 0 & 1 & 2 & 3 &4\\ \hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3 &4\\
1 & 1 & 2 & 3 & 4 &0\\
2 & 2 & 3 & 4 & 0 &1 \\
3 & 3 & 4 & 0 & 1 &2 \\
4 & 4 & 0 & 1 & 2 &3 \\
\end{tabular} \]

群表16は、c と d を入れ換えれば、\\
16 \[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & d &c\\ \hline
e & e & a & b & d &c\\
a & a & b & d & c &e\\
b & b & d & c & e &a \\
d & d & c & e & a &b \\
c & c & e & a & b &d \\
\end{tabular} \]
となり、a=1,b=2,c=3,d=4 で、5 で割った余りによる足し算となる。（解おわり）\\
\end{question}

\subsection{結合律を最初に}\label{結合律を最初に}

\begin{question}
前問では、行と列に同じ記号が入らない表を作ってから、その後で結合則を満たすかどうかを考えた。
これを逆にして（即ち、結合則を満たす条件を考慮して、その後、行と列に同じ記号が
入らないようにする、という方針で。）前問を解け。\\
解 まず aa=b とする場合。
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c & d\\ \hline
e & e & a & b & c & d\\
a & a & b & * & * & *\\
b & b & * & * & * & * \\
c & c & * & * & * & * \\
d & d & * & * & * & * \\
\end{tabular} \]
までは前問と同じ。次にab のところにe を入れることにすると、\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c & d\\ \hline
e & e & a & b & c & d\\
a & a & b & e & * & *\\
b & b & * & * & * & * \\
c & c & * & * & * & * \\
d & d & * & * & * & * \\
\end{tabular} \]
a(aa)=ab=e であり、一方、(aa)a=ba であるから、ba=e , また、\\
a(ab)=ae=a であり、一方、(aa)b=bb であるから、bb=a。\\
故に、ab=e と埋めただけで、次は必然となる。\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c & d\\ \hline
e & e & a & b & c & d\\
a & a & b & e & * & *\\
b & b & e & a & * & * \\
c & c & * & * & * & * \\
d & d & * & * & * & * \\
\end{tabular} \]
すると、a の行にはその後、d, c としか入れられず、b の行にはもう上の行と同じものしか
入れられなくなる。従って、この段階で既にab=e とは出来ないことが分かる。\\
そこで、ab=c とすると、（ab=d も同じ。c と d を入れ換えたものが出来るだけ。）\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c & d\\ \hline
e & e & a & b & c & d\\
a & a & b & c & * & *\\
b & b & * & * & * & * \\
c & c & * & * & * & * \\
d & d & * & * & * & * \\
\end{tabular} \]
a(aa)=ab=c であり、一方、(aa)a=ba であるから、ba=c。これから下は必然となる。\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c & d\\ \hline
e & e & a & b & c & d\\
a & a & b & c & * & *\\
b & b & c & * & * & * \\
c & c & * & * & * & * \\
d & d & * & * & * & * \\
\end{tabular} \]
ac には e を入れることが出来ない。(ad=d とせざるを得なくなる。これは駄目。）
従って、ac=d。\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c & d\\ \hline
e & e & a & b & c & d\\
a & a & b & c & d & *\\
b & b & c & * & * & * \\
c & c & * & * & * & * \\
d & d & * & * & * & * \\
\end{tabular} \]
a(ab)=ac=d であり、一方、(aa)b=bb であるから、bb=d。\\
a(ba)=ac=d であり、一方、(ab)a=ca であるから、ca=d。\\
これから下は必然となる。\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c & d\\ \hline
e & e & a & b & c & d\\
a & a & b & c & d & *\\
b & b & c & d & * & * \\
c & c & d & * & * & * \\
d & d & * & * & * & * \\
\end{tabular} \]
上の表まで来ると、ad=e であるから、\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c & d\\ \hline
e & e & a & b & c & d\\
a & a & b & c & d & e\\
b & b & c & d & * & * \\
c & c & d & * & * & * \\
d & d & * & * & * & * \\
\end{tabular} \]
a(ac)=ad=e であり、一方、(aa)c=bc であるから、bc=e。\\
a(ad)=ae=a であり、一方、(aa)d=bd であるから、bd=a。\\
a(bb)=ad=e であり、一方、(ab)b=cb であるから、cb=e。\\
a(bc)=ae=a であり、一方、(ab)c=cc であるから、cc=a。\\
a(bd)=aa=b であり、一方、(ab)d=cd であるから、cd=b。\\
a(ca)=ad=e であり、一方、(ac)a=da であるから、da=e。\\
a(cb)=ae=a であり、一方、(ac)b=db であるから、db=a。\\
a(cc)=aa=b であり、一方、(ac)c=dc であるから、dc=b。\\
a(cd)=ab=c であり、一方、(ac)d=dd であるから、dd=c。\\
結局、次の表が必然となる。\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c & d\\ \hline
e & e & a & b & c & d\\
a & a & b & c & d & e\\
b & b & c & d & e & a \\
c & c & d & e & a & b \\
d & d & e & a & b & c \\
\end{tabular} \]
これが前問の７の表。前問の１６の表は上で c と d を入れ換えたもの。\\
次に aa=e のとき。\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c & d\\ \hline
e & e & a & b & c & d\\
a & a & e & * & * & *\\
b & b & * & * & * & * \\
c & c & * & * & * & * \\
d & d & * & * & * & * \\
\end{tabular} \]
ab=c または ab=d。\\
ab=c とすると、\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c & d\\ \hline
e & e & a & b & c & d\\
a & a & e & c & * & *\\
b & b & * & * & * & * \\
c & c & * & * & * & * \\
d & d & * & * & * & * \\
\end{tabular} \]
a(ab)=ac であり、一方、(aa)b=eb=b であるから、ac=b。即ち、下記は必然。\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c & d\\ \hline
e & e & a & b & c & d\\
a & a & e & c & b & *\\
b & b & * & * & * & * \\
c & c & * & * & * & * \\
d & d & * & * & * & * \\
\end{tabular} \]
すると、ad には d しか入れられず、これは駄目。\\
ab=d とすると、\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c & d\\ \hline
e & e & a & b & c & d\\
a & a & e & d & * & *\\
b & b & * & * & * & * \\
c & c & * & * & * & * \\
d & d & * & * & * & * \\
\end{tabular} \]
a(ab)=ad であり、一方、(aa)b=eb=b であるから、ad=b。即ち、下記は必然。\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& e & a & b & c & d\\ \hline
e & e & a & b & c & d\\
a & a & e & d & * & b\\
b & b & * & * & * & * \\
c & c & * & * & * & * \\
d & d & * & * & * & * \\
\end{tabular} \]
すると ac には c しか入れられず、これは駄目。\\
即ち、aa=e はありえないことが分かる。~~~（解おわり）
\end{question}
\begin{definition}
以後、aa を$a^{2}$, aaa を$a^{3}$, 等々と書く。
\end{definition}

N.B. 以上から群の位数 n （群の元の個数のこと）によって、\\
~~~~~~n=2,3,5 のとき~~~ 構造は１個、\\
~~~~~~n=4 のとき、~~~~~構造は２個、あることが分かった。\\
\\
n=2 のとき、\\
\[ \begin{tabular}{c|cc}
& $e$ & $a$ \\ \hline
$e$ & $e$ & $a$ \\
$a$ & $a$ & $e$ \\
\end{tabular} \]
これを位数２の巡回群という。\\
n=3 のとき、\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& $e$ & $a$ & $a^{2}$ \\ \hline
$e$ & $e$ & $a$ & $a^{2}$ \\
$a$ & $a$ & $a^{2}$ & $e$ \\
$a^{2}$ & $a^{2}$ & $e$ & $a$ \\
\end{tabular} \]
これを位数３の巡回群という。\\
n=5 のとき、\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& $e$ & $a$ & $a^{2}$ & $a^{3}$ & $a^{4}$\\ \hline
$e$ & $e$ & $a$ & $a^{2}$ & $a^{3}$ & $a^{4}$\\
$a$ & $a$ & $a^{2}$ & $a^{3}$ & $a^{4}$ & $e$ \\
$a^{2}$ & $a^{2}$ & $a^{3}$ & $a^{4}$ & $e$ & $a$ \\
$a^{3}$ & $a^{3}$ & $a^{4}$ & $e$ & $a$ & $a^{2}$ \\
$a^{4}$ & $a^{4}$ & $e$ & $a$ & $a^{2}$ & $a^{3}$ \\
\end{tabular} \]
これを位数５の巡回群という。\\
n=4 のときは２個あって、\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccc}
& $e$ & $a$ & $a^{2}$ & $a^{3}$ \\ \hline
$e$ & $e$ & $a$ & $a^{2}$ & $a^{3}$ \\
$a$ & $a$ & $a^{2}$ & $a^{3}$ & $a^{4}$ \\
$a^{2}$ & $a^{2}$ & $a^{3}$ & $a^{4}$ & $e$ \\
$a^{3}$ & $a^{3}$ & $a^{4}$ & $e$ & $a$ \\
\end{tabular} \]
これを位数４の巡回群という。もう一つは、\\
\[ \begin{tabular}{c|cccc}
& $e$ & $a$ & $b$ & $c$ \\ \hline
$e$ & $e$ & $a$ & $b$ & $c$ \\
$a$ & $a$ & $e$ & $c$ & $b$ \\
$b$ & $b$ & $c$ & $e$ & $a$ \\
$c$ & $c$ & $b$ & $a$ & $e$ \\
\end{tabular} \]
これを「Kleinの四元群」という。\\
\begin{question}
前問、（即ち、結合則を最初にする方法で）を計算機にプログラム化せよ。\\
解 「付録１「手入力」（ket4nec.bas)」参照。\\
\end{question}
\section{部分群、剰余類}
次に「S=\{e,a,b,c,d,f\} のとき、群をつくれ。」なる問題を解くのだが、
道具なしではあまりに大変。道具を用意する。\\

\subsection{準備}\label{準備}

\begin{definition}{部分群の定義}\label{部分群}\\
G ：G を群、S をG の空でない部分集合とする。（ S $\subset$ G~ ）このとき、\\
S ：Ｇの部分群\\
$\Longleftrightarrow$ S がG の演算で群をなす。\\
$\Longleftrightarrow$ S が 条件0、1、2、3 を満たす。\\
$\Longleftrightarrow$ S が 条件0、2、3 を満たす。(1はG で成立。）\\
$\Longleftrightarrow$ S が 条件0、3 を満たす。(2は3 があれば成立。）\\
$\Longleftrightarrow$ (S$\ni$ x,y $\Longrightarrow$ xy $\in$ S , ~~~
S $\ni$ x $\Longrightarrow$ $x^{-1}$ $\in$ S)\\
（つまり、部分群であることを確かめるには、S の中の任意の元を2個（同じ元でもよい）
取ってきて、かけたものがまたS の中にあるか、また、任意の元を1個とってきたとき、
その逆元がS の中にあるか、を見ればよい。）\\
N.B. 従って、部分群の特徴は、H を部分群とすると、HH=Hとなることである。\\
\end{definition}

\begin{question}
位数４の巡回群で、S=\{e,a\} は部分群か。\\
解 ~~~違う。$aa=a^{2}$ で、$a^{2}$がSの中にないから。（解おわり）\\
\end{question}

\begin{question}
位数４の巡回群で、S=\{e,$a^{2}$\} は部分群か。\\
解~~~ 部分群である。$a^{2}a^{2}=e$ で、eはSの中にはいっている。（解おわり）\\
\end{question}

\begin{question}
Kleinの四元群で、S=\{e,a\} は部分群か。\\
解 ~~~部分群である。$aa=e$ で、eはSの中にはいっている。（解おわり）\\
\end{question}

\begin{question}
Kleinの四元群で、S=\{e,a,b\} は部分群か。\\
解~~~ 違う。$ab=c$ で、cはSの中にはいっていない。（解おわり）\\
\end{question}

N.B. 従って、部分群の特徴は、H を部分群とすると、HH=Hとなることである。\\

\begin{definition}{左剰余類}\label{左剰余類}\\
\begin{math}
G ：群 \\
G の部分群H と、G の元 g が与えられているとき、\\
~~~~~~~~~~~~~~~Hg=\{hg ~| ~h \in H \} \\
を、G のH による左剰余類という。
\end{math}
\end{definition}

\begin{theorem}{左剰余類同士の元の個数は等しい}\label{左剰余類同士の元の個数は等しい}\\
左剰余類同士の元の個数は等しい。また、二つの左剰余類が共有する元を持てば、その
二つの左剰余類は、集合として等しい。\\
証明 Ha に含まれる元の個数はH に含まれる元の個数に等しい。前半はこれで終わり。\\
後半を示す。\\
Ha とHb given \\
同じ元 x を含むとする。即ち、\\
~~~~~~~~Ha $\ni$ x ~~~~~~かつ ~~~~~~~Hb $\ni$ x \\
右から$a^{-1}, b^{-1}$ をかけて、
~~~~~~~~~H $\ni$ $xa^{-1}$ ~~~~~~かつ ~~~~~~~H $\ni$ $xb^{-1}$ \\
$xa^{-1}$ の逆元は H の中にあり、また、H の中の元同士の掛け算はまた H に入っているから,\\
~~~~~~~~~H $\ni$ $(xa^{-1})^{-1}(xb^{-1})=ax^{-1}xb^{-1}=ab^{-1}$ \\
右から b をかけて、Hb $\ni$ a \\
~~~~~~~~~~Hb=\{$\star$,$\star$,$\star$,$ab^{-1}$,$\star$,$\star$,$\star$,\}b=
\{$\star$,$\star$,$\star$,a,$\star$,$\star$,$\star$,\} $\ni$ a\\
左から H をかけて、HH=H に気をつけて、\\
~~~~~~~~~~ Hb $\supset$ Ha \\
同様にして、
~~~~~~~~Ha $\supset$ Hb \\
であるから、\\
~~~~~~~~~~~~~Ha=Hb ~~~（証明おわり）
\end{theorem}

\begin{question}
G ：Kleinの四元群。H=\{e,a\} ：G の部分群 \\
のとき、上のことを確かめよ。\\
解 He=\{e,a\}e=\{e,a\}=H \\
Ha=\{e,a\}a=\{a,e\}=H \\
Hb=\{e,a\}b=\{b,c\} \\
Hc=\{e,a\}c=\{c,b\}=Hb \\
確かに、共通部分を持つ剰余類は、集合として等しくなっている。（解おわり）
\end{question}

\begin{question}
G ：Kleinの四元群。S=\{e,a,b\} ：G の部分群でない。 \\
のとき、上のことが成り立たないことを確かめよ。\\
解 Se=\{e,a,b\}e=\{e,a,b\}=S \\
Sa=\{e,a,b\}a=\{a,e,c\} \\
Sb=\{e,a,b\}b=\{b,c,e\} \\
Sc=\{e,a,b\}c=\{c,b,a\} \\
Sa とSb は、共通の元 e, c を持っている。しかし集合として等しくなっていない。（解おわり）
\end{question}

\begin{theorem}{G の位数は、部分群 H の位数で割り切れる}
\label{G の位数は、部分群 H の位数で割り切れる}\\
G の位数は、部分群 H の位数で割り切れる。\\
（即ち、部分群の位数は群の位数の約数。）\\
証明 左剰余類、He, Ha, Hb, Hc, ... Hk, ... と作って行くと、異なるものは有限個。それに含まれる元全体は、G の元全体。
また、Hx 一つ一つに含まれる元の数は同じだから。（証明おわり）
\end{theorem}

N.B. 同様にして、右剰余類も定義される。

\begin{definition}{指数}\label{指数}\\
「G の位数」を「H の位数」で割ったものを「H の指数」という。
\end{definition}

\begin{theorem}{同じものを掛けて行くといつかは単位元になる}\label{同じものを掛けて行くといつかは単位元になる}\\
G $\ni$ a given\\
a を何乗かして行くといつかは e となる。\\
証明 G ：有限群 だから、\\
~~~~~~~~~\begin{math} a, a^{2}, a^{3}, a^{4}, ... a^{n} \end{math}\\
と作って行くと、いつかは$a^{n}$は今まで出てきたどれかと等しくなる。（ならなければ、無限群。）\\
従って、~~~~~~~~~~$a^{n}=a^{i} $\\
左から $a^{-i}$ をかけて、 $a^{n-i}=e$ （証明おわり）
\end{theorem}

\begin{definition}{元の位数}\label{元の位数}\\
G $\ni$ a ~~~ $a^{n}=e$ となる最小の n を「a の位数」という。
\end{definition}

\begin{theorem}{元の位数はG の位数で割り切れる}\label{元の位数はG の位数で割り切れる}\\
G $\ni$ a given\\
a の位数は G の位数で割り切れる。（ G の位数の約数。）\\
証明 a の位数 = m とすると、\\
~~~~~~~\begin{math}e, a, a^{2}, a^{3}, a^{4}, ... a^{m-1} \end{math} の m 個の元は G の部分群。\\
（お互いに元をかけて、またこの中に入っていることを確かめよ。）\\
故に、m はG の位数の約数。（部分群の位数は群の位数の約数。）（証明おわり）
\end{theorem}

\begin{theorem}{指数2 の部分群は正規部分群}\label{指数2 の部分群は正規}\\
G ：群 、 H ：G の指数2 の部分群、b $\notin$ H given のとき、\\
~~~~~~~~~~$b^{-1}Hb=H$ \\
証明 G を H で左剰余類に分けると、G=H $\cup$ Hb （H $\cap$ Hb = $\phi$）\\
~~~~~~ G を H で右剰余類に分けると、G=H $\cup$ bH （H $\cap$ bH = $\phi$）\\
~~~~~~~~$\therefore$ Hb=bH \\
~~~~~~~~$\therefore$ $b^{-1}Hb=H$ （証明おわり）
\end{theorem}

次に、「$p$ 群の存在定理」と呼ばれている定理\ref{p 群の存在}を証明なしに述べる。（後に証明する。）\\
\begin{theorem}{p 群の存在}\label{p 群の存在}\\
G の位数 n を、素数 p で割れるだけ割って、$n=p^{r}m$ とする。（ｍは従ってｐとは素。）\\
そのとき、位数 p, $p^{2}$, $p^{3}$, $p^{4}$, ... $p^{r}$ の部分群が存在する。\\
\end{theorem}

例 ~~位数12の群には、この定理により、位数３の部分群がある。
また、位数２の部分群も、位数４の部分群もある。しかし、位数６の部分群はあるかないか、
分からない。（実は、ある場合もあるし、ない場合もある。）\\
以上、準備は終わった。\\

\subsection{位数6の群}\label{位数6の群}

\begin{question}
位数６の群を作れ。\\
解 ~~~~位数２の部分群と、位数３の部分群は存在する。\\
H=\{e,b\} N=\{e,a,$a^{2}$ \} \\
とおく。\\
N の指数は２だから、
\begin{math}
b^{-1}Nb=N \\
\therefore \{e,b^{-1}ab,b^{-1}a^{2}b \}=\{e,a,a^{2} \} \\
\therefore b^{-1}ab=e, or a, or a^{2} \\
b^{-1}ab=e \Longrightarrow ab=b \Longrightarrow a=e \Longrightarrow 矛盾\\
case ~1) ~~~~~~~~~~b^{-1}ab=a のとき、（ba=ab より、可換群）\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|cccccc}
& e & a & $a^{2}$ & b & ab & $a^{2}b$ \\ \hline
e & e & a & $a^{2}$ & b & ab & $a^{2}b$ \\
a & a & $a^{2}$ & e & ab &$a^{2}b$ & b \\
$a^{2} $ & $a^{2}$ & e & a & $a^{2}b$ &b & ab \\
b & b & ab & $a^{2}b$ & e &a &$a^{2}$\\
ab &ab &$a^{2}b$ & b & a &$a^{2}$ & e \\
$a^{2}b$ &$a^{2}b$ & b & ab & $a^{2}$ & e & a \\
\end{tabular} \]
\begin{math}
この表から、ab の位数が 6 であることが分かる。\\
(ab)^{2}=a^{2}, (ab)^{3}=a^{2}ab=b, (ab)^{4}=b(ab)=a, (ab)^{5}=a(ab)=a^{2}b \\
より、e を０、 ab を１と見なせば、a^{2}が２、bが３、aが４、a^{2}bが５となって、上の表は、\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|cccccc}
& 0 & 4 & 2 & 3 & 1 & 5 \\ \hline
0 & 0 & 4 & 2 & 3 & 1 & 5 \\
4 & 4 & 2 & 0 & 1 & 5 & 3 \\
2 & 2 & 0 & 4 & 5 & 3 & 1 \\
3 & 3 & 1 & 5 & 0 & 4 & 2 \\
1 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 & 0 \\
5 & 5 & 3 & 1 & 2 & 0 & 4 \\
\end{tabular} \]
これを普通の順序に並べ替えると、（１と４とを交換すればよい。）\\
\[ \begin{tabular}{c|cccccc}
& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 \\
2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 \\
3 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 \\
4 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
5 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\end{tabular} \]
と、よく知っているもの（位数６の巡回群 ~~$Z_6$ と表す）であることが分かる。\\
ここで、位数表（位数いくつのものが、何個あるかという表）を作っておく。\\
\[ \begin{tabular}{cc|c|c|c}
位数 & 1 &2 & 3 & 6 \\ \hline
個数 &1 &1 & 2 &2
\end{tabular} \]
\\
\begin{math}
case ~2) ~~~ b^{-1}ab=a^{2} のとき、\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|cccccc}
& e & a & $a^{2}$ & b & ab & $a^{2}b$ \\ \hline
e & e & a & $a^{2}$ & b & ab & $a^{2}b$ \\
a & a & $a^{2}$ & e & ab &$a^{2}b$ & b \\
$a^{2} $ & $a^{2}$ & e & a & $a^{2}b$ &b & ab \\
b & b & $a^{2}b$ & ab & e &$a^{2}$ & a\\
ab &ab & b & $a^{2}b$ & a & e & $a^{2}$ \\
$a^{2}b$ &$a^{2}b$ & ab & b & $a^{2}$ & a & e \\
\end{tabular} \]
この表の上の３行を作ることは容易。また、４行目さえ出来れば、
その下の行は、左からa をかけてゆけばよいから、これも容易。４行目を作ればよい。\\
\begin{math}
~~~~~~~~~~b^{-1}ab=a^{2}, より、ba^{2}=ab, また、\\
~~~~~~~~~~ b^{-1}a^{2}b=(b^{-1}ab)(b^{-1}ab)=a^{2}a^{2}=a, より、ba=a^{2}b \\
従って、~~~~~b(ab)=(ba)b=(a^{2}b)b=a^{2},~~~ b(a^{2}b)=(ba^{2})b=(ab)b=a \\
と、４行目もでる。\\
この群の正体も、よく知られているものであって、正三角形を廻したり、
裏返したりするときに出来る群である。（これを、正三角形の二面体群~~ D_3~~ という。）
今正三角形の３頂点に、1,2,3と名前をつける。中心を固定して
120度回転して1を2に重ねると2は3に、3は1に行く。これを（123）とし、a に対応させる。\\
a^{2} は、（1,3,2）となる。また、頂点１を上にして、１から垂直に下に下ろした線を軸
にして三角形を裏返せば、2は3に行き、3は2に行く。これを（2、3）とし、b に対応させる。\\
次にab だが、ここでは右から左へと運動をする約束にして、最初裏返しを実行、次に廻す。
すると、1は裏返しでは動かず、廻したときに2に行く。つまり1は2に行く。
2は裏返しで3に行き、廻しにより1に行く。3は裏返しで2に行き、廻しで3に行くから、3は動かない。
つまり、ab は、（12）となる。以上のことを置換群の掛け算といい、次のように書く。\\
~~~~~~~~~~ab=(123)(23)＝(12)\\
同様にして、a^{2}b も、\\
~~~~~~~~~~a^{2}b=(132)(23)=(13)\\
\end{math}
この置換群の表示で上の表を書き直すと、\\
\[ \begin{tabular}{c|cccccc}
& （1） & （123） & （132） & （23） & （12） & （13） \\ \hline
（1） & （1） & （123） & （132） & （23） & （12） & （13） \\
（123） & （123） & （132） & （1） & （13） & （23） & （12） \\
（132） & （132） & （1） & （123） & （12） &（13） & （23） \\
（23） & （23） & （12） & （13） & （1） &（123） & （132）\\
（12） &（12） & （13） & （23） & （132） & （1） & （123） \\
（13） &（13） & （23） & （12） & （123） & （132） & （1） \\
\end{tabular} \]
ここで二面体群~$D_3$ の位数表を作っておく。\\
\[ \begin{tabular}{cc|c|c|c}
位数 & 1 &2 & 3 & 6 \\ \hline
個数 &1 &3 & 2 &0
\end{tabular} \]
（ 解おわり）
\end{question}
p-群の存在は大きな定理で、位数が6のときにこれを使うのは大袈裟でもある。次の問を解いておく。
\begin{question}
\begin{math}
上の問題を定理8を使わずに解け。\\
解~~~1)~~位数6の元があるとき・・・巡回群
2)~~位数6の元がなく、位数3の元があるとき、\\
その元をa とし、N=\{e,a,a^{2}\} とおく。N に入らない元b をとる。剰余類Nb は N に入らない元全部
だから、b^{-1} \in Nb。\\
故に、b^{-1}=b または、b^{-1} =ab または、b^{-1} = a^{2}b \\
b^{-1} =ab のとき、b^{2}=a^{-1}=a^{2} \\
b^{-1} = a^{2}b のとき、b^{2}=a^{-2}=a\\
いずれも、b の位数が6になり、仮定に矛盾。\\
3)~~位数6の元がなく、位数3の元がないとき。（即ち、元の位数は全て2以下。）\\
e 以外に元は少なくとも2個なければならない。それをa, b とする。\\
\{e,a,b,ab\} は群をなす。即ち、位数4の部分群が位数6の群の中に存在することになり、矛盾。
（6は4で割り切れない。）~~~（証明おわり）\\
\end{math}
\end{question}



\begin{question}
位数6 の群を計算機によって作れ。\\
解 ~~~~ G=\{0,1,2,3,4,5\} に「群の定義を満たす演算」を入れる。\\
p 群の存在から位数 3 の群はある。これをN=\{0,1,2\} とする。これは位数 3 の巡回群。
（これしかない。）\\
1 $\circ$ 1=2, ~~~ 1 $\circ$ 2=0 \\
とし、N の左剰余類を作る。N に含まれない G の元は 3,4,5。\\
~~~~~~~\{0,1,2\} $\circ$ 3=\{3,4,5\} ~~~~~ （1 $\circ$ 3=4, ~~~2 $\circ$ 3=5）\\
と決めて一般性を失わない。\\
1 $\circ$ 4 を知りたいが、\\
1 $\circ$ 4= 1 $\circ$ (1 $\circ$ 3) =2 $\circ$ 3=5 \\
1 $\circ$ 5 を知りたいが、\\
1 $\circ$ 5= 1 $\circ$ (2 $\circ$ 3) =0 $\circ$ 3=3 \\
2 $\circ$ 4 を知りたいが、\\
2 $\circ$ 4= 2 $\circ$ (1 $\circ$ 3) =0 $\circ$ 3=3 \\
2 $\circ$ 5 を知りたいが、\\
2 $\circ$ 5= 2 $\circ$ (2 $\circ$ 3) =1 $\circ$ 3=4 \\
従って、位数 6 のどんな群表も、上の 3 行は、\\
\[ \begin{tabular}{c|cccccc}
& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 1 & 2 & 0 & 4 & 5 & 3 \\
2 & 2 & 0 & 1 & 5 & 3 & 4 \\
3 & 3 & * & * & * & * & * \\
4 & 4 & * & * & * & * & * \\
5 & 5 & * & * & * & * & * \\
\end{tabular} \]
となっている。ここでプログラム「手入力」(ket4nec.bas)に上のデータを
読み込ませ、 3 $\circ$ 1 に４を入れると、
結合律を出来るだけ使って、自己増殖を行い、次に上げる表が出来る。\\
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5
1 2 0 4 5 3
2 0 1 5 3 4
3 4 5 * * *
4 5 3 * * *
5 3 4 * * *
\end{verbatim}
ここで 3 $\circ$ 3 には 0, 1, 2 のいずれしか入らないが、それぞれ表が一つづつ完成し、
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5
1 2 0 4 5 3
2 0 1 5 3 4
3 4 5 0 1 2
4 5 3 1 2 0
5 3 4 2 0 1

0 1 2 3 4 5
1 2 0 4 5 3
2 0 1 5 3 4
3 4 5 1 2 0
4 5 3 2 0 1
5 3 4 0 1 2

0 1 2 3 4 5
1 2 0 4 5 3
2 0 1 5 3 4
3 4 5 2 0 1
4 5 3 0 1 2
5 3 4 1 2 0
\end{verbatim}
が出来る。また、3 $\circ$ 1 に 5 を入れたときは、
3 $\circ$ 3 に 0 を入れたときしか表は出来ず、\\
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5
1 2 0 4 5 3
2 0 1 5 3 4
3 5 4 0 2 1
4 3 5 1 0 2
5 4 3 2 1 0
\end{verbatim}
となる。位数表を作るとこれらは上から順に、\\
\begin{math} Z_6, Z_6, Z_6, D_3 \end{math} であることが分かる。（解おわり）\\
\end{question}

\begin{question}
上の 6 個の群表が自動的に出来てくるプログラムを作れ。\\
解~~~「付録2（自動）(kasub804.bas)」参照。
\end{question}

\begin{question}
位数７の群を決めよ。\\
解~~位数７の部分群はある。（p 群の存在定理。）\\
従って、$Z_7$ しかない。
\end{question}

\subsection{位数8の群}\label{位数8の群}

\begin{question}
位数8の群を決めよ。\\
解~~case~1) 位数8の元があるとき\\
~~~~case~2)位数8の元がないとき、\\
~~~~case~2-1) 位数4の元があるとき、\\
~~~~case~2-2) 位数4の元がないとき、（即ち、e 以外の全ての元の位数が2のとき。）\\
に分けて考える。そしてまず、case~2-2)。\\
\begin{math}
case~2-2) 位数4の元がないとき、（即ち、e 以外の全ての元の位数が2のとき。）\\
aa=e, ~~~\therefore a=a^{-1} \\
bb=e, ~~~\therefore b=b^{-1} \\
一方 ab も位数２だから(ab)(ab)=e \\
この両辺に右からb をかけて、次に a をかけると、ab=ba\\
３個の元が必要で、それを a,b,cとすれば、群表は、\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|ccccccccc}
& e & a & b & ab & c & ac & bc & abc \\ \hline
e & e & a & b & ab & c & ac & bc & abc \\
a & a & e & ab & b & ac & c & abc & bc \\
b & b & ab & e & a & bc & abc & c & ac \\
ab & ab & b & a & e & abc & bc & ac & c \\
c & c & ac & bc & abc & e & a & b & ab \\
ac & ac & c & abc & bc & a & e & ab & b \\
bc & bc & abc & c & ac & b & ab & e & a \\
abc & abc & bc & ac & c & ab & b & a & e \\
\end{tabular} \]

次に、case~1)~位数８の元がある場合。\\
~~~~~~~位数８の巡回群。これは群表は省略。\\
\\
\begin{math}
次に、case~2-1)~最高位数が４の場合。\\
位数４の元をa とし、N=\{e,a,a^{2},a^{3}\} とおけば、N は指数２。従って正規部分群。\\
残りの元を１個 b と決めれば、あとは b,ab,a^{2}b,a^{3}b で８個とも決まってしまう。\\
case~2-1-1)~b の位数が２のとき、\\
N が正規部分群であるから、\\
~~~~~~~b^{-1}\{e,a,a^{2},a^{3}\}b=\{e,a,a^{2},a^{3}\}~~~
\therefore b^{-1}ab=a,~~または a^{2}, ~~または、 a^{3} \\
case~2-1-1-1)~b^{-1}ab=a のとき、\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|ccccccccc}
& e & a & $a^{2}$ & $a^{3}$ & b & ab & $a^{2}b$ & $a^{3}b$ \\ \hline
e & e & a & $a^{2}$ & $a^{3}$ & b & ab & $a^{2}b$ & $a^{3}b$ \\
a & a & $a^{2}$ & $a^{3}$ & e & ab & $a^{2}b$ & $a^{3}b$ & b \\
$a^{2}$ & $a^{2}$ & $a^{3}$ & e & a & $a^{2}b$ & $a^{3}b$ & b & ab \\
$a^{3}$ & $a^{3}$ & e & a & $a^{2}$ & $a^{3}b$ & b & ab & $a^{2}b$ \\
b & b & ab & $a^{2}b$ & $a^{3}b$ & e & a &$a^{2}$ & $a^{3}$ \\
ab & ab & $a^{2}b$ & $a^{3}b$ & b & a & $a^{2}$ &$a^{3}$ & e \\
$a^{2}b$ & $a^{2}b$ & $a^{3}b$ & b & ab & $a^{2}$ & $a^{3}$ &e & a \\
$a^{3}b$ & $a^{3}b$ & b & ab & $a^{2}b$ & $a^{3}$ & e &a & $a^{2}$ \\
\end{tabular} \]
\begin{math}
case~2-1-1-2)~b^{-1}ab=a^{2} のとき、\\
両辺を２乗すると、b^{-1}abb^{-1}ab=a^{2}a^{2}=e \\
左辺は b^{-1}a^{2}ｂ となり、a^{2}=e となり、矛盾。\\
従って、この場合はなし。\\
\\
case~2-1-1-3)~b^{-1}ab=a^{3} のとき、\\
~~~ b^{-1}a^{2}b=b^{-1}abb^{-1}ab=a^{2}~~~~\therefore a^{2}b=ba^{2} \\
~~~b^{-1}abb^{-1}abb^{-1}ab=b^{-1}a^{3}b=a^{9}=a ~~~ \therefore ba=a^{3}b \\
であるから、群表は下記となる。\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|ccccccccc}
& e & a & $a^{2}$ & $a^{3}$ & b & ab & $a^{2}b$ & $a^{3}b$ \\ \hline
e & e & a & $a^{2}$ & $a^{3}$ & b & ab & $a^{2}b$ & $a^{3}b$ \\
a & a & $a^{2}$ & $a^{3}$ & e & ab & $a^{2}b$ & $a^{3}b$ & b \\
$a^{2}$ & $a^{2}$ & $a^{3}$ & e & a & $a^{2}b$ & $a^{3}b$ & b & ab \\
$a^{3}$ & $a^{3}$ & e & a & $a^{2}$ & $a^{3}b$ & b & ab & $a^{2}b$ \\
b & b & $a^{3}b$ & $a^{2}b$ & $ab$ & e & $a^{3}$ &$a^{2}$ & $a$ \\
ab & ab & $b$ & $a^{3}b$ & $a^{2}b$ & a & $e$ &$a^{3}$ & $a^{2}$ \\
$a^{2}b$ & $a^{2}b$ & $ab$ & b & $a^{3}b$ & $a^{2}$ & $a$ &$e$ & $a^{3}$ \\
$a^{3}b$ & $a^{3}b$ & $a^{2}b$ & ab & $b$ & $a^{3}$ & $a^{2}$ &a & $e$ \\
\end{tabular} \]
\begin{math}
case~2-1-2)~b の位数が４のとき、\\
~~~ この場合、群は~N \cup Nb と表される。b^{2} \notin Nb であるから、b^{2} \in N。
位数2のものはa^{2} しかないからb^{2}=a^{2} \\
case~(2-1-2-1)~~~b^{-1}ab=a のとき、\\
~~~ これは、「case~2-1-1-1)~b^{-1}ab=a のとき」と同じになる。但し、
case~2-1-1-1)におけるｂは、case~2-1-2-1)においては ab がその役を演じる。\\
case~2-1-2-2)~~~b^{-1}ab=a^{2} のとき、\\
~~~case~2-1-1-2）の場合と同様、これはなし。\\
case~2-1-2-3)~~~b^{-1}ab=a^{3} のとき、\\
~~~case~2-1-1-3) で成立した式がここでも成立し、群表は下記となる。\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|ccccccccc}
& e & a & $a^{2}$ & $a^{3}$ & b & ab & $a^{2}b$ & $a^{3}b$ \\ \hline
e & e & a & $a^{2}$ & $a^{3}$ & b & ab & $a^{2}b$ & $a^{3}b$ \\
a & a & $a^{2}$ & $a^{3}$ & e & ab & $a^{2}b$ & $a^{3}b$ & b \\
$a^{2}$ & $a^{2}$ & $a^{3}$ & e & a & $a^{2}b$ & $a^{3}b$ & b & ab \\
$a^{3}$ & $a^{3}$ & e & a & $a^{2}$ & $a^{3}b$ & b & ab & $a^{2}b$ \\
b & b & $a^{3}b$ & $a^{2}b$ & $ab$ &$a^{2}$ & $a$ &$e$ & $a^{3}$ \\
ab & ab & $b$ & $a^{3}b$ & $a^{2}b$ & $a^{3}$ & $a^{2}$ &$a$ & $e$ \\
$a^{2}b$ & $a^{2}b$ & $ab$ & b & $a^{3}b$ & $e$ & $a^{3}$ &$a^{2}$ & $a$ \\
$a^{3}b$ & $a^{3}b$ & $a^{2}b$ & ab & $b$ & $a$ & $e$ &$a^{3}$ & $a^{2}$ \\
\end{tabular} \]
（解おわり）
\end{question}
\begin{question}
上のcase~2-1-1-3）とcase~2-1-2-3）で出来た群の正体を述べよ。\\
解 ~~~ まず、case~2-1-1-3）。\\
正四角形の頂点を1,2,3,4 とする。その中心を固定して９０度回転させると、
1は2に、2は3に、3は4に、4は1に行く。この運動を a とすると、a =（1234）\\
また、１と３を結ぶ直線を軸に３次元的に裏返すと、2は4に、4は2に行く。この運動をbとすると、
b=（2,4）\\
すると、ab=(1234)(24）=(12)(34)となり、1と2の中心を3と4の
中心を結ぶ直線を軸に裏返す運動となる。\\
この解釈で群表を作り直すと、\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccccccc}
& (1) & (1234) & (13)(24) & (1432) & (24) & (12)(34) & (13) & (14)(23) \\ \hline
(1) & (1) & (1234) & (13)(24) & (1432) & (24) & (12)(34) & (13) & (14)(23) \\
(1234) & (1234) & (13)(24) & (1432) & (1) & (12)(34) & (13) & (14)(23) &(24) \\
(13)(24) &(13)(24) & (1432) & (1) & (1234) & (13) & (14)(23) &(24) & (12)(34) \\
(1432) & (1432) & (1) & (1234) & (13)(24) & (14)(23) &(24) & (12)(34) & (13) \\
(24) & (24) & (14)(23) & (13) & (12)(34) & (1) &(1432) & (13)(24) & (1234) \\
(12)(34) & (12)(34) &(24) & (14)(23) & (13) & (1234) & (1) & (1432) &(13)(24) \\
(13) &(13) & (12)(34) & (24) & (14)(23) & (13)(24)& (1234) &(1) & (1432) \\
(14)(23) & (14)(23) & (13) & (12)(34) & (24) & (1432) &(13)(24) & (1234) & (1) \\
\end{tabular} \]
これを正四角形のなす二面体群~$D_4$ という。\\
次に、case~2-1-2-3）。\\
\begin{math}
a を虚数単位 i, 即ち a^{2}=-1, b を j, ab を k とすると、\\
ij=ab=k, jk=bab=a=i, ki=aba=b=j, \\
ji=ba=a^{3}b=-ab=-k, kj=abb=a^{3}=-a=-i, ik=aab=-j となり、
物理でよく使う四元数（quaternion）となる。これをQ と書く。（解おわり）\\
\end{math}
\end{question}

\subsection{位数表}\label{位数表}

ここで上で出来た群の位数表を作っておく。\\
位数８の巡回群、$Z_8$ \\
\[ \begin{tabular} {c|cccc}
位数 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \hline
個数 &1 &1 &2 &4
\end{tabular} \]
高々位数4の元をもつ可換群、（3-1-1）のとき、\\
\[ \begin{tabular} {c|cccc}
位数 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \hline
個数 &1 &3 &4 &0
\end{tabular} \]
高々位数2の元をもつ可換群、case （1）のとき、\\
\[ \begin{tabular} {c|cccc}
位数 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \hline
個数 &1 &7 &0 &0
\end{tabular} \]
$D_4$のとき、\\
\[ \begin{tabular} {c|cccc}
位数 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \hline
個数 &1 &5 &2 &0
\end{tabular} \]
Qのとき、\\
\[ \begin{tabular} {c|cccc}
位数 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \hline
個数 &1 &1 &6 &0
\end{tabular} \]

\subsection{プログラム「手入力」「自動」の使い方}\label{プログラム「手入力」「自動」の使い方}

\begin{question}
位数８の群を計算機によって求めよ。\\
解~~case~1)~~位数８の元がある場合と、case~2-2)~~位数２の元のみの場合は容易で、
やるまでもないが、「手入力」プログラムの練習にもなり、また、
このプログラムの動きを見る良い材料なので、解説する。\\
case~1)~~位数8の元ありのとき。\\
次の初期条件に $1 \circ 1$ のところに2を入れる。
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7
1 30 30 30 30 30 30 30
2 30 30 30 30 30 30 30
3 30 30 30 30 30 30 30
4 30 30 30 30 30 30 30
5 30 30 30 30 30 30 30
6 30 30 30 30 30 30 30
7 30 30 30 30 30 30 30
\end{verbatim}
すると次の表が出来る。自己増殖はない。
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 30 30 30 30 30 30
2 30 30 30 30 30 30 30
3 30 30 30 30 30 30 30
4 30 30 30 30 30 30 30
5 30 30 30 30 30 30 30
6 30 30 30 30 30 30 30
7 30 30 30 30 30 30 30
\end{verbatim}
これに $1 \circ 2$ のところに3を入れる。すると自己増殖が起こり、$2 \circ 1$ にも数が入る。
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 30 30 30 30 30
2 3 30 30 30 30 30 30
3 30 30 30 30 30 30 30
4 30 30 30 30 30 30 30
5 30 30 30 30 30 30 30
6 30 30 30 30 30 30 30
7 30 30 30 30 30 30 30
\end{verbatim}
以下4を入れ、5を入れ、6を入れ $1 \circ 6$ のところに7を入れると、
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 30
2 3 4 5 6 7 30 30
3 4 5 6 7 30 30 30
4 5 6 7 30 30 30 30
5 6 7 30 30 30 30 30
6 7 30 30 30 30 30 30
7 30 30 30 30 30 30 30
\end{verbatim}
となり、左下に自己増殖が起きる。
最後に $1 \circ 7$ のところに0を入れると、よく知られた巡回群の群表、
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 0
2 3 4 5 6 7 0 1
3 4 5 6 7 0 1 2
4 5 6 7 0 1 2 3
5 6 7 0 1 2 3 4
6 7 0 1 2 3 4 5
7 0 1 2 3 4 5 6
が出来上がる。
\end{verbatim}
case~2-2)~~元の位数が高々2まで。$1 \circ 1$=0 だから、これを入れる。自己増殖は起こらない。
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7
1 0 30 30 30 30 30 30
2 30 30 30 30 30 30 30
3 30 30 30 30 30 30 30
4 30 30 30 30 30 30 30
5 30 30 30 30 30 30 30
6 30 30 30 30 30 30 30
7 30 30 30 30 30 30 30
\end{verbatim}
以下右剰余類を決めてゆく。$1 \circ 2$を3とし、$1 \circ 4$を5とし、$1 \circ 6$を7とすると、
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7
1 0 3 2 5 4 7 6
2 30 30 30 30 30 30 30
3 30 30 30 30 30 30 30
4 30 30 30 30 30 30 30
5 30 30 30 30 30 30 30
6 30 30 30 30 30 30 30
7 30 30 30 30 30 30 30
\end{verbatim}
次に、$2 \circ 1$ は、可換だから3でなければならない。3を入れる。
$2 \circ 2$は0。この2つを入れると下の表が出来る。
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7
1 0 3 2 5 4 7 6
2 3 0 1 30 30 30 30
3 2 1 0 30 30 30 30
4 30 30 30 30 30 30 30
5 30 30 30 30 30 30 30
6 30 30 30 30 30 30 30
7 30 30 30 30 30 30 30
\end{verbatim}
$2 \circ 4$ には6か7しか入らないが、6を入れる。すると下記の表。
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7
1 0 3 2 5 4 7 6
2 3 0 1 6 7 4 5
3 2 1 0 7 6 5 4
4 30 30 30 30 30 30 30
5 30 30 30 30 30 30 30
6 30 30 30 30 30 30 30
7 30 30 30 30 30 30 30
\end{verbatim}
$4 \circ 1$ には可換だから5。$4 \circ 4$は勿論0。これを入れて、出来上がり。
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7
1 0 3 2 5 4 7 6
2 3 0 1 6 7 4 5
3 2 1 0 7 6 5 4
4 5 6 7 0 1 2 3
5 4 7 6 1 0 3 2
6 7 4 5 2 3 0 1
7 6 5 4 3 2 1 0
\end{verbatim}

case~2-1)~~元の位数が４まで。かつ位数４の元がある場合をやる。\\
N=\{0,1,2,3\} として、N $\circ$4=\{4,5,6,7\} としてよい。\\
従って、最初の４行は、\\
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 0 5 6 7 4
2 3 0 1 6 7 4 5
3 0 1 2 7 4 5 6
\end{verbatim}
といれておいて、自動計算のプログラム「自動」（kasub804.bas）にかけると、
4 $\circ$ 1 以下自動的に自己増殖を行って、以下の６個の群表が出来る。\\
\begin{verbatim}
1
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 0 5 6 7 4
2 3 0 1 6 7 4 5
3 0 1 2 7 4 5 6
4 5 6 7 0 1 2 3
5 6 7 4 1 2 3 0
6 7 4 5 2 3 0 1
7 4 5 6 3 0 1 2
2
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 0 5 6 7 4
2 3 0 1 6 7 4 5
3 0 1 2 7 4 5 6
4 5 6 7 1 2 3 0
5 6 7 4 2 3 0 1
6 7 4 5 3 0 1 2
7 4 5 6 0 1 2 3
3
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 0 5 6 7 4
2 3 0 1 6 7 4 5
3 0 1 2 7 4 5 6
4 5 6 7 2 3 0 1
5 6 7 4 3 0 1 2
6 7 4 5 0 1 2 3
7 4 5 6 1 2 3 0
4
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 0 5 6 7 4
2 3 0 1 6 7 4 5
3 0 1 2 7 4 5 6
4 5 6 7 3 0 1 2
5 6 7 4 0 1 2 3
6 7 4 5 1 2 3 0
7 4 5 6 2 3 0 1
5
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 0 5 6 7 4
2 3 0 1 6 7 4 5
3 0 1 2 7 4 5 6
4 7 6 5 0 3 2 1
5 4 7 6 1 0 3 2
6 5 4 7 2 1 0 3
7 6 5 4 3 2 1 0
6
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 0 5 6 7 4
2 3 0 1 6 7 4 5
3 0 1 2 7 4 5 6
4 7 6 5 2 1 0 3
5 4 7 6 3 2 1 0
6 5 4 7 0 3 2 1
7 6 5 4 1 0 3 2
\end{verbatim}

位数表を作ると、１と３が、
\[ \begin{tabular}{c|cccc}
位数 & 1 & 2 & 4 \\ \hline
個数 & 1 & 3 &4
\end{tabular} \]
即ち、位数４の元のある可換群。\\
２と４が、
\[ \begin{tabular}{c|cccc}
位数 & 1 & 2 & 4 & 8\\ \hline
個数 & 1 & 1 &2 & 4
\end{tabular} \]
即ち、位数８の元のある可換群。\\
5 が、
\[ \begin{tabular}{c|cccc}
位数 & 1 & 2 & 4 \\ \hline
個数 & 1 & 5 &2
\end{tabular} \]
即ち、$D_4$。\\
６が
\[ \begin{tabular}{c|cccc}
位数 & 1 & 2 & 4 \\ \hline
個数 & 1 & 1 &6
\end{tabular} \]
即ち、Q。~~~~~（解おわり）
\end{question}


\subsection{プログラム「位数」の使い方}\label{プログラム「位数」の使い方}

\begin{question}
今までは位数表を作るのに、手作業を行っていたが、これもプログラムを
作ってあれば便利。これを作れ。\\
解~~~位数表を作るプログラム（位数）(isuu3.bas)参照。\\
これにたとえば表１を入れれば、\\
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 0 5 6 7 4
2 3 0 1 6 7 4 5
3 0 1 2 7 4 5 6
4 5 6 7 0 1 2 3
5 6 7 4 1 2 3 0
6 7 4 5 2 3 0 1
7 4 5 6 3 0 1 2
4 1 2 3 -9
4 3 2 1 -9
4 5 2 7 -9
4 7 2 5 -9
2 2 -9
2 4 -9
2 6 -9
そして、位数表も作ってくれる。
2 3 -9
4 4 -9
\end{verbatim}
確かに、位数２のもの2、4、6、位数４のもの、1、3、5、7と出て来る。\\
最後の2行が位数表。即ち位数2のものが3個、位数4のものが4個である。（解おわり）
\end{question}

\subsection{プログラム「同型」の使い方}\label{プログラム「同型」の使い方}

\begin{question}
上の１と３の同型写像を計算機を使って、具体的に求めよ。\\
表１において、位数２のものは、２、４、６。位数４のものは、１、３、５、７。\\
表３において、\\
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 0 5 6 7 4
2 3 0 1 6 7 4 5
3 0 1 2 7 4 5 6
4 5 6 7 2 3 0 1
5 6 7 4 3 0 1 2
6 7 4 5 0 1 2 3
7 4 5 6 1 2 3 0
4 1 2 3 -9
4 3 2 1 -9
4 4 2 6 -9
4 6 2 4 -9
2 2 -9
2 5 -9
2 7 -9
2 3 -9
4 4 -9
\end{verbatim}
より、位数２のものは、２、５、７。位数４のものは、１、３、４、６。\\
表３の２、５、７を３個の順列分だけ並べ替え、それ一つ一つにつき、
１、３、４、６の４個の順列分だけ並べ替えて、表１と同型になるものを探す。\\
解~~~同型を捜すプログラム「同型」(dokei87.bas)にこれらを入力する。\\
（ここでは、プログラムが有効に働いていることを見るために、表3の方の元の並べ方をわざと
小さい順序にしない。）\\
プログラムに次を入力する。
\begin{verbatim}
1 2 3 4 5 6 7
DATA 2,4,6,1,3,5,7
DATA 5,7,2,3,4,6,1
\end{verbatim}
これは、表1で2、4、6が位数2なので、それを1、2、3と名前を付け替え、
1、3、5、6が位数4なので、それを4、5、6、7と名前を付け替え、改めて小さい順に
並べ替える、という意味。\\
また、表3で5、7、2が位数2なので、それを1、2、3と名前を付け替え、
3、4、6、1が位数4なので、それを4、5、6、7と名前を付け替え、改めて小さい順に
並べ替える、という意味。\\
\\
答は次のように出力される。
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7
1 0 3 2 5 4 7 6
2 3 0 1 6 7 4 5
3 2 1 0 7 6 5 4 これを「新表1」と呼ぶ。
4 5 6 7 1 0 3 2
5 4 7 6 0 1 2 3
6 7 4 5 3 2 1 0
7 6 5 4 2 3 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7
1 0 3 2 5 4 7 6
2 3 0 1 6 7 4 5
3 2 1 0 7 6 5 4 これを「新表3」と呼ぶ。
4 5 6 7 3 2 1 0
5 4 7 6 2 3 0 1
6 7 4 5 1 0 3 2
7 6 5 4 0 1 2 3

0 3 1 2 4 7 5 6 これが答。新表3にこの置換を施すと新表1になる。
実際に実行してやると、
0 3 1 2 4 7 5 6
3 0 2 1 7 4 6 5
1 2 0 3 5 6 4 7
2 1 3 0 6 5 7 4
4 7 5 6 3 0 2 1
7 4 6 5 0 3 1 2
5 6 4 7 2 1 3 0
6 5 7 4 1 2 0 3
\end{verbatim}
となり、新表1と同じ。\\
表3を表1に写す同型写像を求めるには、この最後の表において、数字を表3のものに戻す。\\
（1234567は、5723461であった。）\\
（即ち、1を5に、2を7に、3を2に、4を3に、5を4に、6を6に、7を1に、入れ換える。）\\
\begin{verbatim}
0 2 5 7 3 1 4 6
2 0 7 5 1 3 6 4
5 7 0 2 4 6 3 1
7 5 2 0 6 4 1 3
3 1 4 6 2 0 7 5
1 3 6 4 0 2 5 7
4 6 3 1 7 5 2 0
6 4 1 3 5 7 0 2
\end{verbatim}
さて、上の表の2573146は、表1における2461357なのだから、\\
1234567の順に並べ替えるということは、3215476の順に並べ替えることである。\\
これを実行してやると、
\begin{verbatim}
0 3 2 1 5 4 7 6
3 2 1 0 4 7 6 5
2 1 0 3 7 6 5 4
1 0 3 2 6 5 4 7
5 4 7 6 0 3 2 1
4 7 6 5 3 2 1 0
7 6 5 4 2 1 0 3
6 5 4 7 1 0 3 2
\end{verbatim}
確かに表1と同型である。\\
念のため、上の表が表3になっていることを確かめる。（01234567の順に並べる。）
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 0 5 6 7 4
2 3 0 1 6 7 4 5
3 0 1 2 7 4 5 6
4 5 6 7 2 3 0 1
5 6 7 4 3 0 1 2
6 7 4 5 0 1 2 3
7 4 5 6 1 2 3 0
\end{verbatim}
確かに表3になっている。（解おわり）
\end{question}
\section{可換群}
\begin{definition}{可換群}\label{可換群}\\
群G が与えられているとき、任意の2個の元、a b に、ab=ba なる関係が成立するとき、
G を可換群という。
\end{definition}

\subsection {可換群はベクトル表示出来る}\label{可換群はベクトル表示出来る}

ここで可換群についてまとめて述べておく。\\
たとえば群の要素がa,b,cの積で表され、可換だとすると、\\
$a^{p1}b^{q1}c^{r1}a^{p2}b^{q2}c^{r2}=a^{p1+p2}b^{q1+q2}c^{r1+r2}$ \\
と、全く記号ごとに別々に計算できるから、ベクトル表示が可能。\\
たとえば、第１成分をa の、第２成分を b の、第３成分を c の場所と考えればよい。\\
ついでに掛け算を足し算で表しても差し支えない。\\
上の例は次のようになる。\\
（p1,q1,r1）+（p2,q2,r2）=（p1+p2,q1+q2,r1+r2）\\
\begin{question}
位数８の群で、case (2-1-1-1）のとき、群表をベクトルで表示せよ。\\
\[ \begin{tabular}{c|ccccccccc}
& （00） &（01） & （02） & （03） & （10） & （11） & （12） & （13） \\ \hline
（00） & （00） & （01） & （02） & （03） & （10） & （11） & （12） & （13） \\
（01） & （01） & （02） & （03） & （00） & （11） & （12） & （13） & （10） \\
（02） & （02） & （03） & （00） & （01） & （12） & （13） & （10） & （11） \\
（03） & （03） & （00） & （01） & （02） & （13） & （10） & （11） & （12） \\
（10） & （10） & （11） & （12） & （13） & （00） & （01） & （02） & （03） \\
（11） & （11） & （12） & （13） & （10） & （01） & （02） & （03） & （00） \\
（12） & （12） & （13） & （10） & （11） & （02） & （03） & （00） & （01） \\
（13） & （13） & （10） & （11） & （12） & （03） & （00） & （01） & （02） \\
\end{tabular} \]
\end{question}

\begin{definition}{可換群の型}\label{可換群の型}
可換群Ｇが、位数$m_1$の巡回群 A と、位数$m_2$ の巡回群 B と、
位数$m_3$ の巡回群 C の積であるとき、可換群Ｇを、（m1, m2, m3）で表し、
「（m1, m2, m3）型可換群」という。
\end{definition}
例~~~上の問 case~2-1-1-1) の場合は、(2,4) 型可換群。\\

\begin{question}
位数６の群を作ったとき、位数２の巡回群Ｈと位数３の巡回群Ｎを使って
可換群を作った。これはcase~1) であった。\\
上の書き方だと、（2、3）型の可換群が出来たことになる。\\
ところが実際には、位数６の巡回群（6）が出来ただけであった。\\
これは何故か説明せよ。\\
解~~~ ab が１の役目をしていて、巡回群になることを示した。\\
~~これを可換群の表示で表すと、ab は(1,1) であり、次々にこれを加えて行けば、\\
(1,1),(0,2),(1,0),(0,1),(1,2),(0,0) となり、全てが出尽す。
即ち、abをc とおくと、元の群はc の冪で表される。そして、$c^{6}=e$~~~（解おわり）
\end{question}

\subsection{基本定理を理解するために}\label{基本定理を理解するために}

巡回群に関する次の定理を用いて、可換群の標準型を求める。
\begin{theorem}{主定理証明のための巡回群の定理}\label{主定理証明のための巡回群の定理}\\
\begin{math}
正整数n (\geq 2) は、どの2つも互いに素である正整数、n_1, n_2, \ldots n_k の積である、とする。\\
1)~~ 位数n の巡回群 G_n の生成元をx とする。\\
~~~~y_i=x^{n_1 \ldots n_{i-1} n_{i+1} \ldots n_k}=x^{n/n_i} ~~~(i=1, \ldots k) とおくと、\\
~~~~y_i は、位数n_i の巡回群G_{n_i} を生成し、y_1, \ldots , y_k はG_n を生成する。\\
2)~~逆に、z_i を位数 n_i の巡回群G_{n_i} の生成元とする。\\
~~~~G_n \cong G_{n_1} \times \ldots \times G_{n_k} であるが、z_1 \ldots z_k から、G_n の 生成元が作られる。\\
証明~~~1)~~~n/n_1, \ldots n_k の最大公約数は1 だから、\\
~~~~s_1(n/n_1) + \ldots +s_k(n/n_k)=1~~~ となる整数s_1, \ldots s_k が存在する。x の冪をとって、\\
~~~~y_1^{s_1}y_2^{s_2} \ldots y_k^{s_k}=x \\
2)~~~n/n_i と n_i は互いに素だから、(n/n_i) \alpha_i =1 ~~となる整数\alpha_i がある。\\
~~~~w=z_1^{\alpha_1} \ldots z_k^{\alpha_k} とおく。\\
~~~~z_j^{n_j}=e であるから、w^{n/n_i}=z_i^{(n/n_i) \alpha_i} =z_i ~~~（証明おわり）\\
\end{math}
\end{theorem}

\begin{question}
(4,6) 型の可換群は、(2,12) 型であることを示せ。\\
解~~~
\[ \begin{array}{c|cc|c|ccc}
& 4& 6& \longrightarrow & \\ \hline
& 2 & 2 && 2 &2 \\
& 2 & & & & 2\\
& & 3 & & &3
\end{array} \]


\begin{math}
のように、4の因数の2を横にずらせばよい。(2,12) 型となる。（「横にずらせばよい」という
表現は乱暴であるが、次のように生成元を求めることにより、正当化される。）\\
~~~x=(1,0) ~~y=(0,1) と置くと、\\
~~~x の位数は4。\\
~~~y^{2} の位数は3。（\because 上記定理の前半。）\\
~~~y^{3} の位数は2。（\because 上記定理の前半。）\\
y^{3} は位数2の元。これをf_1 と置く。即ち、f_1=(0,3) \\
次に、x とy^{2} で位数12の元を作る。（上記定理の後半を使う。）\\
~~~(12/4,4)=1 ~~より、3 \alpha_1 \equiv 1 ~~mod 4 を解いて、\alpha_1 \equiv 3 ~~mod 4 \\
~~~(12/3,3)=1 ~~より、4 \alpha_2 \equiv 1~~ mod 3 を解いて、\alpha_2 \equiv 1 ~~mod 3 \\
故に、位数12の元は、(x)^{3}(y^{2})^{1}=(3,0)+(0,2)=(3,2) ~~これをf_2 と置く。\\
即ち、f_1=(0,3) と、f_2=(3,2) ~~で、(2,12) 型となる。\\
f_1 とf_2 が、元の群を作っているか、心配である。これを確かめる。\\
f_1 とf_2 でx とy を作ることを言えばよい。\\
~~~3f_1=(9,0)=(1,0)=x ~~これで x は出来た。\\
~~~f_2-3x=(3,2)-(3,0)=(0,2) \\
~~~f_1-(f_2-3x)=(0,3)-(0,2)=(0,1)=y~~これでy も出来た。（解おわり） \\
\end{math}
\end{question}

\begin{question}
(6,30,70) 型の可換群は何型になるか。\\
解~~~
\[ \begin{array}{c|ccc|c|ccc}
& 6& 30& 70 &\longrightarrow & \\ \hline
& 2 & 2 &2& & 2 &2 &2\\
& 3 & 3 & & & &3 &3\\
& & 5 & 5& & &5&5\\
& & &7& & & &7
\end{array} \]
\begin{math}
のように、因数を横にずらして、(2,30,210) 型となる。この可換群の生成元を求める。\\
x=(1,0,0),~~~y=(0,1,0), ~~~x=(0,0,1) ~~と置く。\\
~~~x^{3} の位数は2。\\
~~~x^{2} の位数は3。\\
~~~y^{15} の位数は2。\\
~~~y^{10} の位数は3。\\
~~~y^{6} の位数は5。\\
~~~z^{35} の位数は2。\\
~~~z^{14} の位数は5。\\
~~~z^{10} の位数は7。\\
練習のために、位数2の元f_1 を、f_1=z^{35}とし、 \\
~~~位数30の元f_2 を、位数2の元x^{3}, 位数3の元y^{10}, 位数5の元z^{14} で作り、\\
~~~位数210の元f_3を、位数3の元x^{2}, 位数2の元y^{15}, 位数5の元y^{6}, 位数7の元z^{10}で作る。\\
さて、f_2。\\
~~~(30/2,2)=1 ~~より、15 \alpha_1 \equiv 1~~ mod 2 を解いて、\alpha_1 \equiv 1 ~~mod 2 \\
~~~(30/3,3)=1 ~~より、10 \alpha_2 \equiv 1 ~~mod 3 を解いて、\alpha_2 \equiv 1~~ mod 3 \\
~~~(30/5,5)=1 ~~より、6 \alpha_3 \equiv 1~~ mod 5 を解いて、\alpha_3 \equiv 1 ~~mod 5 \\
故に、位数30の元は、(x^{3})^{1}(y^{10})^{1}(z{14})^{1}=(3,10,14) ~~これをf_2 と置く。\\
次に、f_3。\\
~~~(210/3,3)=1 ~~より、70 \alpha_1 \equiv 1 ~~mod 3 を解いて、\alpha_1 \equiv 1~~ mod 3 \\
~~~(210/2,2)=1 ~~より、105 \alpha_2 \equiv 1~~ mod 2 を解いて、\alpha_2 \equiv 1~~ mod 2 \\
~~~(210/5,5)=1 ~~より、42 \alpha_3 \equiv 1~~ mod 5 を解いて、\alpha_3 \equiv 1~~ mod 5 \\
~~~(210/7,7)=1 ~~より、30 \alpha_4 \equiv 1 ~~mod 7 を解いて、\alpha_4 \equiv 4 ~~mod 7 \\
故に、位数210の元は、(x^{2})^{1}((y^{15})^{1}(y^{6})^{1}z{10})^{4}=(2,21,40) ~~これをf_3 と置く。\\
即ち、f_1=(0,0,35) 、f_2=(3,10,14) と、f_3=(2,21,40) ~~で、(2,30,210) 型となる。\\
f_1, f_2とf_3 で、元の群を作っているか、心配である。これを確かめる。\\
f_1, f_2とf_3 でx ,y とz を作ることを言えばよい。\\
~~~60f_3=(0,0,20), ~~6f_2=(0,0,14) \\
~~~2(60f_3)=(0,0,40), ~~3(6f_2)=(0,0,42) \\
~~~-2(60f_3)+3(6f_2)=(0,0,2) \\
~~~f_1-17(-2(60f_3)+3(6f_2))=(0,0,35)-(0,0,34)=(0,0,1)=z \\
これでz が出来た。\\
~~~f_2-14z=(3,10,0), ~~f_3-40z=(2,21,0) \\
~~~2(f_2-14z)=(0,20,0),~~~3(f_3-40z)=(0,3,0) \\
~~~7(3(f_3-40z))-2(f_2-14z)=(0,21,0)-(0,20,0)=(0,1,0)=y \\
これでy が出来た。\\
~~~(f_2-14z)+(f_3-40z)=(5,1,0) \\
~~~(f_2-14z)+(f_3-40z)-y=(5,0,0) \\
~~~5((f_2-14z)+(f_3-40z)-y)=(1,0,0)=x \\
これでx も出来た。~~~（解おわり）
\end{math}
\end{question}


以上から次の定理が予想される。
\begin{theorem}{可換群の基本定理}\label{可換群の基本定理}\\
~~可換群を（a,b,c）型と書くと、a は b を、b は c を割る切るように出来る。\\
\end{theorem}

\begin{question}
今まで作った群のうち、可換群をすべて上の表示で書け。\\
解~~~ 位数２のとき、（2）\\
位数３のとき、（3）\\
位数４のとき、（4）、（2、2）\\
位数５のとき、（5）\\
位数６のとき、（6）\\
位数７のとき、（7）\\
位数８のとき、（8）、（2、4）、（2、2、2）\\
解おわり。
\end{question}
\section{正規部分群、自己同型}
\begin{definition}\label{正規部分群}
\begin{math}
G ：群 G の部分群 N が与えられたとき 、\\
すべてのGの元 a に対して a^{-1}Na=N \\
のとき、Ｎを正規部分群といい、\\
G \rhd N ~~~or ~~~ N \lhd G ~~ と書く。\\
\end{math}
\end{definition}

\begin{definition}\label{自己同型}
\begin{math}
N を群G の正規部分群とする。G の元d が与えられたとき、 N の元n をd^{-1} とd で挟んで出来る元、
d^{-1}nd ~は、また N の元である。d によって出来るN から N への写像、\\
~~~~~~~~~~~~N \longrightarrow N \\
~~~~~~~~~~~~n \longmapsto d^{-1}nd \\
を、N の自己同型という。（明らかに1節、定義3の「同型」の定義は成立している。）\\
（「写像」のことを自己同型と呼ぶのである。分かり難い概念であるが、敢えて記した。）\\
\end{math}
\end{definition}

\subsection{(3),(4),(2,2),(5)の自己同型}\label{(3),(4),(2,2),(5)の自己同型}

\begin{question}
\begin{math}
N=\{e,a,a^{2}\} given のとき、全ての自己同型を作れ。\\
解~~~d による a の行く先を決めれば a^{2} の行く先も決まる。\\
case ~(0) ~~d^{-1}ad=e のとき。これは a=e となり、矛盾。このときはなし。\\
case ~(1) ~~d^{-1}ad=a のとき。\\
~~~~~d^{-1}a^{2}d=d^{-1}add^{-1}ad=a^{2}。つまり、恒等写像。\\
case ~(2) ~~d^{-1}ad=a^{2} のとき。\\
~~~~~d^{-1}a^{2}d=(d^{-1}ad)(d^{-1}ad)=a^{2}a^{2}=a\\
~~~~~ a に1 という名前をつけ、a^{2} に2 という名前をつければ、これは\\
~~~~~ 1を2に、2を1に行かせる写像。即ち（12）。\\
自己同型全部は、（1）と（12）の２個。（解おわり）
\end{math}
\end{question}
Recall ~~~位数６の群を作ったときを思いおこすと、\\
d に（1）を対応させて作ったものが（6）型可換群になり、\\
d に（12）を対応させて作ったものが $D_3$ になったのであった。 \\

\begin{question}
\begin{math}
N が（4）型可換群のとき、全ての自己同型を作れ。\\
解~~~N=\{e,a,a^{2},a^{3}\} \\
d による a の行く先を決めればよい。\\
case ~(1) ~~d^{-1}ad=a のとき。恒等写像。\\
case ~(2) ~~d^{-1}ad=a^{2} のとき。\\
~~~~~d^{-1}a^{2}d=(d^{-1}ad)(d^{-1}ad)=a^{2}a^{2}=e\\
~~~~~a^{2}=e となり、矛盾。この場合はなし。\\
case ~(3) ~~d^{-1}ad=a^{3} のとき。\\
~~~~~d^{-1}a^{2}d=(d^{-1}ad)(d^{-1}ad)=a^{3}a^{3}=a^{2}\\
~~~~~d^{-1}a^{3}d=(d^{-1}ad)(d^{-1}ad)(d^{-1}ad)=a^{3}a^{3}a^{3}=a^{9}=a\\
~~~~~a に1 という名前をつけ、a^{3} に3 という名前をつければ、これは\\
~~~~~ 1を3に、3を1に行かせる写像。即ち（13）。\\
自己同型全部は、（1）と（13）の２個。（解おわり）
\end{math}
\end{question}
Recall ~~~位数８の群を作ったとき、\\
d に（1）を対応させて作れば、（2,4）型が出来た。（case (3-1-1) の場合。）\\
d に（13）を対応させて作れば $D_4$ （case (2-1-1-3) の場合）、
或いは、Q が出来た。（case (2-1-2-3) の場合）

\begin{question}
\begin{math}
N が（2,2）型可換群のとき、全ての自己同型を作れ。\\
解~~~N=\{e,a,b,ab\} \\
d による a の行く先と、d による b の行く先を決めればよい。\\
case ~(1) ~~d^{-1}ad=a のとき。\\
~~~~~ case~（1-1）~~d^{-1}bd=b のとき、\\
~~~~~これは恒等写像 （1）。\\
~~~~~case~(1-2) ~~ d^{-1}bd=ab のとき。\\
~~~~~ d^{-1}abd=aab=b \\
~~~~~a に1、b に2 、ab に3という名前をつければ、これは（23）\\
case ~(2) ~~d^{-1}ad=b のとき。\\
~~~~~ case~（2-1）~~d^{-1}bd=a のとき、\\
~~~~~ d^{-1}abd=ba=ab ~~~これは（12）\\
~~~~~case~(2-2) ~~ d^{-1}bd=ab のとき。\\
~~~~~ d^{-1}abd=bab=a ~~~これは（123）\\
case ~(3) ~~d^{-1}ad=ab のとき。\\
~~~~~ case~（3-1）~~d^{-1}bd=a のとき、\\
~~~~~ d^{-1}abd=aba=b ~~~これは（132）\\
~~~~~case~(3-2) ~~ d^{-1}bd=b のとき。\\
~~~~~ d^{-1}abd=abb=a ~~~これは（13）\\
自己同型全部は、（1）（12）（13）（23）（123）（132）の6個。\\
即ち、D_3 になっている。（解おわり）
\end{math}
\end{question}

\begin{question}
\begin{math}
N が（5）型可換群のとき、全ての自己同型を作れ。\\
解~~~N=\{e,a,a^{2},a^{3},a^{4}\} \\
d による a の行く先を決めればよい。\\
case ~(1) ~~d^{-1}ad=a のとき。\\
~~~~~これは恒等写像 （1）。\\
case ~(2) ~~d^{-1}ad=a^{2} のとき。\\
~~~~~ d^{-1}a^{2}d=a^{4}, ~~ d^{-1}a^{3}d=a^{6}=a,\\
~~ ~~~d^{-1}a^{4}d=a^{8}=a^{3}。これは（1243）\\
case ~(3) ~~d^{-1}ad=a^{3} のとき。\\
~~~~~ d^{-1}a^{2}d=a^{6}=a, ~~ d^{-1}a^{3}d=a^{9}=a^{4},\\
~~ ~~~d^{-1}a^{4}d=a^{12}=a^{2}。これは（1342）\\
case ~(4) ~~d^{-1}ad=a^{4} のとき。\\
~~~~~ d^{-1}a^{2}d=a^{8}=a^{3}, ~~ d^{-1}a^{3}d=a^{12}=a^{2},\\
~~ ~~~d^{-1}a^{4}d=a^{16}=a。これは（14）（23）\\
自己同型全部は、（1）、（1243）、（1342）、（14）（23）の４個。\\
即ち、（4）型可換群 になっている。（解おわり）\\
\end{math}
\end{question}

\subsection{(2,2,2)の自己同型}\label{(2,2,2)の自己同型}


\begin{question}
(2,2,2)型可換群の自己同型を求めよ。\\
解~~~(2,2,2)=\{e,a,b,ab,c,ac,bc,abc\} \\
e=(000),a=(100), b=(010), ab=(110), c=(001), ac=(101), bc=(011),abc=(111) \\
と元を横ベクトルで表し、自己同型を(3,3) 行列で表す。即ち、
$$\begin{pmatrix}1 & 0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&0&1 \\ 0 &1&0\\1&1&0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}0 & 0& 1\end{pmatrix}$$
これは、この(3,3)行列により、a が c に行くことを表している。\\
$$\begin{pmatrix}1 & 0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&0&1 \\ 0 &1&0\\1&1&0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1 & 1& 1\end{pmatrix}$$
これは、この(3,3)行列により、ac が abc に行くことを表している。\\
以下、元の名前を数字で次のように表し、置換の形式で自己同型を求める。\\
（順番は行列の成分を左から右、上から下に揃えたときの辞書式配列。）
\[ \begin{array}{cccccccc }
e&a&b&ab&c&ac&bc&abc \\
0&1&2&4&3&5&6&7
\end{array} \]

\[ \begin{array}{c|ccc|cc|cc }
1)&0&0&1&d^{-1}ad=c&1 \longmapsto 3&d^{-1}acd=ca=ac&5 \longmapsto 5 \\
&0&1&0&d^{-1}bd=b& 2 \longmapsto 2&d^{-1}bcd=ba=ab&6 \longmapsto 4\\
&1&0&0&d^{-1}cd=a& 3 \longmapsto 1&d^{-1}abcd=abc&7 \longmapsto 7\\
&&& &d^{-1}abd=cb=bc&4 \longmapsto 6& (13)(46)
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|cc }
2)&0&0&1&d^{-1}ad=c&1 \longmapsto 3&d^{-1}acd=cac=a&5 \longmapsto 1 \\
&0&1&0&d^{-1}bd=b& 2 \longmapsto 2&d^{-1}bcd=ba=abc&6 \longmapsto 7\\
&1&0&1&d^{-1}cd=ac& 3 \longmapsto 5&d^{-1}abcd=ab&7 \longmapsto 4\\
&&& &d^{-1}abd=cb=bc&4 \longmapsto 6& (135)(467)
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|cc }
3)&0&0&1&d^{-1}ad=c&1 \longmapsto 3&d^{-1}acd=cab=abc&5 \longmapsto 7 \\
&0&1&0&d^{-1}bd=b& 2 \longmapsto 2&d^{-1}bcd=bab=a&6 \longmapsto 1\\
&1&1&0&d^{-1}cd=ab& 3 \longmapsto 4&d^{-1}abcd=cbab=ac&7 \longmapsto 5\\
&&& &d^{-1}abd=cb=bc&4 \longmapsto 6& (1346)(57)
\end{array} \]
以下、結果のみ記す。
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
4)&0&0&1&(137)(465)&5)&0&0&1&(13)(2674)&6)&0&0&1&(135)(264)\\
&0&1&0& & &0&1&1& & &0&1&1&\\
&1&1&1& & &1&0&0& & &1&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
7)&0&0&1&(1342657)&8)&0&0&1&(1375426)&9)&0&0&1&(132)(456)\\
&0&1&1& & &0&1&1& & &1&0&0&\\
&1&1&0& & &1&1&1& & &0&1&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
10)&0&0&1&(1367452)&11)&0&0&1&(1345762)&12)&0&0&1&(1372)(45)\\
&1&0&0& & &1&0&0& & &1&0&0&\\
&0&1&1& & &1&1&0& & &1&1&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
13)&0&0&1&(1325674)&14)&0&0&1&(1364)(25)&15)&0&0&1&(134)(257)\\
&1&0&1& & &1&0&1& & &1&0&1&\\
&0&1&0& & &0&1&1& & &1&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
16)&0&0&1&(1376254)&17)&0&0&1&(1324756)&18)&0&0&1&(1365247)\\
&1&0&1& & &1&1&0& & &1&1&0&\\
&1&1&1& & &0&1&0& & &0&1&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
19)&0&0&1&(2476)(13)&20)&0&0&1&(135)(247)&21)&0&0&1&(1327)(56)\\
&1&1&0& & &1&1&0& & &1&1&1&\\
&1&0&0& & &1&0&1& & &0&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
22)&0&0&1&(136)(275)&23)&0&0&1&(13)(27)&24)&0&0&1&(135)(276)\\
&1&1&1& & &1&1&1& & &1&1&1&\\
&0&1&1& & &1&0&0& & &1&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
25)&0&1&0&(123)(465)&26)&0&1&0&(1235746)&27)&0&1&0&(1234675)\\
&0&0&1& & &0&0&1& & &0&0&1&\\
&1&0&0& & &1&0&1& & &1&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
28)&0&1&0&(1237)(46)&29)&0&1&0&(1267543)&30)&0&1&0&(1264357)\\
&0&0&1& & &0&1&1& & &0&1&1&\\
&1&1&1& & &1&0&0& & &1&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
31)&0&1&0&(1265)(34)&32)&0&1&0&(126)(374)&33)&0&1&0&(12)(56)\\
&0&1&1& & &0&1&1& & &1&0&0&\\
&1&1&0& & &1&1&1& & &0&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
34)&0&1&0&(12)(3675)&35)&0&1&0&(12)(3576)&36)&0&1&0&(12)(37)\\
&1&0&0& & &1&0&0& & &1&0&0&\\
&0&1&1& & &1&0&1& & &1&1&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
37)&0&1&0&(1256)(47)&38)&0&1&0&(1253647)&39)&0&1&0&(1254763)\\
&1&0&1& & &1&0&1& & &1&0&1&\\
&0&0&1& & &0&1&1& & &1&0&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
40)&0&1&0&(125)(347)&41)&0&1&0&(124)(567)&42)&0&1&0&(124)(365)\\
&1&0&1& & &1&1&0& & &1&1&0&\\
&1&1&0& & &0&0&1& & &0&1&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
43)&0&1&0&(124)(357)&44)&0&1&0&(124)(376)&45)&0&1&0&(127)(456)\\
&1&1&0& & &1&1&0& & &1&1&1&\\
&1&0&1& & &1&1&1& & &0&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
46)&0&1&0&(1274536)&47)&0&1&0&(1273)(45)&48)&0&1&0&(1276345)\\
&1&1&1& & &1&1&1& & &1&1&1&\\
&0&1&1& & &1&0&0& & &1&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
49)&0&1&1&(1657423)&50)&0&1&1&(2354)(16)&51)&0&1&1&(167)(234)\\
&0&0&1& & &0&0&1& & &0&0&1&\\
&1&0&0& & &1&0&1& & &1&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
52)&0&1&1&(1642375)&53)&0&1&1&(1643)(57)&54)&0&1&1&(167)(354)\\
&0&0&1& & &0&1&0& & &0&1&0&\\
&1&1&1& & &1&0&0& & &1&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
55)&0&1&1&(16)(34)&56)&0&1&1&(165)(374)&57)&0&1&1&(1652)(47)\\
&0&1&0& & &1&0&0& & &1&0&0&\\
&1&1&0& & &0&0&1& & &0&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
58)&0&1&1&(1647532)&59)&0&1&1&(1635472)&60)&0&1&1&(162)(347)\\
&1&0&0& & &1&0&0& & &1&0&1&\\
&0&1&0& & &1&0&1& & &1&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
61)&0&1&1&(16)(25)&62)&0&1&1&(167)(253)&63)&0&1&1&(163)(257)\\
&1&0&1& & &1&0&1& & &1&0&1&\\
&0&0&1& & &0&1&0& & &1&0&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
64)&0&1&1&(1625)(37)&65)&0&1&1&(167)(245)&66)&0&1&1&(16)(2453)\\
&1&0&1& & &1&1&0& & &1&1&0&\\
&1&1&1& & &0&0&1& & &0&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
67)&0&1&1&(1624573)&68)&0&1&1&(1637245)&69)&0&1&1&(164)(275)\\
&1&1&0& & &1&1&0& & &1&1&1&\\
&1&0&0& & &1&1&1& & &0&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
70)&0&1&1&(1653274)&71)&0&1&1&(1627354)&72)&0&1&1&(1634)(27)\\
&1&1&1& & &1&1&1& & &1&1&1&\\
&0&1&0& & &1&0&1& & &1&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
73)&1&0&0&(23)(45)&74)&1&0&0&(236)(457)&75)&1&0&0&(2345)(67)\\
&0&0&1& & &0&0&1& & &0&0&1&\\
&0&1&0& & &0&1&1& & &1&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
76)&1&0&0&(237)(456)&77)&1&0&0&(1)& 78) &1&0&0&(36)(57)\\
&0&0&1& & &0&1&0& & &0&1&0&\\
&1&1&1& & &0&0&1& & &0&1&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
79)&1&0&0&(35)(67)&80)&1&0&0&(37)(56)&81)&1&0&0&(26)(47)\\
&0&1&0& & &0&1&0& & &0&1&1&\\
&1&0&1& & &1&1&1& & &0&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
82)&1&0&0&(263)(475)&83)&1&0&0&(2647)(35)&84)&1&0&0&(265)(347)\\
&0&1&1& & &0&1&1& & &0&1&1&\\
&0&1&0& & &1&0&1& & &1&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
85)&1&0&0&(2543)(67)&86)&1&0&0&(257)(364)&87)&1&0&0&(25)(34)\\
&1&0&1& & &1&0&1& & &1&0&1&\\
&0&1&0& & &0&1&1& & &1&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
88)&1&0&0&(256)(374)&89)&1&0&0&(24)(67)&90)&1&0&0&(24)(3657)\\
&1&0&1& & &1&1&0& & &1&1&0&\\
&1&1&1& & &0&0&1& & &0&1&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
91)&1&0&0&(24)(35)&92)&1&0&0&(24)(3756)&93)&1&0&0&(27)(46)\\
&1&1&0& & &1&1&0& & &1&1&1&\\
&1&0&1& & &1&1&1& & &0&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
94)&1&0&0&(273)(465)&95)&1&0&0&(2746)(35)&96)&1&0&0&(275)(346)\\
&1&1&1& & &1&1&1& & &1&1&1&\\
&0&1&0& & &1&0&1& & &1&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
97)&1&0&1&(1574)(23)&98)&1&0&1&(154)(236)&99)&1&0&1&(1567234)\\
&0&0&1& & &0&0&1& & &0&0&1&\\
&0&1&0& & &0&1&1& & &1&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
100)&1&0&1&(1523764)&101)&1&0&1&(15)(47)&102)&1&0&1&(1547)(36)\\
&0&0&1& & &0&1&0& & &0&1&0&\\
&1&1&1& & &0&0&1& & &0&1&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
103)&1&0&1&(153)(476)&104)&1&0&1&(156)(347)&105)&1&0&1&(15)(26)\\
&0&1&0& & &0&1&0& & &0&1&1&\\
&1&0&0& & &1&1&0& & &0&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
106)&1&0&1&(157)(263)&107)&1&0&1&(153)(267)&108)&1&0&1&(1526)(37)\\
&0&1&1& & &0&1&1& & &0&1&1&\\
&0&1&0& & &1&0&0& & &1&1&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
109)&1&0&1&(1576432)&110)&1&0&1&(1543672)&111)&1&0&1&(1562)(34)\\
&1&0&0& & &1&0&0& & &1&0&0&\\
&0&1&0& & &0&1&1& & &1&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
112)&1&0&1&(152)(374)&113)&1&0&1&(15)(2467)&114)&1&0&1&(1573246)\\
&1&0&0& & &1&1&0& & &1&1&0&\\
&1&1&1& & &0&0&1& & &0&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
115)&1&0&1&(153)(246)&116)&1&0&1&(1524637)&117)&1&0&1&(15)(2764)\\
&0&0&1& & &1&1&0& & &1&1&1&\\
&1&1&1& & &1&1&1& & &0&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
118)&1&0&1&(1542736)&119)&1&0&1&(153)(274)&120)&1&0&1&(1563427)\\
&1&1&1& & &1&1&1& & &1&1&1&\\
&0&1&1& & &1&0&0& & &1&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
121)&1&1&0&(1475)(23)&122)&1&1&0&(147)(236)&123)&1&1&0&(1476523)\\
&0&0&1& & &0&0&1& & &0&0&1&\\
&0&1&0& & &0&1&1& & &1&0&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
124)&1&1&0&(1472356)&125)&1&1&0&(14)(57)&126)&1&1&0&(14)(36)\\
&0&0&1& & &0&1&0& & &0&1&0&\\
&1&0&1& & &0&0&1& & &0&1&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
127)&1&1&0&(14)(3567)&128)&1&1&0&(14)(3765)&129)&1&1&0&(1457)(26)\\
&0&1&0& & &0&1&0& & &0&1&1&\\
&1&0&1& & &1&1&1& & &0&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
130)&1&1&0&(145)(263)&131)&1&1&0&(1452673)&132)&1&1&0&(1453726)\\
&0&1&1& & &0&1&1& & &0&1&1&\\
&0&1&0& & &1&0&0& & &1&1&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
133)&1&1&0&(142)(576)&134)&1&1&0&(142)(367)&135)&1&1&0&(142)(356)\\
&1&0&0& & &1&0&0& & &1&0&0&\\
&0&0&1& & &0&1&1& & &1&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
136)&1&1&0&(142)(375)&137)&1&1&0&(146)(257)&138)&1&1&0&(1467325)\\
&1&0&0& & &1&0&1& & &1&0&1&\\
&1&1&1& & &0&0&1& & &0&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
139)&1&1&0&(1463)(25)&140)&1&1&0&(1462537)&141)&1&1&0&(1432765)\\
&1&0&1& & &1&0&1& & &1&1&1&\\
&1&0&0& & &1&1&1& & &0&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
142)&1&1&0&(1436)(27)&143)&1&1&0&(143)(275)&144)&1&1&0&(1435627)\\
&1&1&1& & &1&1&1& & &1&1&1&\\
&0&1&1& & &1&0&0& & &1&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
145)&1&1&1&(17)(23)&146)&1&1&1&(175)(236)&147)&1&1&1&(1723)(56)\\
&0&0&1& & &0&0&1& & &0&0&1&\\
&0&1&0& & &0&1&1& & &1&0&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
148)&1&1&1&(176)(235)&149)&1&1&1&(17)(45)&150)&1&1&1&(1745)(36)\\
&0&0&1& & &0&1&0& & &0&1&0&\\
&1&0&1& & &0&0&1& & &0&1&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
151)&1&1&1&(173)(456)&152)&1&1&1&(176)(345)&153)&1&1&1&(1754)(26)\\
&0&1&0& & &0&1&0& & &0&1&1&\\
&1&0&0& & &1&1&0& & &0&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
154)&1&1&1&(174)(263)&155)&1&1&1&(1735264)&156)&1&1&1&(1726534)\\
&0&1&1& & &0&1&1& & &0&1&1&\\
&0&1&0& & &1&0&1& & &1&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
157)&1&1&1&(172)(465)&158)&1&1&1&(1732)(46)&159)&1&1&1&(1746352)\\
&1&0&0& & &1&0&0& & &1&0&0&\\
&0&0&1& & &0&1&0& & &1&0&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
160)&1&1&1&(1753462)&161)&1&1&1&(176)(254)&162)&1&1&1&(1736425)\\
&1&0&0& & &1&0&1& & &1&0&1&\\
&1&1&0& & &0&0&1& & &0&1&1&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
163)&1&1&1&(1742563)&164)&1&1&1&(17)(2534)&165)&1&1&1&(176)(243)\\
&1&0&1& & &1&0&1& & &1&1&0&\\
&1&0&0& & &1&1&0& & &0&1&0&
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccc|cc|ccc|cc|ccc|cc }
166)&1&1&1&(1724365)&167)&1&1&1&(1756243)&168)&1&1&1&(17)(2435)\\
&1&1&0& & &1&1&0& & &1&1&0&\\
&0&1&1& & &1&0&0& & &1&0&1&
\end{array} \]
\end{question}

\begin{question}
上の自己同型全体は群をなしているが、この群に関してSylowの定理3
（後に出てくる定理18）が成立していることを確かめよ。\\
解~~~位数2の部分群は下記の21個。(1+2 $\times$ 10)
\begin{verbatim}
36 (12)(37) 125 (14)(57) 55 (16)(34) 91 (24)(35) 93 (27)(46)
33 (12)(56) 105 (15)(26) 145 (17)(23) 89 (24)(67) 79 (35)(67)
23 (13)(27) 101 (15)(47) 149 (17)(45) 87 (25)(34) 78 (36)(57)
1 (13)(46) 61 (16)(25) 73 (23)(45) 81 (26)(47) 80 (37)(56)
126 (14)(36)
\end{verbatim}
~~~位数3の部分群は下記の28個。（1+$3 \times$ 9）
\begin{verbatim}
25 (123)(465) 43 (124)(357) 42 (124)(365) 44 (124)(376) 41 (124)(567)
9 (132)(456) 136 (142)(375) 135 (142)(356) 134 (142)(367) 133 (142)(576)

40 (125)(347) 32 (126)(374) 45 (127)(456) 15 (134)(257) 20 (135)(247)
112 (152)(374) 60 (162)(347) 157 (172)(465) 143 (143)(275) 119 (153)(274)

6 (135)(264) 24 (135)(276) 2 (135)(467) 22 (136)(275) 4 (137)(465)
115 (153)(246) 107 (153)(267) 103 (153)(476) 63 (163)(257) 151 (173)(456)

130 (145)(263) 122 (147)(236) 104 (156)(347) 106 (157)(263) 137 (146)(257)
98 (154)(236) 154 (174)(263) 56 (165)(374) 146 (175)(236) 69 (164)(275)

51 (167)(234) 65 (167)(245) 62 (167)(253) 54 (167)(354) 74 (236)(457)
165 (176)(243) 161 (176)(254) 148 (176)(235) 152 (176)(345) 82 (263)(475)

76 (237)(456) 88 (256)(374) 86 (257)(364)
94 (273)(465) 84 (265)(347) 96 (275)(346)
\end{verbatim}
~~~位数4の部分群は下記の21個（但し位数2の元は省略。それは位数2の部分群に列挙ずみ。）
\begin{verbatim}
28 (1237)(46) 37 (1256)(47) 31 (1265)(34) 47 (1273)(45)
158 (1732)(46) 57 (1652)(47) 111 (1562)(34) 12 (1372)(45)

21 (1327)(56) 3 (1346)(57) 14 (1364)(25) 142 (1436)(27)
147 (1723)(56) 53 (1643)(57) 139 (1463)(25) 72 (1634)(27)

129 (1457)(26) 121 (1475)(23) 108 (1526)(37) 102 (1547)(36)
153 (1754)(26) 97 (1574)(23) 64 (1625)(37) 150 (1745)(36)

75 (2345)(67) 50 (2354)(16) 168 (2435)(17) 113 (2467)(15)
85 (2543)(67) 66 (2453)(16) 164 (2534)(17) 117 (2764)(15)

19 (2476)(13) 83 (2647)(35) 127 (3567)(14) 35 (3576)(12)
5 (2674)(13) 95 (2746)(35) 128 (3765)(14) 34 (3675)(12)

90 (3657)(24)
92 (3756)(24)
\end{verbatim}
1)~~位数7の部分群は下記の8個。（７+1）
\begin{verbatim}
27 （1234675） 26 （1235746） 38 （1253647） 39 （1254763）
18 （1365247） 16 （1376254） 99 （1567234） 114 （1573246）
132 （1453726） 120 （1563427） 8 （1375426） 144 （1435627）
71 （1627354） 166 （1724365） 67 （1624573） 156 （1726534）
163 （1742563） 131 （1452673） 141 （1432765） 52 （1642375）
109 （1576432） 58 （1647532） 159 （1746352） 10 （1367452）

30 （1264357） 29 （1267543） 46 （1274536） 48 （1276345）
68 （1637245） 70 （1653274） 167 （1756243） 155 （1735264）
123 （1476523） 162 （1736425） 138 （1467325） 49 （1657423）
13 （1325674） 116 （1524637） 100 （1523764） 17 （1324756）
118 （1542736） 124 （1472356） 7 （1342657） 140 （1462537）
160 （1753462） 11 （1345762） 59 （1635472） 110 （1543672）
\end{verbatim}
解おわり。
\end{question}

\subsection{(2,4),$D_4$,Qの自己同型}\label{(2,4),$D_4$,Qの自己同型}

\begin{question}
\begin{math}
(2,4)型可換群の自己同型を求めよ。\\
解~~~(2,4)=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b\} \\
以下、元の名前を数字で次のように表し、置換の形式で自己同型を求める。\\
\end{math}
\[ \begin{array}{cccccccc }
e&a&a^{2}&a^{3}&b&ab&a^{2}b&a^{3}b \\
0&1&2&3&4&5&6&7
\end{array} \]
\begin{math}
位数4の元は、a,a^{3},ab,a^{3}b の4個。位数2の元は、a^{2}, b,a^{2}b の3個。\\
従って、a の行く先は4通り。bの行く先は、b,a^{2}b の2通り。（a^{2}は矛盾がでる。）\\
case ~~1)~~ d^{-1}ad=a, d^{-1}bd=b のとき、(1) \\
case ~~2) ~~d^{-1}ad=a, d^{-1}bd=a^{2}b のとき、(46)(57) \\
case ~~3) ~~d^{-1}ad=a^{3}, d^{-1}bd=b のとき、(13)(57) \\
case ~~4) ~~d^{-1}ad=a^{3}, d^{-1}bd=a^{2}b のとき、(13)(46) \\
case ~~5) ~~d^{-1}ad=ab, d^{-1}bd=b のとき、(15)(37) \\
case ~~6)~~ d^{-1}ad=ab, d^{-1}bd=a^{2}b のとき、(1537)(46) \\
case ~~7)~~ d^{-1}ad=a^{3}b, d^{-1}bd=b のとき、(17)(35) \\
case ~~8)~~ d^{-1}ad=a^{3}b, d^{-1}bd=a^{2}b のとき、(1735)(46) \\
これは位数8の群で位数2の元が5個あるのでdihedral~~ D_4~~~（解おわり）
\end{math}
\end{question}

\begin{question}
\begin{math}
dihedral~~D_4 の自己同型を求めよ。\\
解~~~D_4=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b\} \\
(a^{4}=e, b^{2}=e, b^{-1}ab=a^{3})
以下、元の名前を数字で次のように表し、置換の形式で自己同型を求める。\\
\end{math}
\[ \begin{array}{cccccccc }
e&a&a^{2}&a^{3}&b&ab&a^{2}b&a^{3}b \\
0&1&2&3&4&5&6&7
\end{array} \]
\begin{math}
位数4の元は、a,a^{3} の2個。位数2の元は、a^{2}, b,ab,a^{2}b,a^{3}b の5個。\\
従って、a の行く先は2通り。bの行く先は、b,ab,a^{2}b,a^{3}b の4通り。（a^{2}は矛盾がでる。）\\
case ~~1)~~ d^{-1}ad=a, d^{-1}bd=b のとき、(1) \\
case ~~2) ~~d^{-1}ad=a, d^{-1}bd=ab のとき、(4567) \\
case ~~3) ~~d^{-1}ad=a, d^{-1}bd=a^{2}b のとき、(46)(57) \\
case ~~4) ~~d^{-1}ad=a, d^{-1}bd=a^{3}b のとき、(4765) \\
case ~~5) ~~d^{-1}ad=a^{3}, d^{-1}bd=b のとき、(13)(57) \\
case ~~6)~~ d^{-1}ad=a^{3}, d^{-1}bd=ab のとき、(13)(45)(67) \\
case ~~7)~~ d^{-1}ad=a^{3}, d^{-1}bd=a^{2}b のとき、(13)(46) \\
case ~~8)~~ d^{-1}ad=a^{3}, d^{-1}bd=a^{3}b のとき、(13)(47)(56) \\
これは位数8の群で位数2の元が5個あるのでdihedral~~ D_4~~~（解おわり）
\end{math}
\end{question}

\begin{question}
\begin{math}
quaternion~~Q の自己同型を求めよ。\\
解~~~Q=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b\} \\
(a^{4}=e, b^{2}=a^{2}, b^{-1}ab=a^{3})
以下、元の名前を数字で次のように表し、置換の形式で自己同型を求める。\\
\end{math}
\[ \begin{array}{cccccccc }
e&a&a^{2}&a^{3}&b&ab&a^{2}b&a^{3}b \\
0&1&2&3&4&5&6&7
\end{array} \]
\begin{math}
aの行く先は、a,a^{3} ,b,ab,a^{2}b,a^{3}bの6通り。
bの行く先は、b,ab,a^{2}b,a^{3}b の4通り。\\
case ~~1)~~ d^{-1}ad=a, d^{-1}bd=b のとき、(1) \\
case ~~2) ~~d^{-1}ad=a, d^{-1}bd=ab のとき、(4567) \\
case ~~3) ~~d^{-1}ad=a, d^{-1}bd=a^{2}b のとき、(46)(57) \\
case ~~4) ~~d^{-1}ad=a, d^{-1}bd=a^{3}b のとき、(4765) \\
case ~~5) ~~d^{-1}ad=a^{3}, d^{-1}bd=b のとき、(13)(57) \\
case ~~6)~~ d^{-1}ad=a^{3}, d^{-1}bd=ab のとき、(13)(45)(67) \\
case ~~7)~~ d^{-1}ad=a^{3}, d^{-1}bd=a^{2}b のとき、(13)(46) \\
case ~~8)~~ d^{-1}ad=a^{3}, d^{-1}bd=a^{3}b のとき、(13)(47)(56) \\
case ~~9) ~~d^{-1}ad=b, d^{-1}bd=a のとき、(14)(36)(57) \\
case ~~10)~~ d^{-1}ad=b, d^{-1}bd=a^{3} のとき、(1436) \\
case ~~11)~~ d^{-1}ad=b, d^{-1}bd=ab のとき、(145)(367) \\
case ~~12)~~ d^{-1}ad=b, d^{-1}bd=a^{3}b のとき、(147)(365) \\
case ~~13) ~~d^{-1}ad=ab, d^{-1}bd=a のとき、(154)(376) \\
case ~~14)~~ d^{-1}ad=ab, d^{-1}bd=a^{3} のとき、(156)(374) \\
case ~~15)~~ d^{-1}ad=ab, d^{-1}bd=b のとき、(1537) \\
case ~~16)~~ d^{-1}ad=ab, d^{-1}bd=ab のとき、(15)(37)(46) \\
case ~~17) ~~d^{-1}ad=a^{2}b, d^{-1}bd=a のとき、(1634) \\
case ~~18)~~ d^{-1}ad=a^{2}b, d^{-1}bd=a^{3} のとき、(16)(34)(57) \\
case ~~19)~~ d^{-1}ad=a^{2}b, d^{-1}bd=ab のとき、(167)(345) \\
case ~~20)~~ d^{-1}ad=a^{2}b, d^{-1}bd=a^{3}b のとき、(165)(347) \\
case ~~21) ~~d^{-1}ad=a^{3}b, d^{-1}bd=a のとき、(174)(356) \\
case ~~22)~~ d^{-1}ad=a^{3}b, d^{-1}bd=a^{3} のとき、(176)(354) \\
case ~~23)~~ d^{-1}ad=a^{3}b, d^{-1}bd=b のとき、(1735) \\
case ~~24)~~ d^{-1}ad=a^{3}b, d^{-1}bd=a^{2}b のとき、(17)(35)(46) \\
これは位数24の群で位数6の元がないから~~ S_4~~~（解おわり）
\end{math}
\end{question}
\section{共役類、類等式、正規化群}
\begin{definition}\label{元の共役}
\begin{math}
G ：群 とその2個の元 a, b が与えられているとき、\\
a と b は共役 \Longleftrightarrow \exists g \in G ~~~such ~~that~~~~ g^{-1}ag=b \\
（「a と b が共役」とは、「あるG の元g があって、g^{-1}ag=b と出来る」ことをいう。）
\end{math}
\end{definition}

\begin{theorem}\label{共役の同値性}
\begin{math}
(1)~~a は a と共役。\\
(2)~~a が b と共役ならば、b は a と共役。\\
(3)~~a が b と共役、かつ、b が c と共役、ならば、a が c と共役。\\
証明 \\
(1)~~e \in G より、e^{-1}ae=a。\\
(2)~~g^{-1}ag=b、より、gbg^{-1}=a。\\
(3)~~g^{-1}ag=b、h^{-1}bh=c、より、h^{-1}g^{-1}agh=c、即ち、\\
~~~~~(gh)^{-1}agh=c ~~~（証明おわり）
\end{math}
\end{theorem}

\begin{theorem}\label{共役による同値類}
\begin{math}
G ：群 とその2個の元 a, b が与えられていて、\\
C_a ：a に共役な元全体。\\
C_b ：b に共役な元全体。\\
が与えられているとき、\\
C_a と C_b は、(1)集合として等しい、かまたは、(2)共通元が存在しない。\\
証明~~~ １個でも共通元があれば、集合として一致することをいえばよい。\\
イ)~~その共通元を x とする。x はa に共役、\\
ロ)~~かつ、x は b に共役。\\
ハ)~~前定理の(2)をイ)に適用し、a は x に共役。\\
ニ)~~前定理の(3)をハ)とロ)に適用し、a は b に共役。\\
さて、C_a に含まれる任意の元 y と C_b に含まれる任意の元 z が共役であることを示す。\\
ホ)~~条件から y はa に共役、\\
ヘ)~~かつ、z は b に共役。\\
ト)~~前定理の(2)をヘ)に適用し、b は z に共役。\\
チ)~~前定理の(3)をホ)とニ)に適用し、y は b に共役。\\
リ)~~前定理の(3)をチ)とト)に適用し、y は z に共役。~~~（証明おわり）
\end{math}
\end{theorem}

\begin{definition}\label{共役類}
上の定理で出来た集合 $C_a$ $C_b$ 等を、「共役類」という。
\end{definition}

\begin{question}
正三角形の二面体群 $D_3$ の共役類をすべて求めよ。\\
解 ~~~$D_3$=\{(1)、(123)、(132)、(12)、(13)、(23)\} \\
イ)~~(1) と共役なものは(1)だけ。($a^{-1}$ とa で(1)を挟むと(1)になるだけ。)\\
ロ)~~(123)と共役なものを求める。\\
~~~~(132)の逆元は(123)だから、 $a^{-1}$ (123)a=(123)(123)(132)＝(123)\\
~~~~(12)の逆元は(12)だから、 $a^{-1}$ (123)a=(12)(123)(12)＝(132)\\
~~~~(13)の逆元は(13)だから、 $a^{-1}$ (123)a=(13)(123)(13)＝(132)\\
~~~~(23)の逆元は(23)だから、 $a^{-1}$ (123)a=(23)(123)(23)＝(132)\\
~~~~従って(123)と共役な元は自分自身と(132)。\\
ハ)~~(12)と共役なものを求める。\\
~~~~(132)の逆元は(123)だから、 $a^{-1}$ (12)a=(123)(12)(132)＝(23)\\
~~~~(12)の逆元は(12)だから、 $a^{-1}$ (12)a=(12)(12)(12)＝(12)\\
~~~~(13)の逆元は(13)だから、 $a^{-1}$ (12)a=(13)(12)(13)＝(23)\\
~~~~(23)の逆元は(23)だから、 $a^{-1}$ (12)a=(23)(12)(23)＝(13)\\
~~~~従って(12)と共役な元は自分自身と(13)と(23)。~~~（解おわり）
\end{question}

\begin{question}
正四角形の二面体群 $D_4$ の共役類をすべて求めよ。\\
解 ~~~$D_4$=\{(1)、(1234)、(13)(24)、(1432)、(13)、(24)、(12)(34)、(14)(23)\} \\
イ)~~(1) と共役なものは(1)だけ。($a^{-1}$ とa で(1)を挟むと(1)になるだけ。)\\
ロ)~~(1234)と共役なものを求める。\\
~~~~(13)(24)の逆元は(13)(24)だから、 $a^{-1}$ (1234)a=(13)(24)(1234)(13)(24)＝(1234)\\
~~~~(1432)の逆元は(1234)だから、 $a^{-1}$ (1234)a=(1234)(1234)(1432)＝(1234)\\
~~~~(13)の逆元は(13)だから、 $a^{-1}$ (1234)a=(13)(1234)(13)＝(1432)\\
~~~~(24)の逆元は(24)だから、 $a^{-1}$ (1234)a=(24)(1234)(24)＝(1432)\\
~~~~(12)(34)の逆元は(12)(34)だから、 $a^{-1}$ (1234)a=(12)(34)(1234)(12)(34)＝(1234)\\
~~~~(14)(23)の逆元は(14)(23)だから、 $a^{-1}$ (1234)a=(14)(23)(1234)(14)(23)＝(1432)\\
~~~~従って(1234)と共役な元は自分自身と(1432)。\\
ハ)~~(13)(24)と共役なものを求める。\\
~~~~(1234)の逆元は(1432)だから、 $a^{-1}$ (13)(24)a=(1432)(13)(24)(1234)＝(13)(24)\\
~~~~(1432)の逆元は(1234)だから、 $a^{-1}$ (13)(24)a=(1234)(13)(24)(1432)＝(13)(24)\\
~~~~(13)の逆元は(13)だから、 $a^{-1}$ (13)(24)a=(13)(13)(24)(13)＝(13)(24)\\
~~~~(24)の逆元は(24)だから、 $a^{-1}$ (13)(24)a=(24)(13)(24)(24)＝(13)(24)\\
~~~~(12)(34)の逆元は(12)(34)だから、 $a^{-1}$ (13)(24)a=(12)(34)(13)(24)(12)(34)＝(13)(24)\\
~~~~(14)(23)の逆元は(14)(23)だから、 $a^{-1}$ (13)(24)a=(14)(23)(13)(24)(14)(23)＝(13)(24)\\
~~~~従って(13)(24)と共役な元は自分自身のみ。\\
同様の計算を行い、\\
ニ）(13) と共役なものは自分自身と(24)。\\
ホ）(12)(34) と共役なものは自分自身と(14)(23)。~~~（解おわり）
\end{question}

\begin{question}
位数４の巡回群 (4) の共役類をすべて求めよ。\\
解 ~~~$Z_4$=\{(1)、(1234)、(13)(24)、(1432)\} \\
イ)~~(1) と共役なものは(1)だけ。($a^{-1}$ とa で(1)を挟むと(1)になるだけ。)\\
ロ)~~(1234)と共役なものを求める。\\
~~~~(13)(24)の逆元は(13)(24)だから、 $a^{-1}$ (123)a=(13)(24)(1234)(13)(24)＝(1234)\\
~~~~(1432)の逆元は(1234)だから、 $a^{-1}$ (123)a=(1234)(1234)(1432)＝(1234)\\
~~~~従って(1234)と共役な元は自分自身のみ。\\
以下、$a^{-1}$ とa で b を挟むと b になるだけ。（可換群だから。）\\
共役類は一つ一つ孤立している。~~~（解おわり）
\end{question}

\begin{definition}\label{類等式}
共役類に含まれる元の個数をプラスの記号 + で結んだ式を類等式という。\\
\end{definition}

\begin{question}
正三角形の二面体群 $D_3$ の類等式を求めよ。\\
解~~~1+2+3 ~~~（解おわり）
\end{question}

\begin{question}
正四角形の二面体群 $D_4$ の類等式を求めよ。\\
解~~~1+1+2+2+2 ~~~（解おわり）
\end{question}

\begin{question}
巡回群　$Z_4$の類等式を求めよ。\\
解~~~1+1+1+1 ~~~（解おわり）
\end{question}

\begin{theorem}\label{「中心」}
\begin{math}
類等式において、数「1」で構成されている元（即ち、「共役類は自分自身に限る」という
性質を持つ元）全体は部分群をなす。\\
これをもとの群の「中心」という。\\
証明~~~該当する元は、「群の全ての元と可換」で特徴づけられる。\\
これが部分群をなすための必要十分条件は、定義４にある通り、\\
掛けたものが再び入り、逆元が再び入る、ことである。\\
a, b ：中心の元、 x ：元の群の任意の元、とする。\\
x^{-1}abx=x^{-1}axb （\because b は x と可換。）\\
=x^{-1}xab（\because a は x と可換。）\\
=ab\\
\therefore~~ ab は中心の元。\\
また、xax^{-1}=a \\
両辺の逆元をとって、\\
xa^{-1}x^{-1}=a^{-1} \\
\therefore ~~a^{-1} は中心の元。~~~（証明おわり）
\end{math}
\end{theorem}

\begin{theorem}\label{正規化群}
\begin{math}
G ：群 a \in G \\
a と可換な G の元全体は群をなす。\\
（別の表現を使えば、x^{-1}ax=a ならしめる x 全体は群をなす。）\\
証明~~~ 掛けたものが再び入り、逆元が再び入る、ことをいう。\\
x, y ：上の条件をみたす元、とする。\\
(xy)^{-1}a(xy)=y^{-1}x^{-1}axy （\because (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}。）\\
=y^{-1}ay（\because x^{-1}ax=a。）\\
=a （\because y^{-1}ay=a。）\\
\therefore~~ xy はa と可換。\\
また、xa=ax \\
\therefore xax^{-1}=a \\
\therefore (x^{-1})^{-1}ax^{-1}=a \\
即ち x^{-1} も a と可換。~~~（証明おわり）
\end{math}
\end{theorem}

\begin{definition}\label{元aの正規化群}
前定理で出来た群を「元 a の正規化群」といい、N(a) と書く。\\
\end{definition}

\begin{theorem}\label{正規化群に対する指数}
\begin{math}
a に共役な元の数は、群G の「元 a の正規化群」に対する指数に等しい。\\
（「指数」は定義６を参照。元の群の個数を「元 a の正規化群」の個数で割ったもの。）\\
証明~~~N(a) の左剰余類 N(a), N(a)h, N(a)k, etc を考える。次の（1）、（2）を示せばよい。\\
（1）N(a)h の元 n_1h、 n_2hは、a を同じ元に移す。\\
（2）N(a)h \ne N(a)k ならば、n_1h とn_2 k は、a を違う元に移す。\\
~~~~~即ち N(a)h \ne N(a)k \Longrightarrow (n_1h)^{-1}an_1h \ne (n_2k)^{-1}an_2k \\
まず（1）を示す。\\
~~~~~~(n_1h)^{-1}an_1h=h^{-1}(n_1)^{-1}an_1h=h^{-1}ah~~~ （n_1 は N(a) の元だから、a を a に移す。） \\
~~~~~~(n_2h)^{-1}an_2h=h^{-1}(n_2)^{-1}an_2h=h^{-1}ah \\
~~~~~~つまり同じ h^{-1}ah に移す。\\
次に、（2）。\\
対偶を示す。\\
~~~~~~~(n_1h)^{-1}an_1h = (n_2k)^{-1}an_2k \\
~~~~~~\therefore (n_2k)(n_1h)^{-1}an_1h(n_2k)^{-1}= a \\
~~~~~~\therefore (n_1h(n_2k)^{-1})^{-1}a(n_1h(n_2k)^{-1})= a \\
~~~~~~\therefore n_1h(n_2k)^{-1} \in N(a )\\
~~~~~~\therefore n_1hk^{-1}n_2^{-1} \in N(a )\\
~~~~~~両辺に、左から n_1^{-1}、右からn_2 をかけても右辺には変化なし。\\
~~~~~~\therefore hk^{-1} \in N(a )\\
~~~~~~右から k をかけて、\\
~~~~~~ h \in N(a )k \\
~~~~~~即ち h は N(a)k と同じ類に属す。\\
~~~~~~\therefore N(a)h=N(a)k~~~ （証明おわり）
\end{math}
\end{theorem}

\begin{question}
\begin{math}
正三角形の二面体群 D_3 、その元（123）について、上のことを確かめよ。\\
解~~~（123）の正規化群は、\{ (1), (123), (132) \} \\
~~~~~~その指数は 6 \div 3=2 \\
~~~~~~たしかに(123) に共役なものの数は2であった。~~~（解おわり）
\end{math}
\end{question}

\begin{question}
\begin{math}
正三角形の二面体群 D_3 、その元（12）について、上のことを確かめよ。\\
解~~~（12）の正規化群は、\{ (1), (12)\} \\
~~~~~~その指数は 6 \div 2=3 \\
~~~~~~たしかに(12) に共役なものの数は3であった。~~~（解おわり）
\end{math}
\end{question}

注意 ~~~正規化群が G の中では正規部分群とは限らないことに注意。\\

\begin{question}
\begin{math}
正四角形の二面体群 D_4 、その元（1234）について、上のことを確かめよ。\\
解~~~（1234）の正規化群は、\{ (1), (1234),(13)(24),(1432)\} \\
~~~~~~その指数は 8 \div 4=2 \\
~~~~~~たしかに(1234) に共役なものの数は2であった。~~~（解おわり）
\end{math}
\end{question}

\begin{theorem}\label{中心の位数がｐで割り切れるときあり}
\begin{math}
p を群Ｇの位数を割る素数とする。Ｇと異なる部分群の指数がすべてｐで割り切れるならば、
Ｇの中心の位数はｐで割り切れる。\\
証明~~~G の位数をｇとして類等式を作れば、\\
~~~~~~g=1+1+ \cdots+1+h_1+h_2+h_3+ \cdots h_k \\
~~~~~~ここで、g, h_1, h_2, \cdots h_k が全てｐで割り切れる。\\
~~~~~~\therefore 1+1+ \cdots +1 はｐで割り切れる。\\
~~~~~~即ち「中心」はｐで割り切れる。~~~（証明おわり）
\end{math}
\end{theorem}

これで準備は出来た。

\subsection{位数9の群}\label{位数9の群}

\begin{question}
位数9の群を決定せよ。\\
解~~~~case~1) 可換群は、(3,3) 型、(9) 型の２個。\\
case~2) 非可換群を求める。\\
~~~~位数９の元があれば、巡回群（9）型に なり、これは可換群。駄目。\\
~~~~元の位数は、従って、高々３でなければならない。\\
~~~~故に部分群の指数は全て３で割り切れる。前定理により、中心の位数は３で割り切れる。\\
~~~~故に中心は位数３の部分群を含む。それをH=$\{e,a,a^{2}\}$ とおく。\
~~~~この他に何か元が存在する。それをb とすると、b の位数は３。\\
~~~~b を H に作用させる。（即ち、b に「H の自己同型」のどれかの元を対応させる。\\
~~~~問30でやった通り、「Ｈの自己同型」は\{(1), (12)\}。\\
~~~~ (1) を対応させれば、$b^{-1}ab=a$ で可換群。\\
~~~~(12) を対応させれば、$b^{-1}ab=a^{2}$ \\
~~~~$b^{-3}ab^{3}$を計算すると、\\
~~~~$b^{-2}(b^{-1}ab)b^{2}=b^{-2}a^{2}b^{2}=b^{-1}(b^{-1}a^{2}b)b^{-1}=b^{-1}ab=a^{2}$ \\
~~~~一方、$b^{-3}ab^{3}=e^{-1}ae=a$ であるから、\\
~~~~$a^{2}=a$ となり、a=e となって、矛盾。\\
~~~~（一般に、作用させる元の位数と自己同型の元の位数が互いに素なときは矛盾となる。）\\
~~従ってcase~2) においても、可換群しか出来ない。\\
即ち位数９の群は（９）型と（3、3）型のみ。~~~（解おわり）
\end{question}

\begin{question}
位数９の群を問１７で作ったプログラムにより、決定せよ。\\
解~~~位数３の部分群の存在は既知。故に、初期条件として次のものを入れられる。\\
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 0 4 5 3 7 8 6
2 0 1 5 3 4 8 6 7
（3、1）の場所に色々な数を入れることはプログラム(kasub804.bas)に任せることにすると、\\
次の９個の解が出来る。

1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 0 4 5 3 7 8 6
2 0 1 5 3 4 8 6 7
3 4 5 6 7 8 0 1 2
4 5 3 7 8 6 1 2 0
5 3 4 8 6 7 2 0 1
6 7 8 0 1 2 3 4 5
7 8 6 1 2 0 4 5 3
8 6 7 2 0 1 5 3 4
これは（3、3）型
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 0 4 5 3 7 8 6
2 0 1 5 3 4 8 6 7
3 4 5 6 7 8 1 2 0
4 5 3 7 8 6 2 0 1
5 3 4 8 6 7 0 1 2
6 7 8 1 2 0 4 5 3
7 8 6 2 0 1 5 3 4
8 6 7 0 1 2 3 4 5
これは（９）型
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 0 4 5 3 7 8 6
2 0 1 5 3 4 8 6 7
3 4 5 6 7 8 2 0 1
4 5 3 7 8 6 0 1 2
5 3 4 8 6 7 1 2 0
6 7 8 2 0 1 5 3 4
7 8 6 0 1 2 3 4 5
8 6 7 1 2 0 4 5 3
これは（９）型
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 0 4 5 3 7 8 6
2 0 1 5 3 4 8 6 7
3 4 5 7 8 6 0 1 2
4 5 3 8 6 7 1 2 0
5 3 4 6 7 8 2 0 1
6 7 8 0 1 2 5 3 4
7 8 6 1 2 0 3 4 5
8 6 7 2 0 1 4 5 3
これは（９）型
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 0 4 5 3 7 8 6
2 0 1 5 3 4 8 6 7
3 4 5 7 8 6 1 2 0
4 5 3 8 6 7 2 0 1
5 3 4 6 7 8 0 1 2
6 7 8 1 2 0 3 4 5
7 8 6 2 0 1 4 5 3
8 6 7 0 1 2 5 3 4
これは（９）型
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 0 4 5 3 7 8 6
2 0 1 5 3 4 8 6 7
3 4 5 7 8 6 2 0 1
4 5 3 8 6 7 0 1 2
5 3 4 6 7 8 1 2 0
6 7 8 2 0 1 4 5 3
7 8 6 0 1 2 5 3 4
8 6 7 1 2 0 3 4 5
これは（3、3）型
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 0 4 5 3 7 8 6
2 0 1 5 3 4 8 6 7
3 4 5 8 6 7 0 1 2
4 5 3 6 7 8 1 2 0
5 3 4 7 8 6 2 0 1
6 7 8 0 1 2 4 5 3
7 8 6 1 2 0 5 3 4
8 6 7 2 0 1 3 4 5
これは（９）型
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 0 4 5 3 7 8 6
2 0 1 5 3 4 8 6 7
3 4 5 8 6 7 1 2 0
4 5 3 6 7 8 2 0 1
5 3 4 7 8 6 0 1 2
6 7 8 1 2 0 5 3 4
7 8 6 2 0 1 3 4 5
8 6 7 0 1 2 4 5 3
これは（3、3）型
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 0 4 5 3 7 8 6
2 0 1 5 3 4 8 6 7
3 4 5 8 6 7 2 0 1
4 5 3 6 7 8 0 1 2
5 3 4 7 8 6 1 2 0
6 7 8 2 0 1 3 4 5
7 8 6 0 1 2 4 5 3
8 6 7 1 2 0 5 3 4
これは（９）型

\end{verbatim}
\end{question}

\subsection{位数10の群}\label{位数10の群}

\begin{question}
位数10の群を決定せよ。\\
解~~~case~1) 可換群は(10) 型のみ。\\
\begin{math}
case~2) 非可換群を求める。\\
位数５の群 N=\{e,a,a^{2},a^{3},a^{4}\} と、位数２の群 H=\{e,b\} は存在する。\\
N は指数２だから、正規部分群。従って b が N に作用する。
問33の結果から、Ｎの自己同型の元は、(1), (1243), (1342), (14)(23) .。\\
b に(1) を対応させると、可換群が出来るだけ。\\
b に(1243) を対応させると、b の位数が２だから、\\
~~~~~~~~~ b^{-2}ab^{2}=eae=a 。
~~一方b^{-2}ab^{2}=b^{-1}(b^{-1}ab)b=b^{-1}a^{2}b~~~（\because b によりa は a^{2} に行く。）\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=a^{4} ~~~~（\because b により a^{2} は a^{4} に行く。）\\
~~即ち、a=a^{4} となり、矛盾。\\
b に(1342) を対応させると、b の位数が２だから、\\
~~~~~~~~~ b^{-2}ab^{2}=eae=a 。
~~一方b^{-2}ab^{2}=b^{-1}(b^{-1}ab)b=b^{-1}a^{3}b~~~（\because b によりa は a^{3} に行く。）\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=a^{4} ~~~~（\because b により a^{3} は a^{4} に行く。）\\
~~即ち、a=a^{4} となり、矛盾。\\
b に(1243) を対応させると、b の位数が２だから、\\
~~~~~~~~~ b^{-2}ab^{2}=eae=a 。
~~一方b^{-2}ab^{2}=b^{-1}(b^{-1}ab)b=b^{-1}a^{2}b~~~（\because b によりa は a^{2} に行く。）\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=a^{4} ~~~~（\because b により a^{2} は a^{4} に行く。）\\
~~即ち、a=a^{4} となり、矛盾。\\
b に(14)(23) を対応させると、\\
~~~~~~~~~ b^{-2}ab^{2}=eae=a 。
~~一方b^{-2}ab^{2}=b^{-1}(b^{-1}ab)b=b^{-1}a^{4}b~~~（\because b によりa は a^{4} に行く。）\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=a ~~~~（\because b により a^{4} は a に行く。）\\
~~a=aとなり、矛盾は出ない。\\
これの正体は、頂点を1,2,3,4,5 とする正５角形のなす二面体群。\\
a=(12345), b=(25)(34) とおいて、上の関係式を確かめると、\\
b^{-1}ab=(25)(34)(12345)(25)(34)=(15432)=a^{4} \\
となり、大丈夫。~~~（解おわり）
\end{math}
\end{question}

\begin{question}
位数10の群を問１７で作ったプログラムにより、決定せよ。\\
解 ~~~ 上の５行を位数５の部分群の存在から、\\
\begin{verbatim}

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 6 7 8 9 5
2 3 4 0 1 7 8 9 5 6
3 4 0 1 2 8 9 5 6 7
4 0 1 2 3 9 5 6 7 8
としてよい。これでプログラム(kasub804.bas)にかけると、下記の答が出る。\\

1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 6 7 8 9 5
2 3 4 0 1 7 8 9 5 6
3 4 0 1 2 8 9 5 6 7
4 0 1 2 3 9 5 6 7 8
5 6 7 8 9 0 1 2 3 4
6 7 8 9 5 1 2 3 4 0
7 8 9 5 6 2 3 4 0 1
8 9 5 6 7 3 4 0 1 2
9 5 6 7 8 4 0 1 2 3
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 6 7 8 9 5
2 3 4 0 1 7 8 9 5 6
3 4 0 1 2 8 9 5 6 7
4 0 1 2 3 9 5 6 7 8
5 6 7 8 9 1 2 3 4 0
6 7 8 9 5 2 3 4 0 1
7 8 9 5 6 3 4 0 1 2
8 9 5 6 7 4 0 1 2 3
9 5 6 7 8 0 1 2 3 4
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 6 7 8 9 5
2 3 4 0 1 7 8 9 5 6
3 4 0 1 2 8 9 5 6 7
4 0 1 2 3 9 5 6 7 8
5 6 7 8 9 2 3 4 0 1
6 7 8 9 5 3 4 0 1 2
7 8 9 5 6 4 0 1 2 3
8 9 5 6 7 0 1 2 3 4
9 5 6 7 8 1 2 3 4 0
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 6 7 8 9 5
2 3 4 0 1 7 8 9 5 6
3 4 0 1 2 8 9 5 6 7
4 0 1 2 3 9 5 6 7 8
5 6 7 8 9 3 4 0 1 2
6 7 8 9 5 4 0 1 2 3
7 8 9 5 6 0 1 2 3 4
8 9 5 6 7 1 2 3 4 0
9 5 6 7 8 2 3 4 0 1
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 6 7 8 9 5
2 3 4 0 1 7 8 9 5 6
3 4 0 1 2 8 9 5 6 7
4 0 1 2 3 9 5 6 7 8
5 6 7 8 9 4 0 1 2 3
6 7 8 9 5 0 1 2 3 4
7 8 9 5 6 1 2 3 4 0
8 9 5 6 7 2 3 4 0 1
9 5 6 7 8 3 4 0 1 2
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 6 7 8 9 5
2 3 4 0 1 7 8 9 5 6
3 4 0 1 2 8 9 5 6 7
4 0 1 2 3 9 5 6 7 8
5 9 8 7 6 0 4 3 2 1
6 5 9 8 7 1 0 4 3 2
7 6 5 9 8 2 1 0 4 3
8 7 6 5 9 3 2 1 0 4
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
\end{verbatim}
１から５までは可換群。６は二面体群。~~~（解おわり）
\end{question}
\section{Sylow の定理}
\subsection{Sylow の定理に慣れるために}\label{Sylow の定理に慣れるために}
ここで、Sylow の定理1,2,3を、証明なしに述べておく。
\begin{definition}
\begin{math}
群Ｇの位数を素数ｐで出来るだけ割って、p^{r}m と表しておく。
このとき、位数 p^{r} の部分群を p-Sylow 群という。
\end{math}
\end{definition}
\begin{theorem}\label{Sylow の定理1}
P を群Ｇの任意の p-部分群とすれば、Ｐを含むＧのp-Sylow 群が存在する。
\end{theorem}
\begin{theorem}\label{Sylow の定理2}
群Ｇの二つのp-Sylow 群は互いに共役である。
\end{theorem}
\begin{theorem}\label{Sylow の定理3}
群Ｇの異なるp-Sylow 群の個数は、1+kp と表される。
\end{theorem}
位数24の群まではまだやっていないが、ここで上の定理に馴染むため、
次の問題をやっておく。（４次の対称群、$S_4$ は知っているものとする。）\\
\begin{question}
$S_4$ を使って、次の問を解き、上の定理が正しいことを確かめよ。\\
1) ~~2-Sylow 群を求めよ。いくつあるか。（これにより定理３を確かめる。）\\
2) ~~3-Sylow 群を求めよ。いくつあるか。（これにより定理３を確かめる。）\\
3)~~ 位数２の群を全て求めよ。\\
4) ~~位数4の群を全て求めよ。\\
5)~~上で求めた 位数2の群を含む2-Sylow 群を求めよ。（これにより定理1を確かめる。）\\
6)~~上で求めた 位数4の群を含む2-Sylow 群を求めよ。（これにより定理1を確かめる。）\\
7)~~2-Sylow 群が互いに共役であることを示せ。（これにより定理2が確かめられる。）\\
8)~~3-Sylow 群が互いに共役であることを示せ。（これにより定理2が確かめられる。）\\
解~~~$S_4$=\{(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(132),(124), \\
~~~~~(142),(134),(143),(234),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432), \\
~~~~~(12)(34),(13)(24),(14)(23) \} \\
1) $N_1$=\{(1),(13),(24),(12)(34),(14)(23),(1234),(13)(24),(1432)\} \\
~~~と$N_2$=\{(1),(12),(34),(13)(24),(14)(23),(1324),(12)(34),(1423)\} \\
~~~と$N_3$=\{(1),(14),(23),(12)(34),(13)(24),(1243),(14)(23),(1342)\} \\
~~~の３個。確かに、1+2 $\times$ 1 \\
2) $H_1$=\{(1),(123),(132)\} ~~$H_2$=\{(1),(124),(142)\}~~$H_3$=\{(1),(134),(143)\}
~~$H_4$=\{(1),(234),(243)\} \\
~~~の４個。確かに、1+3 $\times$ 1 \\
3) \{(1),(12)\},~~\{(1),(13)\},~~\{(1),(14)\},~~\{(1),(23)\},~~\{(1),(24)\},~~\{(1),(34)\} \\
~~~\{(1),(12)(34)\},~~\{(1),(13)(24)\},~~\{(1),(14)(23)\},~~の９個。\\
4) \{(1),(12),(34),(12)(34)\}~~\{(1),(13),(24),(13)(24)\}~~\{(1),(14),(23),(14)(23)\}~~\\
~~~\{(1),(1234),(13)(24),(1432)\}~~\{(1),(1324),(12)(34),(1423)\}~~\\
~~~\{(1),(1243),(14)(23),(1342)\}~~の６個。\\
5), 6) はすぐ捜せるので省略。\\
7) $N_2$=(23)$N_1$(23) ~~~また、$N_3$=(34)$N_1$(34) \\
8) $H_2$=(34)$H_1$(34), $H_3$=(23)$H_2$(23), $H_4$=(12)$H_3$(12) ~~~（解おわり）
\end{question}

\subsection{位数12の群}\label{位数12の群}

\begin{question}
\begin{math}
位数 12 の群を決定せよ。\\
解~~~1）可換群のとき、（2、6）型 と（12）型。\\
２）非可換群のとき、\\
2-1) ~~~H=\{e,a,a^{2},a^{3}\} ~~~~K=\{e,d,d^{2}\} のとき。（即ち2-Sylow 群が（4）型のとき。）\\
2-1-1)~~~~K \vartriangleleft G のとき、\\
~~~~~~~~~~K の自己同型は（1）と（12）の２個。これに H を作用させる。\\
~~~~~~a を（1）に対応させるのは、可換群が出来るだけ。駄目。\\
~~~~~~a を（12）に対応させる。（即ち、a を d に作用させると d^{2} に行く。a^{-1}da=d^{2}）\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|cccccccccccc}
&$e$&$d$&$d^{2}$&$a$&$da$&$d^{2}a$&$a^{2}$&$da^{2}$&$d^{2}a^{2}$&$a^{3}$&$da^{3}$&$d^{2}a^{3}$ \\ \hline
$e$ &$e$&$d$&$d^{2}$&$a$&$da$&$d^{2}a$&$a^{2}$&$da^{2}$&$d^{2}a^{2}$&$a^{3}$&$da^{3}$&$d^{2}a^{3}$ \\
$d$ &$d$&$d^{2}$&$e$&$da$&$d^{2}a$&$a$&$da^{2}$&$d^{2}a^{2}$&$a^{2}$&$da^{3}$&$d^{2}a^{3}$&$a^{3}$ \\
$d^{2}$ &$d^{2}$&$e$&$d$&$d^{2}a$&$a$&$da$&$d^{2}a^{2}$&$a^{2}$&$da^{2}$&$d^{2}a^{3}$&$a^{3}$&$da^{3}$ \\
$a$&$a$&$d^{2}a$&$da$&$a^{2}$&$d^{2}a^{2}$&$da^{2}$&$a^{3}$&$d^{2}a^{3}$&$da^{3}$&$e$&$d^{2}$&$d$ \\
$da$&$da$&$a$&$d^{2}a$&$da^{2}$&$a^{2}$&$d^{2}a^{2}$&$da^{3}$&$a^{3}$&$d^{2}a^{3}$&$d$&$e$&$d^{2}$ \\
$d^{2}a$&$d^{2}a$&$da$&$a$&$d^{2}a^{2}$&$da^{2}$&$a^{2}$&$d^{2}a^{3}$&$da^{3}$&$a^{3}$&$d^{2}$&$d$&$e$ \\
$a^{2}$&$a^{2}$&$da^{2}$&$d^{2}a^{2}$&$a^{3}$&$da^{3}$&$d^{2}a^{3}$&$e$&$d$&$d^{2}$&$a$&$da$&$d^{2}a$ \\
$da^{2}$&$da^{2}$&$d^{2}a^{2}$&$a^{2}$&$da^{3}$&$d^{2}a^{3}$&$a^{3}$&$d$&$d^{2}$&$e$&$da$&$d^{2}a$&$a$ \\
$d^{2}a^{2}$&$d^{2}a^{2}$&$a^{2}$&$da^{2}$&$d^{2}a^{3}$&$a^{3}$&$da^{3}$&$d^{2}$&$e$&$d$&$d^{2}a$&$a$&$da$ \\
$a^{3}$&$a^{3}$&$d^{2}a^{3}$&$da^{3}$&$e$&$d^{2}$&$d$&$a$&$d^{2}a$&$da$&$a^{2}$&$d^{2}a^{2}$&$da^{2}$ \\
$da^{3}$&$da^{3}$&$a^{3}$&$d^{2}a^{3}$&$d$&$e$&$d^{2}$&$da$&$a$&$d^{2}a$&$da^{2}$&$a^{2}$&$d^{2}a^{2}$ \\
$d^{2}a^{3}$&$d^{2}a^{3}$&$da^{3}$&$a^{3}$&$d^{2}$&$d$&$e$&$d^{2}a$&$da$&$a$&$d^{2}a^{2}$&$da^{2}$&$a^{2}$ \\
\end{tabular} \]
これは dicyclic ＜2,2,3＞ （この記号はCoxeterによる。）\\
幾何学的解釈は困難。かろうじて次のような説明が出来る。\\
da=(123)(45)(67), a=(23)(4657) \\
とおくと、上の群表を忠実に表す置換群が出来る。\\
\begin{math}
2-1-2)~~~さて、次に、「K \lhd G」でないとき。\\
~~~ここで Sylow の定理3 より、K が3-Sylow 群だから
K に共役な群は1+3=4 （1+6=7 は群の位数から無理。）\\
~~~~~~~~~K=\{e,d,d^{2}\} \\
~~~~~~~~a^{-1}Ka=\{e,a^{-1}da,a^{-1}d^{2}a\} \\
~~~~~~~~a^{-2}Ka^{2}=\{e,a^{-2}da^{2},a^{-2}d^{2}a^{2}\} \\
~~~~~~~~a^{-3}Ka^{3}=\{e,a^{-3}da^{3},a^{-3}d^{2}a^{3}\} \\
e を除く、これら８個の元を取り去った４個の元は 2-Sylow 群。
また、これ１個しかないから、正規部分群。これがH=\{e,a,a^{2},a^{3}\}
に他ならない。\\
問28の結果から、Ｈの自己同型は(1) と (13)。\\
d の位数は３。(13) の位数は２。互いに素だから、作用させても可換群しか出来ない。\\
即ち、この場合はなし。\\
2-2)~~~ H=\{e,a,b,ab \} ~~~K=\{e,d,d^{2} \} のとき。（即ち、2-Sylow 群が (2,2) 型のとき。）\\
2-2-1) ~~~K \lhd G のとき。\\
~~~~~~~~K の自己同型は(1) と (12) の２個。これにH を作用させる。\\
~~~~~~原理的には次の４通りの場合がある。\\
~~~case~1)~~~a に (1) , b に (1) を対応させる。\\
~~~case~2)~~~a に (1) , b に (12) を対応させる。\\
~~~case~3)~~~a に (12) , b に (1) を対応させる。\\
~~~case~4)~~~a に (12) , b に (12) を対応させる。\\
が、case~2) は、case~3) のa を b と交換したもの。また、case~4) はcase~3) の b を ab と
交換したもの。従って、case~1) とcase~3) だけを考えればよい。\\
ここでは非可換群を考察しているので、case~1) はなく、case~3) のみを考えればよい。\\
~~~即ち、a^{-1}da=d^{2}, ~~~b^{-1}db=d より、次の群表が出来る。\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|cccccccccccc}
&$e$&$d$&$d^{2}$&$a$&$da$&$d^{2}a$&$b$&$db$&$d^{2}b$&$ab$&$dab$&$d^{2}ab$ \\ \hline
$e$&$e$&$d$&$d^{2}$&$a$&$da$&$d^{2}a$&$b$&$db$&$d^{2}b$&$ab$&$dab$&$d^{2}ab$ \\
$d$&$d$&$d^{2}$&$e$&$da$&$d^{2}a$&$a$&$db$&$d^{2}b$&$b$&$dab$&$d^{2}ab$&$ab$ \\
$d^{2}$&$d^{2}$&$e$&$d$&$d^{2}a$&$a$&$da$&$d^{2}b$&$b$&$db$&$d^{2}ab$&$ab$&$dab$ \\
$a$&$a$&$d^{2}a$&$da$&$e$&$d^{2}$&$d$&$ab$&$d^{2}ab$&$dab$&$b$&$d^{2}b$&$db$ \\
$da$&$da$&$a$&$d^{2}a$&$d$&$e$&$d^{2}$&$dab$&$ab$&$d^{2}ab$&$db$&$b$&$d^{2}b$ \\
$d^{2}a$&$d^{2}a$&$da$&$a$&$d^{2}$&$d$&$e$&$d^{2}ab$&$dab$&$ab$&$d^{2}b$&$db$&$b$ \\
$b$&$b$&$db$&$d^{2}b$&$ab$&$dab$&$d^{2}ab$&$e$&$d$&$d^{2}$&$a$&$da$&$d^{2}a$ \\
$db$&$db$&$d^{2}b$&$b$&$dab$&$d^{2}ab$&$ab$&$d$&$d^{2}$&$e$&$da$&$d^{2}a$&$a$ \\
$d^{2}b$&$d^{2}b$&$b$&$db$&$d^{2}ab$&$ab$&$dab$&$d^{2}$&$e$&$d$&$d^{2}a$&$a$&$da$ \\
$ab$&$ab$&$d^{2}ab$&$dab$&$b$&$d^{2}b$&$db$&$a$&$d^{2}a$&$da$&$e$&$d^{2}$&$d$ \\
$dab$&$dab$&$ab$&$d^{2}ab$&$db$&$b$&$d^{2}b$&$da$&$a$&$d^{2}a$&$d$&$e$&$d^{2}$ \\
$d^{2}ab$&$d^{2}ab$&$dab$&$ab$&$d^{2}b$&$db$&$b$&$d^{2}a$&$da$&$a$&$d^{2}$&$d$&$e$ \\
\end{tabular} \]
\begin{math}
~~~これは正六角形のなす二面体群 D_6 。\\
db が 60度回転させる元。a が裏返す元。\\
2-2-2) ~~~「K \lhd G 」でないとき。\\
~~~ここで Sylow の定理3 より、K が3-Sylow 群だから
K に共役な群は1+3=4 （1+6=7 は群の位数から無理。）\\
~~~~~~~~~K=\{e,d,d^{2}\} \\
~~~~~~~~a^{-1}Ka=\{e,a^{-1}da,a^{-1}d^{2}a\} \\
~~~~~~~~b^{-1}Kb=\{e,b^{-1}db,b^{-1}d^{2}b\} \\
~~~~~~~~(ab)^{-1}Kab=\{e,(ab)^{-1}dab,(ab)^{-1}d^{2}ab\} \\
e を除く、これら８個の元を取り去った４個の元は 2-Sylow 群。
また、これ１個しかないから、正規部分群。これがH=\{e,a,b,ab\}
に他ならない。\\
問29 の結果から、H の自己同型は (1), (12), (13), (23), (123), (132) の６個。
（但し、1,2,3 の意味はそれぞれ、a, b, ab のことであった。）\\
d の位数は３。非可換群を作るには、d に (123) または、(132) を対応させればよい。
同型なものが出来ることは明らか。ここでは (123) を対応させる。\\
~~~即ち、d^{-1}ad=b, ~~~d^{-1}bd=ab ~~~ d^{-1}abd=a より、次の群表が出来る。\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|cccccccccccc}
&$e$&$a$&$b$&$ab$&$d$&$ad$&$bd$&$abd$&$d^{2}$&$ad^{2}$&$bd^{2}$&$abd^{2}$ \\ \hline
$e$&$e$&$a$&$b$&$ab$&$d$&$ad$&$bd$&$abd$&$d^{2}$&$ad^{2}$&$bd^{2}$&$abd^{2}$ \\
$a$&$a$&$e$&$ab$&$b$&$ad$&$d$&$abd$&$bd$&$ad^{2}$&$d^{2}$&$abd^{2}$&$bd^{2}$ \\
$b$&$b$&$ab$&$e$&$a$&$bd$&$abd$&$d$&$ad$&$bd^{2}$&$abd^{2}$&$d^{2}$&$ad^{2}$ \\
$ab$&$ab$&$b$&$a$&$e$&$abd$&$bd$&$ad$&$d$&$abd^{2}$&$bd^{2}$&$ad^{2}$&$d^{2}$ \\
$d$&$d$&$abd$&$ad$&$bd$&$d^{2}$&$abd^{2}$&$ad^{2}$&$bd^{2}$&$e$&$ab$&$a$&$b$ \\
$ad$&$ad$&$bd$&$d$&$abd$&$ad^{2}$&$bd^{2}$&$d^{2}$&$abd^{2}$&$a$&$b$&$e$&$ab$ \\
$bd$&$bd$&$ad$&$abd$&$d$&$bd^{2}$&$ad^{2}$&$abd^{2}$&$d^{2}$&$b$&$a$&$ab$&$e$ \\
$abd$&$abd$&$d$&$bd$&$ad$&$abd^{2}$&$d^{2}$&$bd^{2}$&$ad^{2}$&$ab$&$e$&$b$&$a$ \\
$d^{2}$&$d^{2}$&$bd^{2}$&$abd^{2}$&$ad^{2}$&$e$&$b$&$ab$&$a$&$d$&$bd$&$abd$&$ad$ \\
$ad^{2}$&$ad^{2}$&$abd^{2}$&$bd^{2}$&$d^{2}$&$a$&$ab$&$b$&$e$&$ad$&$abd$&$bd$&$d$ \\
$bd^{2}$&$bd^{2}$&$d^{2}$&$ad^{2}$&$abd^{2}$&$b$&$e$&$a$&$ab$&$bd$&$d$&$ad$&$abd$ \\
$abd^{2}$&$abd^{2}$&$ad^{2}$&$d^{2}$&$bd^{2}$&$ab$&$a$&$e$&$b$&$abd$&$ad$&$d$&$bd$ \\
\end{tabular} \]
これは正四面体をそれ自身に重ねるように動かすときに出来る群。正四面体群 (Tetrahedral group)
である。\\
正四面体の頂点をそれぞれ1,2,3,4 と名付け、頂点1を固定して234の面を120度回転させることを(234)、
逆に回転させることを(243)、等、また、12の中点、34の中点を結ぶ線を軸に180度回転させることを
(12)(34) 等、とすれば、上の群表は、a,b,ab に(12)(34), (13)(24), (14)(23) が対応し、それ以降の
８個の元には、(123), (132),(124),(142),(134),(143),(234),(243) が対応することになる。\\
~~~これは、問44 で考慮した $S_4$ の、指数2の部分群なので、$A_4$ と呼ばれている。\\
~~~ここでも$A_4$と表すことにする。\\
以上をまとめると、位数12の群は、\\
~~~1) (2,6) 型~~~2) (12) 型。~~~3) ＜2,2,3＞~~~4) $D_6$ ~~~5) $A_4$ \\
の５個。（うち非可換群は３個。）~~~（解おわり）\\
\end{question}

\begin{question}
位数12の群を計算機によって決定せよ。\\
解~~~~プログラム「自動」(kabus804.bas) を使う。\\
位数3の元はあるから、次の初期条件を代入すれば、全ての群が出てくる。\\
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10
\end{verbatim}
これにより、1から6までは可換群が出、7で$D_6$ 、8で＜2,2,3＞が出てくる。\\
その様子は次のようである。\\
\begin{verbatim}
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10
3 4 5 0 1 2 9 10 11 6 7 8
4 5 3 1 2 0 10 11 9 7 8 6 これは（2、6）型
5 3 4 2 0 1 11 9 10 8 6 7
6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5
7 8 6 10 11 9 1 2 0 4 5 3
8 6 7 11 9 10 2 0 1 5 3 4
9 10 11 6 7 8 3 4 5 0 1 2
10 11 9 7 8 6 4 5 3 1 2 0
11 9 10 8 6 7 5 3 4 2 0 1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10
3 4 5 0 1 2 9 10 11 6 7 8
4 5 3 1 2 0 10 11 9 7 8 6 これは（2、6）型
5 3 4 2 0 1 11 9 10 8 6 7
6 7 8 9 10 11 1 2 0 4 5 3
7 8 6 10 11 9 2 0 1 5 3 4
8 6 7 11 9 10 0 1 2 3 4 5
9 10 11 6 7 8 4 5 3 1 2 0
10 11 9 7 8 6 5 3 4 2 0 1
11 9 10 8 6 7 3 4 5 0 1 2
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10
3 4 5 0 1 2 9 10 11 6 7 8
4 5 3 1 2 0 10 11 9 7 8 6 これは（2、6）型
5 3 4 2 0 1 11 9 10 8 6 7
6 7 8 9 10 11 2 0 1 5 3 4
7 8 6 10 11 9 0 1 2 3 4 5
8 6 7 11 9 10 1 2 0 4 5 3
9 10 11 6 7 8 5 3 4 2 0 1
10 11 9 7 8 6 3 4 5 0 1 2
11 9 10 8 6 7 4 5 3 1 2 0
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10
3 4 5 0 1 2 9 10 11 6 7 8
4 5 3 1 2 0 10 11 9 7 8 6 これは（12）型
5 3 4 2 0 1 11 9 10 8 6 7
6 7 8 9 10 11 3 4 5 0 1 2
7 8 6 10 11 9 4 5 3 1 2 0
8 6 7 11 9 10 5 3 4 2 0 1
9 10 11 6 7 8 0 1 2 3 4 5
10 11 9 7 8 6 1 2 0 4 5 3
11 9 10 8 6 7 2 0 1 5 3 4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10
3 4 5 0 1 2 9 10 11 6 7 8
4 5 3 1 2 0 10 11 9 7 8 6 これは（12）型
5 3 4 2 0 1 11 9 10 8 6 7
6 7 8 9 10 11 4 5 3 1 2 0
7 8 6 10 11 9 5 3 4 2 0 1
8 6 7 11 9 10 3 4 5 0 1 2
9 10 11 6 7 8 1 2 0 4 5 3
10 11 9 7 8 6 2 0 1 5 3 4
11 9 10 8 6 7 0 1 2 3 4 5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10
3 4 5 0 1 2 9 10 11 6 7 8
4 5 3 1 2 0 10 11 9 7 8 6 これは（12）型
5 3 4 2 0 1 11 9 10 8 6 7
6 7 8 9 10 11 5 3 4 2 0 1
7 8 6 10 11 9 3 4 5 0 1 2
8 6 7 11 9 10 4 5 3 1 2 0
9 10 11 6 7 8 2 0 1 5 3 4
10 11 9 7 8 6 0 1 2 3 4 5
11 9 10 8 6 7 1 2 0 4 5 3
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10
3 4 5 0 1 2 9 10 11 6 7 8
4 5 3 1 2 0 10 11 9 7 8 6
5 3 4 2 0 1 11 9 10 8 6 7 これはdihedral
6 8 7 9 11 10 0 2 1 3 5 4
7 6 8 10 9 11 1 0 2 4 3 5
8 7 6 11 10 9 2 1 0 5 4 3
9 11 10 6 8 7 3 5 4 0 2 1
10 9 11 7 6 8 4 3 5 1 0 2
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10
3 4 5 0 1 2 9 10 11 6 7 8
4 5 3 1 2 0 10 11 9 7 8 6
5 3 4 2 0 1 11 9 10 8 6 7 これはdicyclic ＜2,2,3＞
6 8 7 9 11 10 3 5 4 0 2 1
7 6 8 10 9 11 4 3 5 1 0 2
8 7 6 11 10 9 5 4 3 2 1 0
9 11 10 6 8 7 0 2 1 3 5 4
10 9 11 7 6 8 1 0 2 4 3 5
11 10 9 8 7 6 2 1 0 5 4 3
\end{verbatim}
そして163番目に、tetrahedral $A_4$ が出てくる。
\begin{verbatim}
163
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10
3 6 9 0 11 7 1 5 10 2 8 4
4 7 10 1 9 8 2 3 11 0 6 5
5 8 11 2 10 6 0 4 9 1 7 3 これはtetrahedral
6 9 3 11 7 0 5 10 1 8 4 2
7 10 4 9 8 1 3 11 2 6 5 0
8 11 5 10 6 2 4 9 0 7 3 1
9 3 6 7 0 11 10 1 5 4 2 8
10 4 7 8 1 9 11 2 3 5 0 6
11 5 8 6 2 10 9 0 4 3 1 7
\end{verbatim}
もう少し早く tetrahedral を出したいときは、可換群(2,2) は存在するものとして、次の初期条件
を代入すれば33番目に出て来る。\\
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8
33番目の表は下記。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8
4 6 7 5 8 10 11 9 0 2 3 1 これはteterahedral
5 7 6 4 9 11 10 8 1 3 2 0
6 4 5 7 10 8 9 11 2 0 1 3
7 5 4 6 11 9 8 10 3 1 0 2
8 11 9 10 0 3 1 2 4 7 5 6
9 10 8 11 1 2 0 3 5 6 4 7
10 9 11 8 2 1 3 0 6 5 7 4
11 8 10 9 3 0 2 1 7 4 6 5
\end{verbatim}~~~~~（解おわり）
\end{question}

以上、位数12の場合をまとめておく。\\
~~~~~~~~（12）型 \\
\[ \begin{tabular}{c|cccccc}
位数 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 &12 \\ \hline
元の個数 &1&1&2&2&2&4
\end{tabular} \]
~~~~~~~~（2,6）型 \\
\[ \begin{tabular}{c|cccccc}
位数 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 &12 \\ \hline
元の個数 &1&3&2&0&6&0
\end{tabular} \]
~~~~~~~~dihedral ~~~$D_6$ \\
\[ \begin{tabular}{c|cccccc}
位数 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 &12 \\ \hline
元の個数 &1&7&2&0&2&0
\end{tabular} \]
~~~~~~~~dicyclic~~~＜2、2、3＞ \\
\[ \begin{tabular}{c|cccccc}
位数 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 &12 \\ \hline
元の個数 &1&1&2&6&2&0
\end{tabular} \]
~~~~~~~~tetrahedral ~~~$A_4$ \\
\[ \begin{tabular}{c|cccccc}
位数 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 &12 \\ \hline
元の個数 &1&3&8&0&0&0
\end{tabular} \]
N.B. ~~位数13の群は（13）型可換群。\\

\subsection{位数14の群}\label{位数14の群}

\begin{question}
位数14の群を決定せよ。\\
解 ~~~可換群は（14）型のみ。非可換群を求める。\\
14=7 $\times$ 2 より、位数7の部分群は指数2。従って正規部分群。\\
そこで、(7)型の自己同型を求める。\\
\begin{math}
(7)=\{e,a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},a^{6}\} \\
\end{math}
~~~~問30と同様に解くと、次の６個。\\
(1), (132645), (124)(365), (16)(34)(25), (142)(356), (154623) \\
これに位数2の部分群\{e,b\} の元 b を作用させる。\\
b の位数は2。従って、非可換群を求めるためには、(16)(34)(25)を対応させねばならない。\\
~~~~$b^{-1}ab=a^{6}$ \\
これから群表を作ればよい。dihedral $D_7$ が出来る。
（群表は次の問によることにする。）~~~（解おわり）
\end{question}
\begin{question}
位数14の群を計算機により作れ。\\
解~~~~「自動」プログラム(kasubu804.bas)に、次の初期値を入れればよい。\\
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 2 3 4 5 6 0 8 9 10 11 12 13 7
2 3 4 5 6 0 1 9 10 11 12 13 7 8
3 4 5 6 0 1 2 10 11 12 13 7 8 9
4 5 6 0 1 2 3 11 12 13 7 8 9 10
5 6 0 1 2 3 4 12 13 7 8 9 10 11
6 0 1 2 3 4 5 13 7 8 9 10 11 12
\end{verbatim}
1番から7番目に出来るのが（14）型可換群。（これは群表、省略。）\\
８番目に出来るのが、dihedral $D_7$ \\
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 2 3 4 5 6 0 8 9 10 11 12 13 7
2 3 4 5 6 0 1 9 10 11 12 13 7 8
3 4 5 6 0 1 2 10 11 12 13 7 8 9
4 5 6 0 1 2 3 11 12 13 7 8 9 10
5 6 0 1 2 3 4 12 13 7 8 9 10 11
6 0 1 2 3 4 5 13 7 8 9 10 11 12
7 13 12 11 10 9 8 0 6 5 4 3 2 1
8 7 13 12 11 10 9 1 0 6 5 4 3 2
9 8 7 13 12 11 10 2 1 0 6 5 4 3
10 9 8 7 13 12 11 3 2 1 0 6 5 4
11 10 9 8 7 13 12 4 3 2 1 0 6 5
12 11 10 9 8 7 13 5 4 3 2 1 0 6
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
\end{verbatim}
$D_7$ の位数表を作っておく。\\
~~~~~~~~dihedral ~~~$D_7$ \\
\[ \begin{tabular}{c|cccccc}
位数 & 1 & 2& 7 & 14 \\ \hline
元の個数 &1&7& 6&0
\end{tabular} \]
解おわり。\\
\end{question}

\subsection{位数15の群}\label{位数15の群}
\begin{question}

位数15の群を決定せよ。\\
\begin{math}
解~~~~可換群は（15）型のみ。非可換群を求める。\\
15=5 \times 3 より、位数5の部分群は1 または６個。（Sylow の定理３より。）\\
しかし６個も無理。（共通元はe のみ。従って、4 \times 6=24 個の元が必要。）\\
従って、１個。即ち位数５の群は正規部分群。\\
問30により、（5）型の自己同型は、\\
~~~~~~(1),(1243),(14)(23),(1342) \\
これに\{e,b,b^{2}\} が作用する。b は、位数3。従って、可換的にしか作用できない。\\
即ち、非可換群は出来ない。~~~（解おわり）
\end{math}
\end{question}
\begin{question}
位数15の群を計算機により決定せよ。\\
解~~~~次の初期値を「自動」プログラムに代入する。\\
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 2 3 4 0 6 7 8 9 5 11 12 13 14 10
2 3 4 0 1 7 8 9 5 6 12 13 14 10 11
3 4 0 1 2 8 9 5 6 7 13 14 10 11 12
4 0 1 2 3 9 5 6 7 8 14 10 11 12 13
\end{verbatim}
25の群が出来るが、いずれも（15）になっている。\\
次には第25番目に出来る群を上げる。\\
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 2 3 4 0 6 7 8 9 5 11 12 13 14 10
2 3 4 0 1 7 8 9 5 6 12 13 14 10 11
3 4 0 1 2 8 9 5 6 7 13 14 10 11 12
4 0 1 2 3 9 5 6 7 8 14 10 11 12 13
5 6 7 8 9 14 10 11 12 13 4 0 1 2 3
6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 0 1 2 3 4
7 8 9 5 6 11 12 13 14 10 1 2 3 4 0
8 9 5 6 7 12 13 14 10 11 2 3 4 0 1
9 5 6 7 8 13 14 10 11 12 3 4 0 1 2
10 11 12 13 14 4 0 1 2 3 5 6 7 8 9
11 12 13 14 10 0 1 2 3 4 6 7 8 9 5
12 13 14 10 11 1 2 3 4 0 7 8 9 5 6
13 14 10 11 12 2 3 4 0 1 8 9 5 6 7
14 10 11 12 13 3 4 0 1 2 9 5 6 7 8
\end{verbatim}
(15) の位数表を作っておく。\\
\[ \begin{tabular}{c|cccccc}
位数 & 1 & 3& 5 & 15 \\ \hline
元の個数 &1&2& 4&8
\end{tabular} \]
（解おわり）
\end{question}
\section{位数16の群}
この節では、位数16の群を決定する。

\subsection{前段階}\label{前段階}
\begin{math}
可換群は次の5個。\\
~~~(16), (2,8), (4,4), (2,2,4), (2,2,2,2) \\
非可換群を求める。まず、元の位数が高々2のときは可換群。また位数16の元があるときも可換群。\\
従って、\\
~~~case~1) ~~位数8の元があるとき、 と、\\
~~~case~2) ~~元の位数が高々4のとき、\\
を考えればよい。
\end{math}

\subsection{位数8の元あり}\label{位数8の元あり}

\begin{math}
case~1)~~~その元を a として、H=\{e,a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},a^{6},a^{7} \} \\
とおいて、それ以外の元 d を H に作用させればよい。但し、d^{2}=e, a^{2}, or~~ a^{4} である。\\
（d^{2}=a^{6} ~となる場合があるが、a をa^{-1} で置き換えれば、case~1-2-2) ~となる。）\\
~~~~ここで H の自己同型を求めると、\\
~~~~(1), (13)(26)(57), (15)(37), (17)(26)(35) \\
である。
従って、次の9通りの場合を調べる。\\
~~~case~1-1-1)~~~d^{2}=e, ~~d^{-1}ad=a^{3} \\
~~~case~1-1-2)~~~d^{2}=e, ~~d^{-1}ad=a^{5} \\
~~~case~1-1-3)~~~d^{2}=e, ~~d^{-1}ad=a^{7} \\
~~~case~1-2-1)~~~d^{2}=a^{2}, ~~d^{-1}ad=a^{3} \\
~~~case~1-2-2)~~~d^{2}=a^{2}, ~~d^{-1}ad=a^{5} \\
~~~case~1-2-3)~~~d^{2}=a^{2}, ~~d^{-1}ad=a^{7} \\
~~~case~1-3-1)~~~d^{2}=a^{4}, ~~d^{-1}ad=a^{3} \\
~~~case~1-3-2)~~~d^{2}=a^{4}, ~~d^{-1}ad=a^{5} \\
~~~case~1-3-3)~~~d^{2}=a^{4}, ~~d^{-1}ad=a^{7} \\
このうち、1-2-1)は~~d^{-1}a^{3}d=d^{-1}ad^{2}d=d^{-1}ada^{2} \\
~~~~~~~~また、左辺=a （3は d により 1 に行くから。）右から a^{-2} をかけて、\\
~~~~~~~~~~~~~~~a^{-1}=d^{-1}ad \\
~~~~~~~~~~これは矛盾。\\
また、1-2-3)は~~d^{-1}a^{7}d=d^{-1}ad^{6}d=d^{-1}ada^{6} \\
~~~~~~~~また、左辺=a （7は d により 1 に行くから。）右から a^{-6} をかけて、\\
~~~~~~~~~~~~~~~a^{-5}=d^{-1}ad \\
~~~~~~~~~~これは矛盾。\\
より、1-2-1) と、1-2-3) は除かれる。\\
上の関係を使って群表を作るわけだが、二度手間となるので、
次に計算機の結果を出す。\\
初期値は下記。\\
\end{math}
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 0 9 10 11 12 13 14 15 8
2 3 4 5 6 7 0 1 10 11 12 13 14 15 8 9
3 4 5 6 7 0 1 2 11 12 13 14 15 8 9 10
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 0 1 2 3 4 13 14 15 8 9 10 11 12
6 7 0 1 2 3 4 5 14 15 8 9 10 11 12 13
7 0 1 2 3 4 5 6 15 8 9 10 11 12 13 14
\end{verbatim}
（このデータを全て、一々手で入力する必要はない。「手入力」のプログラム「ket4nec.bas」を使って、\\
必要な部分だけ入れれば、計算機が表を作ってくれる。）

\begin{math}
ここで、\\
0=e, 1=a, 2=a^{2}, 3=a^{3}, 4=a^{4}, 5=a^{5}, 6=a^{6}, 7=a^{7} \\
8=d, 9=ad, 10=a^{2}d, 11=a^{3}d, 12=a^{4}d, 13=a^{5}d, 14=a^{6}d, 15=a^{7}d \\
\end{math}
以下、その結果。9以降が非可換群となる。\\
\begin{verbatim}
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 0 9 10 11 12 13 14 15 8
2 3 4 5 6 7 0 1 10 11 12 13 14 15 8 9
3 4 5 6 7 0 1 2 11 12 13 14 15 8 9 10
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 0 1 2 3 4 13 14 15 8 9 10 11 12
6 7 0 1 2 3 4 5 14 15 8 9 10 11 12 13 これは（2、8）型
7 0 1 2 3 4 5 6 15 8 9 10 11 12 13 14
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
9 10 11 12 13 14 15 8 1 2 3 4 5 6 7 0
10 11 12 13 14 15 8 9 2 3 4 5 6 7 0 1
11 12 13 14 15 8 9 10 3 4 5 6 7 0 1 2
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
13 14 15 8 9 10 11 12 5 6 7 0 1 2 3 4
14 15 8 9 10 11 12 13 6 7 0 1 2 3 4 5
15 8 9 10 11 12 13 14 7 0 1 2 3 4 5 6
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 0 9 10 11 12 13 14 15 8
2 3 4 5 6 7 0 1 10 11 12 13 14 15 8 9
3 4 5 6 7 0 1 2 11 12 13 14 15 8 9 10
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 0 1 2 3 4 13 14 15 8 9 10 11 12
6 7 0 1 2 3 4 5 14 15 8 9 10 11 12 13 これは（16）型
7 0 1 2 3 4 5 6 15 8 9 10 11 12 13 14
8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 0
9 10 11 12 13 14 15 8 2 3 4 5 6 7 0 1
10 11 12 13 14 15 8 9 3 4 5 6 7 0 1 2
11 12 13 14 15 8 9 10 4 5 6 7 0 1 2 3
12 13 14 15 8 9 10 11 5 6 7 0 1 2 3 4
13 14 15 8 9 10 11 12 6 7 0 1 2 3 4 5
14 15 8 9 10 11 12 13 7 0 1 2 3 4 5 6
15 8 9 10 11 12 13 14 0 1 2 3 4 5 6 7
以下、3 から8 までは(16)型と(2,8) 型。これは省略する。
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 0 9 10 11 12 13 14 15 8
2 3 4 5 6 7 0 1 10 11 12 13 14 15 8 9
3 4 5 6 7 0 1 2 11 12 13 14 15 8 9 10
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 0 1 2 3 4 13 14 15 8 9 10 11 12
6 7 0 1 2 3 4 5 14 15 8 9 10 11 12 13 これは＜-2、4 | 2＞
7 0 1 2 3 4 5 6 15 8 9 10 11 12 13 14
8 11 14 9 12 15 10 13 0 3 6 1 4 7 2 5
9 12 15 10 13 8 11 14 1 4 7 2 5 0 3 6
10 13 8 11 14 9 12 15 2 5 0 3 6 1 4 7
11 14 9 12 15 10 13 8 3 6 1 4 7 2 5 0
12 15 10 13 8 11 14 9 4 7 2 5 0 3 6 1
13 8 11 14 9 12 15 10 5 0 3 6 1 4 7 2
14 9 12 15 10 13 8 11 6 1 4 7 2 5 0 3
15 10 13 8 11 14 9 12 7 2 5 0 3 6 1 4
\end{verbatim}
\begin{math}
上の9は、case~1-1-1) ~~~~~~ d^{-1}a^{3}d=a ~~~かつ~~~ d^{2}=e \\
即ち、da=a^{3}d, d^{2}=e より、8 \circ 1=11, 8 \circ 8=0
\end{math}
\begin{verbatim}
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 0 9 10 11 12 13 14 15 8
2 3 4 5 6 7 0 1 10 11 12 13 14 15 8 9
3 4 5 6 7 0 1 2 11 12 13 14 15 8 9 10
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 0 1 2 3 4 13 14 15 8 9 10 11 12
6 7 0 1 2 3 4 5 14 15 8 9 10 11 12 13 これは＜-2、4 | 2＞
7 0 1 2 3 4 5 6 15 8 9 10 11 12 13 14
8 11 14 9 12 15 10 13 4 7 2 5 0 3 6 1
9 12 15 10 13 8 11 14 5 0 3 6 1 4 7 2
10 13 8 11 14 9 12 15 6 1 4 7 2 5 0 3
11 14 9 12 15 10 13 8 7 2 5 0 3 6 1 4
12 15 10 13 8 11 14 9 0 3 6 1 4 7 2 5
13 8 11 14 9 12 15 10 1 4 7 2 5 0 3 6
14 9 12 15 10 13 8 11 2 5 0 3 6 1 4 7
15 10 13 8 11 14 9 12 3 6 1 4 7 2 5 0
\end{verbatim}
\begin{math}
上の10は、case~1-3-1) ~~~~~~ d^{-1}a^{3}d=a ~~~かつ~~~ d^{2}=a^{4} \\
即ち、da=a^{3}d, d^{2}=a^{4} より、8 \circ 1=11, 8 \circ 8=4
\end{math}
\begin{verbatim}
11
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 0 9 10 11 12 13 14 15 8
2 3 4 5 6 7 0 1 10 11 12 13 14 15 8 9
3 4 5 6 7 0 1 2 11 12 13 14 15 8 9 10
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 0 1 2 3 4 13 14 15 8 9 10 11 12
6 7 0 1 2 3 4 5 14 15 8 9 10 11 12 13 これは＜2、2 | 2＞
7 0 1 2 3 4 5 6 15 8 9 10 11 12 13 14
8 13 10 15 12 9 14 11 0 5 2 7 4 1 6 3
9 14 11 8 13 10 15 12 1 6 3 0 5 2 7 4
10 15 12 9 14 11 8 13 2 7 4 1 6 3 0 5
11 8 13 10 15 12 9 14 3 0 5 2 7 4 1 6
12 9 14 11 8 13 10 15 4 1 6 3 0 5 2 7
13 10 15 12 9 14 11 8 5 2 7 4 1 6 3 0
14 11 8 13 10 15 12 9 6 3 0 5 2 7 4 1
15 12 9 14 11 8 13 10 7 4 1 6 3 0 5 2
\end{verbatim}
\begin{math}
上の11は、case~1-1-2) ~~~~~~ d^{-1}a^{5}d=a ~~~かつ~~~ d^{2}=e \\
即ち、da=a^{5}d, d^{2}=e より、8 \circ 1=13, 8 \circ 8=0
\end{math}
\begin{verbatim}
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 0 9 10 11 12 13 14 15 8
2 3 4 5 6 7 0 1 10 11 12 13 14 15 8 9
3 4 5 6 7 0 1 2 11 12 13 14 15 8 9 10
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 0 1 2 3 4 13 14 15 8 9 10 11 12
6 7 0 1 2 3 4 5 14 15 8 9 10 11 12 13 これは＜2、2 | 2＞
7 0 1 2 3 4 5 6 15 8 9 10 11 12 13 14
8 13 10 15 12 9 14 11 2 7 4 1 6 3 0 5
9 14 11 8 13 10 15 12 3 0 5 2 7 4 1 6
10 15 12 9 14 11 8 13 4 1 6 3 0 5 2 7
11 8 13 10 15 12 9 14 5 2 7 4 1 6 3 0
12 9 14 11 8 13 10 15 6 3 0 5 2 7 4 1
13 10 15 12 9 14 11 8 7 4 1 6 3 0 5 2
14 11 8 13 10 15 12 9 0 5 2 7 4 1 6 3
15 12 9 14 11 8 13 10 1 6 3 0 5 2 7 4
\end{verbatim}
\begin{math}
上の12は、case~1-2-2) ~~~~~~ d^{-1}a^{5}d=a ~~~かつ~~~ d^{2}=a^{2} \\
即ち、da=a^{5}d, d^{2}=a^{2} より、8 \circ 1=13, 8 \circ 8=2
\end{math}
\begin{verbatim}
13
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 0 9 10 11 12 13 14 15 8
2 3 4 5 6 7 0 1 10 11 12 13 14 15 8 9
3 4 5 6 7 0 1 2 11 12 13 14 15 8 9 10
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 0 1 2 3 4 13 14 15 8 9 10 11 12
6 7 0 1 2 3 4 5 14 15 8 9 10 11 12 13 これは＜2、2 | 2＞
7 0 1 2 3 4 5 6 15 8 9 10 11 12 13 14
8 13 10 15 12 9 14 11 4 1 6 3 0 5 2 7
9 14 11 8 13 10 15 12 5 2 7 4 1 6 3 0
10 15 12 9 14 11 8 13 6 3 0 5 2 7 4 1
11 8 13 10 15 12 9 14 7 4 1 6 3 0 5 2
12 9 14 11 8 13 10 15 0 5 2 7 4 1 6 3
13 10 15 12 9 14 11 8 1 6 3 0 5 2 7 4
14 11 8 13 10 15 12 9 2 7 4 1 6 3 0 5
15 12 9 14 11 8 13 10 3 0 5 2 7 4 1 6
\end{verbatim}
\begin{math}
上の13は、case~1-3-2) ~~~~~~ d^{-1}a^{5}d=a ~~~かつ~~~ d^{2}=a^{4} \\
即ち、da=a^{5}d, d^{2}=a^{4} より、8 \circ 1=13, 8 \circ 8=4
\end{math}
\begin{verbatim}
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 0 9 10 11 12 13 14 15 8
2 3 4 5 6 7 0 1 10 11 12 13 14 15 8 9
3 4 5 6 7 0 1 2 11 12 13 14 15 8 9 10
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 0 1 2 3 4 13 14 15 8 9 10 11 12
6 7 0 1 2 3 4 5 14 15 8 9 10 11 12 13 これは＜2、2 | 2＞
7 0 1 2 3 4 5 6 15 8 9 10 11 12 13 14
8 13 10 15 12 9 14 11 6 3 0 5 2 7 4 1
9 14 11 8 13 10 15 12 7 4 1 6 3 0 5 2
10 15 12 9 14 11 8 13 0 5 2 7 4 1 6 3
11 8 13 10 15 12 9 14 1 6 3 0 5 2 7 4
12 9 14 11 8 13 10 15 2 7 4 1 6 3 0 5
13 10 15 12 9 14 11 8 3 0 5 2 7 4 1 6
14 11 8 13 10 15 12 9 4 1 6 3 0 5 2 7
15 12 9 14 11 8 13 10 5 2 7 4 1 6 3 0
\end{verbatim}
\begin{math}
上の14は、上の場合分けに含まれていない。\\
即ち d^{-1}a^{5}=a, ~~~d^{2}=a^{6}のとき（これはd^{2}=a^{2} に含まれるから。）\\
即ち、da=a^{5}d, d^{2}=a^{6} より、8 \circ 1=13, 8 \circ 8=6
\end{math}
\begin{verbatim}
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 0 9 10 11 12 13 14 15 8
2 3 4 5 6 7 0 1 10 11 12 13 14 15 8 9
3 4 5 6 7 0 1 2 11 12 13 14 15 8 9 10
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 0 1 2 3 4 13 14 15 8 9 10 11 12
6 7 0 1 2 3 4 5 14 15 8 9 10 11 12 13 これはdihedral
7 0 1 2 3 4 5 6 15 8 9 10 11 12 13 14
8 15 14 13 12 11 10 9 0 7 6 5 4 3 2 1
9 8 15 14 13 12 11 10 1 0 7 6 5 4 3 2
10 9 8 15 14 13 12 11 2 1 0 7 6 5 4 3
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
12 11 10 9 8 15 14 13 4 3 2 1 0 7 6 5
13 12 11 10 9 8 15 14 5 4 3 2 1 0 7 6
14 13 12 11 10 9 8 15 6 5 4 3 2 1 0 7
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
\end{verbatim}
\begin{math}
上の15は、case~1-1-3) ~~~~~~ d^{-1}a^{7}d=a ~~~かつ~~~ d^{2}=e \\
即ち、da=a^{7}d, d^{2}=e より、8 \circ 1=15, 8 \circ 8=0
\end{math}
\begin{verbatim}
16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 0 9 10 11 12 13 14 15 8
2 3 4 5 6 7 0 1 10 11 12 13 14 15 8 9
3 4 5 6 7 0 1 2 11 12 13 14 15 8 9 10
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 0 1 2 3 4 13 14 15 8 9 10 11 12
6 7 0 1 2 3 4 5 14 15 8 9 10 11 12 13 これは＜2、2 , 4＞
7 0 1 2 3 4 5 6 15 8 9 10 11 12 13 14
8 15 14 13 12 11 10 9 4 3 2 1 0 7 6 5
9 8 15 14 13 12 11 10 5 4 3 2 1 0 7 6
10 9 8 15 14 13 12 11 6 5 4 3 2 1 0 7
11 10 9 8 15 14 13 12 7 6 5 4 3 2 1 0
12 11 10 9 8 15 14 13 0 7 6 5 4 3 2 1
13 12 11 10 9 8 15 14 1 0 7 6 5 4 3 2
14 13 12 11 10 9 8 15 2 1 0 7 6 5 4 3
15 14 13 12 11 10 9 8 3 2 1 0 7 6 5 4
\end{verbatim}
\begin{math}
上の16は、case~1-3-3) ~~~~~~ d^{-1}a^{7}d=a ~~~かつ~~~ d^{2}=a^{4} \\
即ち、da=a^{7}d, d^{2}=a^{4} より、8 \circ 1=15, 8 \circ 8=4 \\
以上をまとめると、次表のようになる。
\end{math}

\[ \begin{tabular}{c|cccc}
& $d^{2}=e$ & $d^{2}=a^{2}$ & $d^{2}=a^{4}$ & $d^{2}=a^{6}$ \\ \hline
(13)(26)(57) & ＜-2,4 $\mid$ 2＞ & なし & ＜-2,4 $\mid$ 2＞ & なし \\
(15)(37) & ＜2,2 $\mid$ 2＞ & ＜2,2 $\mid$ 2＞ & ＜2,2 $\mid$ 2＞ & ＜2,2 $\mid$ 2＞ \\
(17)(26) (35) & $D_8$ & なし & ＜2,2,4＞ & なし \\
\end{tabular} \]

\subsection{高々位数4の元あり}\label{高々位数4の元あり}

\begin{math}
case~2)~~~次に高々位数4の元を持つ場合。\\
「位数16の非可換群で高々位数4の元をもつ群は可換群（2、4）型を含む」（この定理は後で示す。）\\
より、d を（2、4）に作用させればよい。\\
H=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b\} とおき、\\
a=1, a^{2}=2,a^{3}=3, b=4, ab=5, a^{2}b=6, a^{3}b=7 と名前をつけ、自己同型を求めると、\\
~~~(1), (46)(57),(13)(57),(13)(46),(15)(37),(1537)(46),(17)(35),(1735)(46) \\
となる。このうち、位数2のものに d を対応させる。（d^{2}=e, d^{2}=a^{2} etc の可能性がある。）\\
d=8, ad=9, a^{2}d=10,a^{3}d=11, bd=12, abd=13, a^{2}bd=14, a^{3}bd=15 \\
\end{math}

\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10

1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8 これは可換群 (2,2,4)
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
9 10 11 8 13 14 15 12 1 2 3 0 5 6 7 4
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
11 8 9 10 15 12 13 14 3 0 1 2 7 4 5 6
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
13 14 15 12 9 10 11 8 5 6 7 4 1 2 3 0
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
15 12 13 14 11 8 9 10 7 4 5 6 3 0 1 2
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8 これは可換群 (2,8)
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 0 5 6 7 4
9 10 11 8 13 14 15 12 2 3 0 1 6 7 4 5
10 11 8 9 14 15 12 13 3 0 1 2 7 4 5 6
11 8 9 10 15 12 13 14 0 1 2 3 4 5 6 7
12 13 14 15 8 9 10 11 5 6 7 4 1 2 3 0
13 14 15 12 9 10 11 8 6 7 4 5 2 3 0 1
14 15 12 13 10 11 8 9 7 4 5 6 3 0 1 2
15 12 13 14 11 8 9 10 4 5 6 7 0 1 2 3

以下8 まで可換群で、9 から非可換群が出てくる。
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 9 10 11 14 15 12 13 0 1 2 3 6 7 4 5
9 10 11 8 15 12 13 14 1 2 3 0 7 4 5 6
10 11 8 9 12 13 14 15 2 3 0 1 4 5 6 7
11 8 9 10 13 14 15 12 3 0 1 2 5 6 7 4
12 13 14 15 10 11 8 9 4 5 6 7 2 3 0 1
13 14 15 12 11 8 9 10 5 6 7 4 3 0 1 2
14 15 12 13 8 9 10 11 6 7 4 5 0 1 2 3
15 12 13 14 9 10 11 8 7 4 5 6 1 2 3 0
\end{verbatim}
上の9は、$＜2、2、2＞_2$ \\
d の作用は、$da=ad, db=a^{2}bd$ \\
即ち、(46)(57) かつ、$d^{2}=e$ \\
\begin{verbatim}
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 9 10 11 14 15 12 13 1 2 3 0 7 4 5 6
9 10 11 8 15 12 13 14 2 3 0 1 4 5 6 7
10 11 8 9 12 13 14 15 3 0 1 2 5 6 7 4
11 8 9 10 13 14 15 12 0 1 2 3 6 7 4 5
12 13 14 15 10 11 8 9 5 6 7 4 3 0 1 2
13 14 15 12 11 8 9 10 6 7 4 5 0 1 2 3
14 15 12 13 8 9 10 11 7 4 5 6 1 2 3 0
15 12 13 14 9 10 11 8 4 5 6 7 2 3 0 1
\end{verbatim}
上の10は、$＜2、2、| 2＞$ \\
d の作用は、$da=ad, db=a^{2}bd$ \\
即ち、(46)(57) かつ、$d^{2}=a$ \\
\begin{verbatim}
11
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 9 10 11 14 15 12 13 2 3 0 1 4 5 6 7
9 10 11 8 15 12 13 14 3 0 1 2 5 6 7 4
10 11 8 9 12 13 14 15 0 1 2 3 6 7 4 5
11 8 9 10 13 14 15 12 1 2 3 0 7 4 5 6
12 13 14 15 10 11 8 9 6 7 4 5 0 1 2 3
13 14 15 12 11 8 9 10 7 4 5 6 1 2 3 0
14 15 12 13 8 9 10 11 4 5 6 7 2 3 0 1
15 12 13 14 9 10 11 8 5 6 7 4 3 0 1 2
\end{verbatim}
上の11は、$＜2、2、2＞_2$ \\
d の作用は、$da=ad, db=a^{2}bd$ \\
即ち、(46)(57) かつ、$d^{2}=a^{2}$ \\
\begin{verbatim}
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 9 10 11 14 15 12 13 3 0 1 2 5 6 7 4
9 10 11 8 15 12 13 14 0 1 2 3 6 7 4 5
10 11 8 9 12 13 14 15 1 2 3 0 7 4 5 6
11 8 9 10 13 14 15 12 2 3 0 1 4 5 6 7
12 13 14 15 10 11 8 9 7 4 5 6 1 2 3 0
13 14 15 12 11 8 9 10 4 5 6 7 2 3 0 1
14 15 12 13 8 9 10 11 5 6 7 4 3 0 1 2
15 12 13 14 9 10 11 8 6 7 4 5 0 1 2 3
\end{verbatim}
上の10は、$＜2、2、| 2＞$ \\
d の作用は、$da=ad, db=a^{2}bd$ \\
即ち、(46)(57) かつ、$d^{2}=a^{3}$ \\
\begin{verbatim}
13
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 11 10 9 12 15 14 13 0 3 2 1 4 7 6 5
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
10 9 8 11 14 13 12 15 2 1 0 3 6 5 4 7
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
12 15 14 13 8 11 10 9 4 7 6 5 0 3 2 1
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
14 13 12 15 10 9 8 11 6 5 4 7 2 1 0 3
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
\end{verbatim}
上の13は$Z_2$ $\times$ $D_4$ \\
d の作用は、$da=a^{3}d$, db=bd, 即ち(13)(57) かつ、$d^{2}=e$
\begin{verbatim}
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 11 10 9 12 15 14 13 2 1 0 3 6 5 4 7
9 8 11 10 13 12 15 14 3 2 1 0 7 6 5 4
10 9 8 11 14 13 12 15 0 3 2 1 4 7 6 5
11 10 9 8 15 14 13 12 1 0 3 2 5 4 7 6
12 15 14 13 8 11 10 9 6 5 4 7 2 1 0 3
13 12 15 14 9 8 11 10 7 6 5 4 3 2 1 0
14 13 12 15 10 9 8 11 4 7 6 5 0 3 2 1
15 14 13 12 11 10 9 8 5 4 7 6 1 0 3 2
\end{verbatim}
上の14は$Z_2$ $\times$ Q \\
d の作用は、$da=a^{3}d$, db=bd, 即ち(13)(57) かつ、$d^{2}=a^{2}$
\begin{verbatim}
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 11 10 9 12 15 14 13 4 7 6 5 0 3 2 1
9 8 11 10 13 12 15 14 5 4 7 6 1 0 3 2
10 9 8 11 14 13 12 15 6 5 4 7 2 1 0 3
11 10 9 8 15 14 13 12 7 6 5 4 3 2 1 0
12 15 14 13 8 11 10 9 0 3 2 1 4 7 6 5
13 12 15 14 9 8 11 10 1 0 3 2 5 4 7 6
14 13 12 15 10 9 8 11 2 1 0 3 6 5 4 7
15 14 13 12 11 10 9 8 3 2 1 0 7 6 5 4
\end{verbatim}
上の15は＜2,2 $\mid$ 4 ：2＞ \\
d の作用は、$da=a^{3}d$, db=bd, 即ち(13)(57) かつ、$d^{2}=b$
\begin{verbatim}
16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 11 10 9 12 15 14 13 6 5 4 7 2 1 0 3
9 8 11 10 13 12 15 14 7 6 5 4 3 2 1 0
10 9 8 11 14 13 12 15 4 7 6 5 0 3 2 1
11 10 9 8 15 14 13 12 5 4 7 6 1 0 3 2
12 15 14 13 8 11 10 9 2 1 0 3 6 5 4 7
13 12 15 14 9 8 11 10 3 2 1 0 7 6 5 4
14 13 12 15 10 9 8 11 0 3 2 1 4 7 6 5
15 14 13 12 11 10 9 8 1 0 3 2 5 4 7 6
\end{verbatim}
上の16は＜2,2 $\mid$ 4 ：2＞ \\
d の作用は、$da=a^{3}d$, db=bd, 即ち(13)(57) かつ、$d^{2}=a^{2}b$
\begin{verbatim}
17
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 11 10 9 14 13 12 15 0 3 2 1 6 5 4 7
9 8 11 10 15 14 13 12 1 0 3 2 7 6 5 4
10 9 8 11 12 15 14 13 2 1 0 3 4 7 6 5
11 10 9 8 13 12 15 14 3 2 1 0 5 4 7 6
12 15 14 13 10 9 8 11 4 7 6 5 2 1 0 3
13 12 15 14 11 10 9 8 5 4 7 6 3 2 1 0
14 13 12 15 8 11 10 9 6 5 4 7 0 3 2 1
15 14 13 12 9 8 11 10 7 6 5 4 1 0 3 2
\end{verbatim}
上の17は$＜2,2,2＞_2$ \\
d の作用は、$da=a^{3}d$, $db=a^{2}bd$, 即ち(13)(46) かつ、$d^{2}=e$
\begin{verbatim}
18
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 11 10 9 14 13 12 15 2 1 0 3 4 7 6 5
9 8 11 10 15 14 13 12 3 2 1 0 5 4 7 6
10 9 8 11 12 15 14 13 0 3 2 1 6 5 4 7
11 10 9 8 13 12 15 14 1 0 3 2 7 6 5 4
12 15 14 13 10 9 8 11 6 5 4 7 0 3 2 1
13 12 15 14 11 10 9 8 7 6 5 4 1 0 3 2
14 13 12 15 8 11 10 9 4 7 6 5 2 1 0 3
15 14 13 12 9 8 11 10 5 4 7 6 3 2 1 0
\end{verbatim}
上の18は$＜2,2,2＞_2$ \\
d の作用は、$da=a^{3}d$, $db=a^{2}bd$, 即ち(13)(46) かつ、$d^{2}=a^{2}$
\begin{verbatim}
19
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 11 10 9 14 13 12 15 5 4 7 6 3 2 1 0
9 8 11 10 15 14 13 12 6 5 4 7 0 3 2 1
10 9 8 11 12 15 14 13 7 6 5 4 1 0 3 2
11 10 9 8 13 12 15 14 4 7 6 5 2 1 0 3
12 15 14 13 10 9 8 11 1 0 3 2 7 6 5 4
13 12 15 14 11 10 9 8 2 1 0 3 4 7 6 5
14 13 12 15 8 11 10 9 3 2 1 0 5 4 7 6
15 14 13 12 9 8 11 10 0 3 2 1 6 5 4 7
\end{verbatim}
上の19は＜2,2,2＞ \\
d の作用は、$da=a^{3}d$, $db=a^{2}bd$, 即ち(13)(46) かつ、$d^{2}=ab$ \\
即ち、位数8の元がある。
\begin{verbatim}
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 11 10 9 14 13 12 15 7 6 5 4 1 0 3 2
9 8 11 10 15 14 13 12 4 7 6 5 2 1 0 3
10 9 8 11 12 15 14 13 5 4 7 6 3 2 1 0
11 10 9 8 13 12 15 14 6 5 4 7 0 3 2 1
12 15 14 13 10 9 8 11 3 2 1 0 5 4 7 6
13 12 15 14 11 10 9 8 0 3 2 1 6 5 4 7
14 13 12 15 8 11 10 9 1 0 3 2 7 6 5 4
15 14 13 12 9 8 11 10 2 1 0 3 4 7 6 5
\end{verbatim}
上の20は＜2,2,2＞ \\
d の作用は、$da=a^{3}d$, $db=a^{2}bd$, 即ち(13)(46) かつ、$d^{2}=a^{3}b$ \\
即ち、位数8の元がある。
\begin{verbatim}
21
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 13 10 15 12 9 14 11 0 5 2 7 4 1 6 3
9 14 11 12 13 10 15 8 1 6 3 4 5 2 7 0
10 15 8 13 14 11 12 9 2 7 0 5 6 3 4 1
11 12 9 14 15 8 13 10 3 4 1 6 7 0 5 2
12 9 14 11 8 13 10 15 4 1 6 3 0 5 2 7
13 10 15 8 9 14 11 12 5 2 7 0 1 6 3 4
14 11 12 9 10 15 8 13 6 3 4 1 2 7 0 5
15 8 13 10 11 12 9 14 7 0 5 2 3 4 1 6
\end{verbatim}
上の21は(4,4 $\mid$ 2,2) \\
d の作用は、$da=abd$, db=bd, 即ち(15)(37) かつ、$d^{2}=e$
\begin{verbatim}
22
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 13 10 15 12 9 14 11 2 7 0 5 6 3 4 1
9 14 11 12 13 10 15 8 3 4 1 6 7 0 5 2
10 15 8 13 14 11 12 9 0 5 2 7 4 1 6 3
11 12 9 14 15 8 13 10 1 6 3 4 5 2 7 0
12 9 14 11 8 13 10 15 6 3 4 1 2 7 0 5
13 10 15 8 9 14 11 12 7 0 5 2 3 4 1 6
14 11 12 9 10 15 8 13 4 1 6 3 0 5 2 7
15 8 13 10 11 12 9 14 5 2 7 0 1 6 3 4
\end{verbatim}
上の22は＜2,2 $\mid$ 4 ：2＞ \\
d の作用は、$da=abd$, db=bd, 即ち(15)(37) かつ、$d^{2}=a^{2}$
\begin{verbatim}
23
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 13 10 15 12 9 14 11 4 1 6 3 0 5 2 7
9 14 11 12 13 10 15 8 5 2 7 0 1 6 3 4
10 15 8 13 14 11 12 9 6 3 4 1 2 7 0 5
11 12 9 14 15 8 13 10 7 0 5 2 3 4 1 6
12 9 14 11 8 13 10 15 0 5 2 7 4 1 6 3
13 10 15 8 9 14 11 12 1 6 3 4 5 2 7 0
14 11 12 9 10 15 8 13 2 7 0 5 6 3 4 1
15 8 13 10 11 12 9 14 3 4 1 6 7 0 5 2
\end{verbatim}
上の23は＜2,2 $\mid$ 4 ：2＞ \\
d の作用は、$da=abd$, db=bd, 即ち(15)(37) かつ、$d^{2}=b$
\begin{verbatim}
24
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 13 10 15 12 9 14 11 6 3 4 1 2 7 0 5
9 14 11 12 13 10 15 8 7 0 5 2 3 4 1 6
10 15 8 13 14 11 12 9 4 1 6 3 0 5 2 7
11 12 9 14 15 8 13 10 5 2 7 0 1 6 3 4
12 9 14 11 8 13 10 15 2 7 0 5 6 3 4 1
13 10 15 8 9 14 11 12 3 4 1 6 7 0 5 2
14 11 12 9 10 15 8 13 0 5 2 7 4 1 6 3
15 8 13 10 11 12 9 14 1 6 3 4 5 2 7 0
\end{verbatim}
上の24は＜4,4 $\mid$ 2,2＞ \\
d の作用は、$da=abd$, db=bd, 即ち(15)(37) かつ、$d^{2}=a^{2}b$
\begin{verbatim}
25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 15 10 13 12 11 14 9 0 7 2 5 4 3 6 1
9 12 11 14 13 8 15 10 1 4 3 6 5 0 7 2
10 13 8 15 14 9 12 11 2 5 0 7 6 1 4 3
11 14 9 12 15 10 13 8 3 6 1 4 7 2 5 0
12 11 14 9 8 15 10 13 4 3 6 1 0 7 2 5
13 8 15 10 9 12 11 14 5 0 7 2 1 4 3 6
14 9 12 11 10 13 8 15 6 1 4 3 2 5 0 7
15 10 13 8 11 14 9 12 7 2 5 0 3 6 1 4
\end{verbatim}
上の25は＜4,4 $\mid$ 2,2＞ \\
d の作用は、$da=a^{3}bd$, db=bd, 即ち(17)(35) かつ、$d^{2}=e$
\begin{verbatim}
26
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 15 10 13 12 11 14 9 2 5 0 7 6 1 4 3
9 12 11 14 13 8 15 10 3 6 1 4 7 2 5 0
10 13 8 15 14 9 12 11 0 7 2 5 4 3 6 1
11 14 9 12 15 10 13 8 1 4 3 6 5 0 7 2
12 11 14 9 8 15 10 13 6 1 4 3 2 5 0 7
13 8 15 10 9 12 11 14 7 2 5 0 3 6 1 4
14 9 12 11 10 13 8 15 4 3 6 1 0 7 2 5
15 10 13 8 11 14 9 12 5 0 7 2 1 4 3 6
\end{verbatim}
上の26は＜2,2 $\mid$ 4 ：2＞ \\
d の作用は、$da=a^{3}bd$, db=bd, 即ち(17)(35) かつ、$d^{2}=a^{2}$
\begin{verbatim}
27
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 15 10 13 12 11 14 9 4 3 6 1 0 7 2 5
9 12 11 14 13 8 15 10 5 0 7 2 1 4 3 6
10 13 8 15 14 9 12 11 6 1 4 3 2 5 0 7
11 14 9 12 15 10 13 8 7 2 5 0 3 6 1 4
12 11 14 9 8 15 10 13 0 7 2 5 4 3 6 1
13 8 15 10 9 12 11 14 1 4 3 6 5 0 7 2
14 9 12 11 10 13 8 15 2 5 0 7 6 1 4 3
15 10 13 8 11 14 9 12 3 6 1 4 7 2 5 0
\end{verbatim}
上の27は＜4,4 $\mid$ 2,2＞ \\
d の作用は、$da=a^{3}bd$, db=bd, 即ち(17)(35) かつ、$d^{2}=b$
\begin{verbatim}
28
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 15 10 13 12 11 14 9 6 1 4 3 2 5 0 7
9 12 11 14 13 8 15 10 7 2 5 0 3 6 1 4
10 13 8 15 14 9 12 11 4 3 6 1 0 7 2 5
11 14 9 12 15 10 13 8 5 0 7 2 1 4 3 6
12 11 14 9 8 15 10 13 2 5 0 7 6 1 4 3
13 8 15 10 9 12 11 14 3 6 1 4 7 2 5 0
14 9 12 11 10 13 8 15 0 7 2 5 4 3 6 1
15 10 13 8 11 14 9 12 1 4 3 6 5 0 7 2
\end{verbatim}
上の28は＜2,2 $\mid$ 4 ：2＞ \\
d の作用は、$da=a^{3}bd$, db=bd, 即ち(17)(35) かつ、$d^{2}=a^{6}$ \\
\\
以上をまとめると、次表のようになる。
\[ \begin{tabular}{c|cccccc}
& $d^{2}=e$ & $d^{2}=a^{2}$ & $d^{2}=b$ & $d^{2}=a^{2}b$ \\ \hline
(13)(57) & $Z_2 \times D_4$ & $Z_2 \times Q$ & ＜2,2 $\mid$ 4： 2＞ & ＜2,2 $\mid$ 4： 2＞ \\
(13)(46) & $＜2,2,2＞_2$ &$＜2,2,2＞_2$ & なし& なし\\
(15)(37) & $(4,4 \mid 2,2)$ & ＜2,2 $\mid$ 4： 2＞ & ＜2,2 $\mid$ 4： 2＞ &$(4,4 \mid 2,2)$\\
(46)(57) & $＜2,2,2＞_2$ &$＜2,2,2＞_2 $& なし& なし\\
(17)(35) & $(4,4 \mid 2,2)$ & ＜2,2 $\mid$ 4： 2＞ & $(4,4 \mid 2,2)$ &＜2,2 $\mid$ 4： 2＞\\
\end{tabular} \]

\subsection{主定理}\label{主定理16}

さて、やり残した定理。\\
\begin{theorem}\label{位数16に関する主定理}
\begin{math}
「G：位数16、非可換、元の位数は高々４ 」\\
~~~~~ならば、「G は(2,4) 型を含む」\\
証明~~~N を位数8の G の正規部分群とすると、次の３つの場合を調べればよい。\\
1）N=(2,2,2) のとき。（2、2、2）＝\{e,a,b,c,ab,ac,bc,abc\} とする。\\
2）N=dihedral のとき。 \\
~~~~~~~D_4=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b \} b^{-1}ab=a^{3}, b^{2}=e とする。\\
~~~~~~~自己同型を作るときの名前は下記。\\
~~~~~~~1=a,2=a^{2},3=a^{3},4=b,5=ab,6=a^{2}b,7=a^{3}b \\
3) N=quaternionのとき。\\
~~~~~~~Q=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b \} b^{-1}ab=a^{3}, b^{2}=a^{2} とする。\\
~~~~~~~自己同型を作るときの名前は dihedral と同じ。\\
いずれも d が作用している場合に、G が(2,4) 型を含むことを示せばよい。\\
1）のとき。例を2個示す。（ (2,2,2) の自己同型は全部で168個あるが、\\
~~~~位数2のものはそのうち21個。「正規部分群、自己同型」の節参照。）他の場合も同じ。\\
1-1) d^{-1}ad=b, d^{-1}bd=a, d^{-1}cd=c の場合。\\
~~~~~d と ab は可換。\because d^{-1}abd=d^{-1}add^{-1}bd=ba=ab \\
~~~~~従って、d と ab のなす群は(2,4) 型。\\
1-2) d^{-1}ad=c, d^{-1}bd=abc, d^{-1}cd=a の場合。\\
~~~~~d と ab は可換。\because d^{-1}abd=d^{-1}add^{-1}bd=cabc=ab \\
2) のとき。D_4 の自己同型は次の8個。\\
~~~~~~~~(1),(4567),(46)(57),(4765),(13)(57),(13)(45)(67),(13)(46),(13)(47)(56) \\
~~~~~~~~位数2のものは、そのうち5個。\\
2-1) d^{-1}ad=a のとき。（ (46)(57) のとき。）a と d は可換。従って a と d のなす群は(2,4)型。\\
2-2) d^{-1}ad=a^{3} のとき。（上以外の位数2の自己同型。）\\
~~~~~~~~a と bd は可換。\because (bd)^{-1}abd=d^{-1}(b^{-1}ab)d=d^{-1}a^{3}d=a \\
~~~~~~~~従って、a と bd のなす群は(2,4) 型。\\
3) のとき。Q の自己同型は次の24個。\\
~~~~~~~(1),(4567),(46)(57),(4765),(13)(57),(13)(45)(67),(13)(46),(13)(47)(65) \\
~~~~~~~(14)(36)(57),(1436),(145)(367),(147)(365),(154)(376),(156)(347),(1537)\\
~~~~~~~(15)(37)(46),(1634),(16)(34)(57),(167)(345),(165)(347),(174)(356),(176)(354)\\
~~~~~~~(1735),(17)(35)(46) \\
3-1)~~~ d を位数4の元に対応させるとき。例えば、(1436) に対応。このときには5は動かないから、\\
~~~~~~5 即ち ab は d と可換。ab と d のなす群は（ d^{2}=a^{2} に注意して）可換群(2,4)。\\
3-2) ~~~d の位数が2で、d^{-1}ad=a^{3} のとき。（即ち、(13) を含む自己同型のとき。）\\
~~~~~~~~a と bd は可換。\because (bd)^{-1}abd=d^{-1}(b^{-1}ab)d=d^{-1}a^{3}d=a \\
~~~~~~~~従って、a と bd のなす群は(2,4) 型。\\
3-3)~~~ d の位数が2で、d^{-1}ad=b のとき。（即ち、(14) (36)(57)のとき。）\\
~~~~~~~~ab と da は可換。\because (da)^{-1}abda=a^{-1}(d^{-1}abd)a=a^{-1}a^{3}ba=ba^{3}=ab \\
~~~~~~~~従って、ab と da のなす群は(2,4) 型。\\
3-4)~~~ d の位数が2で、d^{-1}ad=ab のとき。（即ち、(15) (37)(46)のとき。）\\
~~~~~~~~b と da は可換。\because (da)^{-1}bda=a^{-1}(d^{-1}bd)a=a^{-1}a^{2}ba=aba=b \\
~~~~~~~~従って、b と da のなす群は(2,4) 型。\\
3-5) ~~~d の位数が2で、d^{-1}ad=a^{2}b のとき。（即ち、(16) (34)(57)のとき。）\\
~~~~~~~~ab と da は可換。\because (da)^{-1}abda=a^{-1}(d^{-1}abd)a=a^{-1}a^{3}ba=a^{2}ba=ba^{3}=ab \\
~~~~~~~~従って、ab と da のなす群は(2,4) 型。\\
3-6) ~~~d の位数が2で、d^{-1}ad=a^{3}b のとき。（即ち、(17) (35)(46)のとき。）\\
~~~~~~~~b と da は可換。\because (da)^{-1}bda=a^{-1}(d^{-1}bd)a=a^{-1}a^{2}ba=aba=b \\
~~~~~~~~従って、b と da のなす群は(2,4) 型。\\
証明おわり。
\end{math}
\end{theorem}

\subsection{位数表}\label{位数表16}

位数16の群の位数表を作ると、\\
\[ \begin{tabular}{c|cccccc}
& 1 & 2 & 4 & 8 &16\\ \hline
(2,2,2,2) & 1 & 15 & 0 & 0 &0 \\
(2,2,4) & 1 & 7 &8 &0 &0 \\
(4,4) & 1 & 3 &12 &0 &0 \\
(2,8) & 1 & 3 & 4 & 8 &0 \\
(16) & 1 & 1 & 2 & 4 &8\\
$D_8$ & 1 & 9 & 2 & 4 &0 \\
＜-2,4 $\mid$ 2＞ & 1 & 5 & 6 & 4 &0 \\
＜2,2 $\mid$ 2＞ & 1 & 3 & 4 & 8 &0 \\
＜2,2 $\mid$ 4＞ & 1 & 1 & 10 & 4 &0 \\
$Z_2 \times D_4$ & 1 & 11 & 4 & 0 &0 \\
$Z_2 \times Q$ & 1 & 3 & 12 & 0 &0\\
＜2,2 $\mid$ 4：2＞ & 1 & 3 & 12 & 0 &0\\
（4,4 $\mid$ 2,2） & 1 & 7 & 8 & 0 &0 \\
$＜2,2,2＞_2$ & 1 & 7 & 8 & 0 &0 \\
\end{tabular} \]

\subsection{同型の判別}\label{同型の判別}
\begin{question}

$＜2,2,2＞_2$ と（4,4 $\mid$ 2,2） は位数表で同じ分布をしている。どうやって区別するか。\\
解~~~元の位数を出すプログラム、「位数」(isuu3.bas) を使う。\\
上の群表の17番をこれにかけると下記。\\
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 11 10 9 14 13 12 15 0 3 2 1 6 5 4 7
9 8 11 10 15 14 13 12 1 0 3 2 7 6 5 4
10 9 8 11 12 15 14 13 2 1 0 3 4 7 6 5
11 10 9 8 13 12 15 14 3 2 1 0 5 4 7 6
12 15 14 13 10 9 8 11 4 7 6 5 2 1 0 3
13 12 15 14 11 10 9 8 5 4 7 6 3 2 1 0
14 13 12 15 8 11 10 9 6 5 4 7 0 3 2 1
15 14 13 12 9 8 11 10 7 6 5 4 1 0 3 2
4 1 2 3 -9
4 3 2 1 -9
4 5 2 7 -9
4 7 2 5 -9
4 12 2 14 -9
4 13 2 15 -9
4 14 2 12 -9
4 15 2 13 -9
2 2 -9
2 4 -9
2 6 -9
2 8 -9
2 9 -9
2 10 -9
2 11 -9
2 7 -9
4 8 -9
\end{verbatim}
位数4の元は、1,3,5,7,12,13,14,15 の8個。これらを2乗するといずれも2。一方
群表の25をこのプログラムにかけると下記。\\
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 6 7 4 1 2 3 0 13 14 15 12 9 10 11 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 4 5 6 3 0 1 2 15 12 13 14 11 8 9 10
8 15 10 13 12 11 14 9 0 7 2 5 4 3 6 1
9 12 11 14 13 8 15 10 1 4 3 6 5 0 7 2
10 13 8 15 14 9 12 11 2 5 0 7 6 1 4 3
11 14 9 12 15 10 13 8 3 6 1 4 7 2 5 0
12 11 14 9 8 15 10 13 4 3 6 1 0 7 2 5
13 8 15 10 9 12 11 14 5 0 7 2 1 4 3 6
14 9 12 11 10 13 8 15 6 1 4 3 2 5 0 7
15 10 13 8 11 14 9 12 7 2 5 0 3 6 1 4
4 1 2 3 -9
4 3 2 1 -9
4 5 2 7 -9
4 7 2 5 -9
4 9 4 13 -9
4 11 4 15 -9
4 13 4 9 -9
4 15 4 11 -9
2 2 -9
2 4 -9
2 6 -9
2 8 -9
2 10 -9
2 12 -9
2 14 -9
2 7 -9
4 8 -9
\end{verbatim}
位数4の元は、1,3,5,7,9,11,13,15 の8個。但し2乗して4になるものと2になるものの2種類が存在。
即ち、群表17と同型には出来ない。\\
解おわり。
\end{question}

\subsection{同型写像を見つける}\label{同型写像を見つける}

\begin{question}
群表25と27とは、同じ（4,4 $\mid$ 2,2）である。同型写像をみつけよ。\\
解~~~プログラム「同型」(dokei704.bas) を使う。\\
群表25と群表27を入力する。また、
表25では、位数4の元で2乗して2になるもの：1,3,5,7 の4個。\\
~~~~~~~~位数4の元で2乗して4になるもの：9,11,13,15の4個。\\
~~~~~~~~位数2の元 ：2,4,6,8,10,12,14 の7個。\\
表27では、位数4の元で2乗して2になるもの：1,3,5,7 の4個。\\
~~~~~~~~位数4の元で2乗して4になるもの： 8,10,12,14の4個。\\
~~~~~~~~位数2の元 ：2,4,6,9,11,13,15 の7個。\\
上の順序で2行に入力する。即ち、\\
~~~~~~~~1,3,5,7,9,11,13,15,2,4,6,8,10,12,14 \\
~~~~~~~~1,3,5,7,8,10,12,14,2,4,6,9,11,13,15\\
すると、答として、下記が出る。\\
0,2,1,4,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 \\
この意味は、
\[ \begin{tabular}{c|cccccccccccccccc}
& 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15 \\ \hline
表25 &0 & 1&3&5&7&9&11&13&15&2&4&6&8&10&12&14 \\
表27 &0 &1&3&5&7&8&10&12&14&2&4&6&9&11&13&15 \\
&0&2&1&4&3&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15
\end{tabular} \]
\end{question}
即ち、表27において、1と3を入れ換え、5と7を入れ換えれば表25と同じ群表が出来る。
\section{位数24の群}
\subsection{準備}\label{位数24準備}
この節では、位数24の群を決定する。\\
~~~~可換群は次の3個。\\
~~~(24), (2,12), (2,2,6)\\
非可換群を求める。そのためにまず、準同型写像の定義から始める。
\begin{definition}
\begin{math}
2個の群、G と G' が与えられており、G から G' へのonto な写像f が与えられている。\\
~~~~~~~~~~~f ： G \longrightarrow G' onto \\
~~~~~~~~~~~~~~~a \longmapsto f(a) \\
このとき、任意の2つの G の元、a, b に対して、\\
~~~~~~~~~~~~~~f(a)f(b)=f(ab) \\
が成り立つとき、f を、「G から G' への上への準同型写像」といい、\\
~~~~~~~~~~~~また、「G は G' に準同型」といい、「G \sim G' 」と書く。\\
\end{math}
\begin{theorem}
\begin{math}
準同型写像f について、次のことが成り立つ。\\
1) ~~f(e)=e' \\
2)~~ [f(a)]^{-1}=f(a^{-1}) \\
証明 ~~~1) は、f(e)f(e)=f(ee)=f(e) \Longrightarrow f(e)=e' \\
2) は、e'=f(e)=f(aa^{-1})=f(a)f(a^{-1} \Longrightarrow f(a^{-1})=[f(a)]^{-1} ~~~（証明おわり）\\
注意~~~~ここで[f(a)]^{-1} はf^{-1}(a) でないことに注意すること。f^{-1}(a) は
一般には複数の元から成り立っている。\\
\end{math}
\end{theorem}
\end{definition}
\begin{theorem}
群G とその正規部分群N が与えられている。\\
このとき、N の剰余類同士の積が再びある剰余類となる。\\
証明~~~二つの剰余類をNa, Nb とする。\\
~~~~~~~(Na)(Nb)=N(aN)b=N(Na)b=Nab ~~~（証明おわり）\\
\end{theorem}
\begin{definition}
この定理により、剰余類を一つの元と見なせば、剰余類の全体が群をなす。\\
この群を「N を法とするG の剰余類群」または「剰余群」といい、G/N と書く。
\end{definition}
\begin{definition}
2個の群、G と G' が与えられており、G から G' への上への準同型写像f が与えられている。\\
G'の単位元 e' の f による逆像（即ち G の元で、f によりe' に行くもの全体。）を「f の核」と
いい、ker(f) と書く。\\
\end{definition}
\begin{theorem}{準同型定理}
\begin{math}
2個の群、G と G' が与えられており、G から G' への上への準同型写像f が与えられている。\\
~~~~~~~~~~~f ： G \longrightarrow G' ~~~ onto \\
~~~~~~~~~~~~~~~a \longmapsto f(a) \\
~~~~~~N=ker(f) とすると、\\
~~~1) ~~ N はG の中で、正規部分群\\
~~~2) ~~ G/N とG' は同型。\\
証明~~~まず、1) を示す。\\
1-1) はじめに部分群をなすことを示す。\\
~~~まず積が入ることをいう。\\
N の中の任意の二つの元、n,m を取る。nm がN に入ることをいえばよい。\\
f(nm)=f(n)f(m)=e'e'=e' ~~~\therefore nm \in N \\
~~~次に逆元が入ることをいう。\\
N の元 n とその逆元 n^{-1} を取ってくる。n^{-1} がN に入ることをいえばよい。\\
f(n)f(n^{-1})=e'f(n^{-1})~~~~ 一方この左辺は、f(nn^{-1})=f(e)=e' \\
即ち、e'=e'f(n^{-1}) ~~~~\therefore ~~f(n^{-1})=e' ~~~即ち、n^{-1} \in N \\
~~~これで部分群はいえた。\\
1-2) 次に、a^{-1}Na=N を示せばよい。\\
まず、N の任意の元 n を取ってきて、a^{-1}na が N に入ることをいう。\\
a^{-1}na の f による像が、N に入ることを言えばよい。\\
f(a^{-1}na)=f(a^{-1})f(n)f(a)=f(a^{-1})e'f(a)=f(a^{-1})f(a)=f(a^{-1}a)=f(e)=e' \\
\therefore a^{-1}na \in N \\
n は任意のN の元だから、a^{-1}Na \subset N \\
右からa^{-1}、左からa をかけて、N \subset aNa^{-1} \\
a はG の任意の元だから、N \subset a^{-1}Na \\
即ち、N=a^{-1}Na \\
~~~次に2) を示す。\\
同型写像 g （即ち1：1 onto, かつ掛け算を保つ）を見つければよい。それは、\\
~~~~~~~~~~~g ： G/N \longrightarrow G' \\
~~~~~~~~~~~~~~~aN \longmapsto f(a) \\
2-1) まずこれが、写像として正当なものであることを示す。（普通このことをwell-definednessという。
つまり、定義の元には複数個あり、その内の一つを行く先として定めてあるので、他の元もその同じ元
に行くかどうかを確かめねばならない。\\
~~~今の場合、N の任意の元を n としたとき、anN=aN であるから、
an も f により同じf(a) に行くことを言えばよい。\\
ところがこれは, \\
~~~~~f(an)=f(a)f(n)=f(a)e'=f(a) \\
であるから大丈夫。（well-definedness は言えた。）\\
2-2) 掛け算を保つことは、\\
~~~~~g(aN)g(bN)=f(a)f(b)=f(ab)=g(abN)=g(aNb)=g(aNNb)=g(aNbN) \\
~~で大丈夫。\\
2-3) 「１：１」は、「定義域で違っていたら行った先で違う」を言うこと。\\
これは対偶を示す。「行った先で同じなら、定義域で同じ」を言う。\\
~~~「f(a)=f(b) \Longrightarrow aN=bN」をいう。\\
~~~b^{-1} なる元を考え、f(ab^{-1}) を作ると、\\
~~~f(ab^{-1}) =f(a)f(b^{-1})=f(a)[f(b)]^{-1}=f(b)[f(b)]^{-1}=e'
~~~\Longrightarrow ab^{-1} \in N \\
~~~\Longrightarrow a \in Nb \Longrightarrow a \in bN
~~~\Longrightarrow aN \subset bN \\
同様にして、bN \subset aN \\
\therefore aN=bN \\
2-4)~~ onto は f がonto だから大丈夫。~~~（証明おわり）\\
\end{math}
\end{theorem}

\begin{question}
\begin{math}
正四角形のなす正二面体群(dihedral ~~D_4) から可換群(2,2) への準同型写像を作れ。\\
解~~~D_4 内に位数2の正規部分群を捜せばよい。\\
それは N=\{(1), (13)(24)\} である。右剰余類を作れば、\\
(1234)N=\{(1234),(1432)\}, ~~(12)(34)N=\{(12)(34),(14)(23)\},~~(13)N=\{(13),(24)\} \\
準同型 f は、\\
~~~~~~~~~D_4 \longrightarrow (2,2) \\
~~~~~~~~~~~N \longmapsto e \\
~~~~~(1234)N \longmapsto a \\
~~~~~(12)(34)N \longmapsto b \\
~~~~~~~(13)N \longmapsto ab \\
\end{math}
とすればよい。~~~（解おわり）\\
\end{question}

\begin{question}
\begin{math}
正四面体群(tetrahedral ~~A_4) から可換群(3) への準同型写像を作れ。\\
解~~~D_4 内に指数3（位数4）の正規部分群を捜せばよい。\\
それは N=\{(1), (13)(24),(12)(34),(14)(23)\} である。右剰余類を作れば、\\
(123)N=\{(123),(134),(243),(142)\}, ~~(132)N=\{(132),(234),(124),(143)\} \\
準同型 f は、\\
~~~~~~~~~A_4 \longrightarrow (3) \\
~~~~~~~~~~~N \longmapsto e \\
~~~~~(123)N \longmapsto a \\
~~~~~(132)N \longmapsto a^{2} \\
\end{math}
とすればよい。~~~（解おわり）\\
\end{question}

\begin{theorem}
\begin{math}
G,~G' ：2つの群、g ：G からG' への準同型写像、N' ：G' の正規部分群、が与えられているとき、\\
N' の g による逆像N は G の中で、正規部分群。\\
証明~~~G の任意の元 x を取ってきたとき、「x^{-1}Nx=N 」を言えばよい。\\
そのためには、「x^{-1}Nx \subset N」を言えばよい。\\
（\because~これが言えれば、x としてx^{-1} をとってきても成り立つのだから、xNx^{-1} \subset N
即ち N \subset x^{-1}Nx ）\\
g(x^{-1}Nx)=g(x^{-1})g(N)g(x)=[g(x)]^{-1}N'g(x)=N' \\
\therefore x^{-1}Nx \subset g^{-1}(N') =N ~~~(証明おわり）\\
\end{math}
\end{theorem}

\begin{definition}
\begin{math}
群 G とその部分群 H が与えられているとき、N(H) を、\\
N(H) ：=\{g \in G ；g^{-1}Hg=H \} \\
と定義し、H の正規化群という。\\
\end{math}
\end{definition}
注意 ~~~定義から自然に、「正規化群は、部分群であって、H をその中で正規部分群とする。」
と言えそうであるが、ただ、部分群になることは証明を要す。次にそれを示す。\\
\begin{theorem}
\begin{math}
正規化群は、部分群である。\\
証明~~~逆元と積が再び元の集合にあることを言えばよい。\\
まず逆元。N(H) の中の任意の元をx とし、x^{-1} がN(H) にあることを言う。\\
\because~~~ x^{-1}Hx=H \Longrightarrow H=xHx^{-1}=(x^{-1})^{-1}Hx^{-1} \therefore x^{-1} \in N(H) \\
次に、積。N(H) の中の任意の元をx,y とし、xy がN(H) にあることを言う。\\
\because ~~(xy)^{-1}Hxy=y^{-1}(x^{-1}Hx)y=y^{-1}Hy=H~~~ \therefore xy \in N(H)
~~~（証明おわり）
\end{math}
\end{theorem}
\begin{theorem}
\begin{math}
群 G とその部分群 Hと、その正規化群N(H) が与えられている。\\
Hに共役な部分群を、H_1~(=H),H_2,H_3, \ldots H_k とすれば、\\
その数 k は、G の N(H) に対する指数に等しい。\\
証明~~~G の N(H) に対する指数をl とし、k=l を示す。\\
G のN(H) による左分解を、\\
G=N(H)a_1 +N(H)a_2 + N(H)a_3 + \ldots + N(H)a_l ~~~~とする。（a_1=e） \\
~~~まず、「a_1^{-1}Ha_1,a_2^{-1}Ha_2, a_3^{-1}Ha_3, \ldots a_l^{-1}Ha_l がすべて異なる」
ことを示す。\\
（これにより、l \leq k が言える。何故なら、N(H)a_1の中で、H をa_1^{-1}Ha_1
以外のものに移す元があるかもしれないから、lより多くの共役部分群がある可能性は残されている。
しかし、l 個の共役群があることはこれで保証。）\\
「N(H)a_i \ne N(H)a_j \Longrightarrow a_i^{-1}Ha_i \ne a_j^{-1}Ha_j」を言う。\\
対偶：「a_i^{-1}Ha_i = a_j^{-1}Ha_j \Longrightarrow N(H)a_i = N(H)a_j」を言う。\\
それは、a_ja_i^{-1}Ha_iaj^{-1}=H \Longrightarrow a_ia_j^{-1} \in N(H) \\
\Longrightarrow a_i \in N(H)a_j \Longrightarrow N(H)a_i \subset N(H)a_j \\
また、a_ia_j^{-1}Ha_jai^{-1}=H \Longrightarrow a_ja_i^{-1} \in N(H) \\
\Longrightarrow a_j \in N(H)a_i \Longrightarrow N(H)a_j \subset N(H)a_i \\
\therefore~~ N(H)a_i = N(H)a_j \\
~~~これで l\leq k が言えた。さて次に「 k \leq l 」を言う。\\
共役部分群の数とは、g^{-1}Hg (g \in G) で、異なる群の数のことであるが、
g は上の左分解の類のうちどれかに入っている。同じ類の元は同じ共役部分群しか作れないことを言えば、
共役部分群はl 個以上は出来ない。即ち「 k\leq l 」が言えたことになる。\\
~~~それをいう。n を任意のN(H) の元とすれば、N(H)a_i の類の元はna_i 。\\
(na_i)^{-1}H(na_i)=a_i^{-1}n^{-1}Hna_i=a_i^{-1}Ha_i \\
より、同じ類の元は同じ共役部分群しか作れない。~~~（証明おわり）\\
\end{math}
\end{theorem}

\begin{theorem}
\begin{math}
G ：群。H とK をG の二つの部分群。\\
このとき、H \cap K は、G の部分群 \\
証明~~~逆元と積が再びH \cap Kの中に入っていることを言う。\\
H \cap K の任意の元をx, y とする。\\
x , y はH の元、かつ、K の元。\\
x^{-1} はH の元、かつ、K の元。故にx^{-1} はH \cap Kの元。\\
xy はH の元、かつ、K の元。故にxy はH \cap Kの元。~~~（証明おわり）\\
\end{math}
\end{theorem}

\subsection{主定理}\label{主定理24}

\begin{theorem}\label{位数24に関する主定理}
\begin{math}
G ：位数24の群、のとき、\\
G の3-Sylow群が正規部分群でないならば、G の2-Sylow群が正規部分群であるか、
またはGはS_4と同型。\\
（この定理により、G は、次の3つの場合のどれかとなる。\\
~~~~~~1)~~ S_4 と同型。~~~2) ~~3-Sylow群はG の正規部分群。~~~3)~~ 2-Sylow群はG の正規部分群。）\\
証明~~~3-Sylow 群は4, 7, 10 \ldots 個だが、7も10も24の約数ではない。\\
従って、3-Sylow 群は4個。それをP_1,P_2,P_3,P_4 とする。\\
順序づけを行った集合、(P_1,P_2,P_3,P_4 )を考えて、\\
G の元をこれに作用させる。即ち、g^{-1}(P_1,P_2,P_3,P_4 )g=(P_i,P_j,P_k,P_l )
とすると、G からS_4 への準同型写像が出来る。\\
~~~~~~h(g)=\begin{pmatrix}1 &2&3&4 \\ i&j&k&l\end{pmatrix} \\
（onto とは限らないので、像を値域と考える。そうすればonto。）\\
準同型であることは、「h(g_1g_2)=h(g_1)h(g_2)」を言えばよい。\\
左辺＝(g_1g_2)^{-1}(P_1,P_2,P_3,P_4 )g_1g_2=g_2^{-1}(g_1^{-1}(P_1,P_2,P_3,P_4 )g_1)g_2 ＝右辺\\
で、大丈夫。\\
~~~ここで ker(h) を考える。\\
（ ker(h)の個数が1ならば、G はS_4 に同型。\\
また、ker(h)の個数が2ならばG はA_4 の逆像。
A_4 内の2-Sylow群（位数は4。）はA_4の中で正規。その逆像はG の中で正規。
つまり、位数8の群がG の中で正規。即ち、2-Sylow群はG の正規部分群。）\\
~~~さて、ker(h)=\{g：h(g)=(1)\}=\{g：g^{-1}(P_1,P_2,P_3,P_4 )g=(P_1,P_2,P_3,P_4 )\} \\
=\{g ：g^{-1}P_ig=P_i, ~~i=1,2,3,4 \} =\{g ：g \in N(P_i),~~ i=1,2,3,4 \} \\
= N(P_1) \cap N(P_2) \cap N(P_3) \cap N(P_4) \\
~~~N(P_i) ~~ (i=1,2,3,4) ~~はいずれも位数6。~~（\because P_i の共役部分群はP_1,P_2,P_3,P_4の4個。）\\
case ~1)~ ker(h) の位数が3 とすると、N(P_1) \cap N(P_2) の位数は3以上。（また、G の部分群である。）\\
（\because 3未満とするとker(h) の位数が3未満となる。）\\
case~ 1-1) ~N(P_1) \cap N(P_2) の位数が3のとき。\\
~~~~~位数3の部分群だから、3-Sylow 群。故に、P_i (i=1,2,3,4) のいずれか。\\
~~~~~P_2 とすると、N(P_1) \supset N(P_1) \cap N(P_2) =P_2 かつ、N(P_1) \supset P_1 \\
~~~~~位数6の群N(P_1) が 、位数3の元を4個持つことになり、矛盾。（位数6の群は(6) またはD_3。\\
~~~~~いずれも位数3の元は2個。）\\
case~ 1-2) ~N(P_1) \cap N(P_2) の位数が6のとき。\\
~~~~~位数6の部分群だから、位数3の部分群を含む。即ち3-Sylow群を含む。\\
~~~~~故に、P_i (i=1,2,3,4) のいずれかを含む。以下case ~~1-1) と同じ。矛盾。\\
case ~2) ~ker(h) の位数が6 の場合。これはcase~~ 1-2)と同じ。矛盾。~~~（証明おわり）
\end{math}
\end{theorem}

\begin{math}
さて、位数24の群を決定する。\\
まず可換群は、(24)型 と (2,12) 型と(2,2,6) 型の3個のみ。\\
非可換群を考える。
\end{math}

\subsection{前段階}\label{前段階24}

\begin{math}
上の定理により、位数24の群が、位数3の正規部分群も、位数8の正規部分群も、
持たないならば、それはS_4 であるから、S_4以外の場合は次のように分類される。\\
位数8の群は次の5個。\\
1 \ (8)型 \\
2 \ (4,2)型 \\
3 \ (2,2,2)型 \\
4 \ diheral 4 \ D_4\\
5 \ quaternion \ Q \\
\\
位数3の群は (3)型1個。\\
\\
従って、そのどちらかが正規部分群になっている場合は、
次の2-1 から 3-5 までの10通り。\\
\\
2-1 \ (8) が (3) に作用している場合。\\
2-2 \ (4,2) が (3)に作用している場合。\\
2-3 \ (2,2,2) が (3) に作用している場合。\\
2-4 \ D_4 が (3)に作用している場合。\\
2-5 \ Q が (3)に作用している場合。\\
\\
上のいずれの場合も、Aut(3)=(2) で、作用する群には位数2の元が存在するから、
非可換の群を作ることが出来る。また、2-4 と2-5 の場合は、D_4 とQ が非可換であるから、
可換的に作用させても、非可換の群が出来る。\\
\\
3-1 \ (3) が (8) に作用している場合。\\
3-2 \ (3) が (4,2)に作用している場合。\\
3-3 \ (3) が (2,2,2) に作用している場合。\\
3-4 \ (3) が D_4 に作用している場合。\\
3-5 \ (3) が Q に作用している場合。\\
\\
上の3-1 の場合は、Aut(8)=(2,2) で、位数3の元を持たないので可換群しか出来ない。\\
3-2 の場合は、Aut(4,2)=D_4 で、これも位数3の元を持たないので可換群のみ。\\
3-4 の場合も、Aut(D_4)=D_4 より、可換的な作用しかないが、D_4 がもともと非可換なので、
非可換の群が出来るのは出来る。但しこれは2-4 の場合に吸収させることにする。\\
3-5 の場合は、Aut(Q)=S_4 であり、位数3の元を持つから、非可換群を作ることが出来る。
但し 3-4 と同じ理由で、可換的に作用させても非可換群が出来るが、それは2-5 に吸収させる。\\
\\
\end{math}
\subsection{(8)が(3)に作用}\label{(8)が(3)に作用}

\begin{math}
2-1　の場合、即ち、(8) が (3) に作用している場合。\\
(3)=\{e,d,d^{2}\} \\
(8)=\{e,a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},a^{6},a^{7}\}\\
a^{8}=e, \\
Aut を表現するために、ここで、d を1、d^{2} を2 で表す。\\
a を、Aut(3) の中の位数2の元、(1,2)に対応させる。即ち、\\
a により、d は d^{2} に行くから、\\
a^{-1}da=d^{2}\\
元は次の24個。\\
e, \, d, \, d^{2}, \, a, \, da, \, da^{2}, \, a^{2}, \, da^{2}, d^{2}a^{2}\\
a^{3},\, da^{3},\,d^{2}a^{3},\,a^{4},\,da^{4},\,d^{2}a^{4},\,a^{5},\,da^{5},d^{2}a^{5},\\
a^{6},\, da^{6},\,d^{2}a^{6},\,a^{7},\,da^{7},\,d^{2}a^{7},\\
\\
それぞれの位数を求める。\\
e からa までは既知。\\
\\
5. \ da の位数を求める。\\
a^{-1}d^{2}a=d に気をつけると、(何故なら、 a により2 は1 に行くから）\\
ad=d^{2}a であるから、
(da)^{2}=d(ad)a=d(d^{2}a)a=a^{2}
(da)^{8}=a^{8}=e
故に da の位数は８\\
\\
6.\ d^{2}a の位数を求める。\\
a^{-1}da=d^{2} に気をつけると、(何故なら、 a によりd はd^{2} に行くから）\\
ad^{2}=da であるから、
(d^{2}a)^{2}=d^{2}(ad^{2})a=d^{2}(da)a=a^2
(d^{2}a)^8=a^8=e
故に　d^{2}a の位数は8\\
\\
8. \ da^{2} の位数を求める。\\
a^{-2}da^{2}=d に気をつけると、(何故なら、 a^{2} によりd はd に行くから）\\
a^{2}d=da^{2} であるから、
(da^{2})^{2}=d(a^{2}d)a^{2}=d(da^{2})a^{2}=d^{2}a^{4}
(da^{2})^{3}=d^{2}(a^{4}d)a^{2}=d^2(da^{4})a^{2}=a^{6}
(da^{2})^{12}=a^{24}=e
故に　da^{2} の位数は12\\
\end{math}
\\
以下同様の計算を行って、次の位数表を得る。
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\ \hline
1&3 &3&8&8&8&4&12&12&8&8&8 \\
a^{4}&da^{4} & d^{2}a^{4} &a^{5}&da^{5}&d^{2}a^{5}&a^{6}&da^{6}&d^{2}a^{6}&a^{7} &da^{7}&d^{2}a^{7} \\ \hline
2&6 &6&8&8&8&4&12&12&8&8&8 \\
\end{array} \]

位数とその個数
\[ \begin{array}{c|ccccccccc}
位数&1 &2&3&4&6&8&12 \\ \hline
個数&1 & 1&2&2&2&12&4 \\
\end{array} \]
\begin{math}
これは <-2,2,3> である。
\end{math}
これを計算機でやるには、「手入力」(ket4nec.bas) に次の初期値を入れ、（但し数字の意味は下表。）\\
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
0&1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11 \\ \hline
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\
12&13 &14&15&16&17&18&19&20&21&22&23 \\ \hline
a^{4}&da^{4} & d^{2}a^{4} &a^{5}&da^{5}&d^{2}a^{5}&a^{6}&da^{6}&d^{2}a^{6}&a^{7} &da^{7}&d^{2}a^{7} \\
\end{array} \]

\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
\end{verbatim}
\begin{math}
ここで、
3 \circ 1 には、5 を入れ、(\because ad=d^{2}a) ~~3 \circ 3 には、6 を入れ、
(\because aa=a^{2})~~3 \circ 6 には、9 を入れ(\because aa^{2}=a^{3}) 等々
とすれば、\\
\end{math}
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
3 5 4 6 8 7 9 11 10 12 14 13 15 17 16 18 20 19 21 23 22 0 2 1
4 3 5 7 6 8 10 9 11 13 12 14 16 15 17 19 18 20 22 21 23 1 0 2
5 4 3 8 7 6 11 10 9 14 13 12 17 16 15 20 19 18 23 22 21 2 1 0
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 0 1 2 3 4 5
7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21 1 2 0 4 5 3
8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22 2 0 1 5 3 4
9 11 10 12 14 13 15 17 16 18 20 19 21 23 22 0 2 1 3 5 4 6 8 7
10 9 11 13 12 14 16 15 17 19 18 20 22 21 23 1 0 2 4 3 5 7 6 8
11 10 9 14 13 12 17 16 15 20 19 18 23 22 21 2 1 0 5 4 3 8 7 6
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21 1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9
14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22 2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10
15 17 16 18 20 19 21 23 22 0 2 1 3 5 4 6 8 7 9 11 10 12 14 13
16 15 17 19 18 20 22 21 23 1 0 2 4 3 5 7 6 8 10 9 11 13 12 14
17 16 15 20 19 18 23 22 21 2 1 0 5 4 3 8 7 6 11 10 9 14 13 12
18 19 20 21 22 23 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
19 20 18 22 23 21 1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15
20 18 19 23 21 22 2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16
21 23 22 0 2 1 3 5 4 6 8 7 9 11 10 12 14 13 15 17 16 18 20 19
22 21 23 1 0 2 4 3 5 7 6 8 10 9 11 13 12 14 16 15 17 19 18 20
23 22 21 2 1 0 5 4 3 8 7 6 11 10 9 14 13 12 17 16 15 20 19 18
が出て来る。これを「位数」(isuu3.bas) にかけると、
12 7 14 18 1 8 12 19 2 6 13 20 -9
12 8 13 18 2 7 12 20 1 6 14 19 -9
12 19 14 6 1 20 12 7 2 18 13 8 -9
12 20 13 6 2 19 12 8 1 18 14 7 -9
8 3 6 9 12 15 18 21 -9
8 4 6 10 12 16 18 22 -9
8 5 6 11 12 17 18 23 -9
8 9 18 3 12 21 6 15 -9
8 10 18 4 12 22 6 16 -9
8 11 18 5 12 23 6 17 -9
8 15 6 21 12 3 18 9 -9
8 16 6 22 12 4 18 10 -9
8 17 6 23 12 5 18 11 -9
8 21 18 15 12 9 6 3 -9
8 22 18 16 12 10 6 4 -9
8 23 18 17 12 11 6 5 -9
6 13 2 12 1 14 -9
6 14 1 12 2 13 -9
4 6 12 18 -9
4 18 12 6 -9
3 1 2 -9
3 2 1 -9
2 12 -9
手計算で求めた位数表が下記の通り出て来る。
2 1 -9
3 2 -9
4 2 -9
6 2 -9
8 12 -9
12 4 -9
\end{verbatim}

\subsection{(2,4)が(3)に作用の1}\label{(2,4)が(3)に作用の1}

\begin{math}
2-2-1~~の場合、即ち、（2,4）が(3)に作用している場合。\\
この場合２通りあるが、次の場合を2-2-1の場合とする。\\
(3)=\{e,d,d^{2}\} \\
(2,4)=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b\}\\
a^{4}=e,~~ b^{2}=e \\
Aut を表現するために、ここで、d を1、d^{2} を2 で表す。\\
a を、Aut(3) の中の位数1の元、(1)に対応させる。即ち、\\
a により、d は d に行く、\\
b を、Aut(3) の中の位数2の元、(1,2)に対応させる。即ち、\\
b により、d は d^{2} に行く、\\
（この逆にaを(1,2)に、ｂを(1)に対応させる場合を2-2-2とする。）\\
a^{-1}da=d\\
b^{-1}db=d^{2}\\
元は次の24個。\\
e, \, d, \, d^{2}, \, a, \, da, \, da^{2}, \, a^{2}, \, da^{2}, d^{2}a^{2}\\
a^{3},\, da^{3},\,d^{2}a^{3},\,b,\,db,\,d^{2}b,\,ab,\,dab,d^{2}ab,\\
a^{2}b,\, da^{2}b,\,d^{2}a^{2}b,\,a^{3}b,\,da^{3}b,\,d^{2}a^{3}b,\\
\\
それぞれの位数を求める。\\
e からa までは既知。\\
\\
5. \ da の位数を求める。\\
(da)^{2}=d(ad)a=d^{2}a^{2}\\
(da)^{3}=d^{3}a^{3}=a^{3}\\
(da)^{12}=e\\
故に da の位数は12\\
\\
6.\ d^{2}a の位数を求める。\\
(d^{2}a)^{2}=d^{4}a^{2}=da^{2}\\
(d^{2}a)^{3}=a^{3}\\
(d^{2}a)^{12}=e\\
故に d^{2}a の位数は12\\
\\
8. \ da^{2} の位数を求める。\\
(da^{2})^{2}=d^{2}a^{4}=d^{2}\\
(da^{2})^{6}=d^{6}=e\\
故に　da^{2} の位数は6\\
\\
14. \ db の位数を求める。\\
b^{-1}d^{2}b=d に気をつけると、(何故なら、 b によりd^2 はd に行くから）\\
bd=d^{2}b であるから、\\
(db)^{2}=d(bd)b=d(d^{2}b)b=b^{2}=e\\
故に　db の位数は2\\
\\
15. \ d^{2}b の位数を求める。\\
(d^{2}b)^{2}=d^{2}(bd^{2})b=d^{2}(db)b=e\\
故に　db の位数は2\\
\\
17. \ dab の位数を求める。\\
(dab)^{2}=da(bd)ab=da(d^{2}b)ab=d^{3}abab=a^{2}\\
(dab)^{4}=e\\
故に　dab の位数は4\\
\\
20. \ da^{2}b の位数を求める。\\
(da^{2}b)^{2}=da^{2}(bd)a^{2}b=da^{2}(d^{2}b)a^{2}b=d^{3}a^{2}ba^{2}b=e\\
(dab)^{4}=e\\
故に　da^{2}b の位数は2\\
\end{math}

以下同様の計算を行って、次の位数表を得る。
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\ \hline
1&3 &3&4&12&12&2&6&6&4&12&12 \\ \hline
b&db & d^{2}b &ab&dab&d^{2}ab&a^{2}b&da^{2}b&d^{2}a^{2}b&a^{3}b &da^{3}b&d^{2}a^{3}b \\ \hline
2&2&2&4&4&4&2&2&2&4&4&4 \\
\end{array} \]
位数とその個数
\[ \begin{array}{c|ccccccc}
位数&1 &2&3&4&6&8&12 \\ \hline
個数&1&7&2&8&2&0&4 \\
\end{array} \]
\\
これは $Z_4 \times D_3$である。
これを計算機でやるには、「手入力」(ket4nec.bas) に次の初期値を入れ、（但し数字の意味は下表。）\\
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
0&1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11 \\ \hline
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\
12&13 &14&15&16&17&18&19&20&21&22&23 \\ \hline
b&db & d^{2}b &ab&dab&d^{2}ab&a^{2}b&da^{2}b&d^{2}a^{2}b&a^{3}b &da^{3}b&d^{2}a^{3}b \\
\end{array} \]
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
\end{verbatim}
\begin{math}
ここで、
3 \circ 1 には4 を入れ(\because ad=da)、 3 \circ 3 には6 を入れ(\because aa=a^{2})、
3 \circ 6 には9 を入れ(\because aa^{2}=a^{3}) 、 等々、\\
また、12 \circ 1 には14を入れ(\because bd=d^{2}b) 、12 \circ 3 には15 を入れ(\because ba=ab)、
等々とすれば、\\
\end{math}

\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12 13 14
4 5 3 7 8 6 10 11 9 1 2 0 16 17 15 19 20 18 22 23 21 13 14 12
5 3 4 8 6 7 11 9 10 2 0 1 17 15 16 20 18 19 23 21 22 14 12 13
6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17
7 8 6 10 11 9 1 2 0 4 5 3 19 20 18 22 23 21 13 14 12 16 17 15
8 6 7 11 9 10 2 0 1 5 3 4 20 18 19 23 21 22 14 12 13 17 15 16
9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 21 22 23 12 13 14 15 16 17 18 19 20
10 11 9 1 2 0 4 5 3 7 8 6 22 23 21 13 14 12 16 17 15 19 20 18
11 9 10 2 0 1 5 3 4 8 6 7 23 21 22 14 12 13 17 15 16 20 18 19
12 14 13 15 17 16 18 20 19 21 23 22 0 2 1 3 5 4 6 8 7 9 11 10
13 12 14 16 15 17 19 18 20 22 21 23 1 0 2 4 3 5 7 6 8 10 9 11
14 13 12 17 16 15 20 19 18 23 22 21 2 1 0 5 4 3 8 7 6 11 10 9
15 17 16 18 20 19 21 23 22 12 14 13 3 5 4 6 8 7 9 11 10 0 2 1
16 15 17 19 18 20 22 21 23 13 12 14 4 3 5 7 6 8 10 9 11 1 0 2
17 16 15 20 19 18 23 22 21 14 13 12 5 4 3 8 7 6 11 10 9 2 1 0
18 20 19 21 23 22 12 14 13 15 17 16 6 8 7 9 11 10 0 2 1 3 5 4
19 18 20 22 21 23 13 12 14 16 15 17 7 6 8 10 9 11 1 0 2 4 3 5
20 19 18 23 22 21 14 13 12 17 16 15 8 7 6 11 10 9 2 1 0 5 4 3
21 23 22 12 14 13 15 17 16 18 20 19 9 11 10 0 2 1 3 5 4 6 8 7
22 21 23 13 12 14 16 15 17 19 18 20 10 9 11 1 0 2 4 3 5 7 6 8
23 22 21 14 13 12 17 16 15 20 19 18 11 10 9 2 1 0 5 4 3 8 7 6
が出て来る。これを「位数」(isuu3.bas) にかけると、
12 4 8 9 1 5 6 10 2 3 7 11 -9
12 5 7 9 2 4 6 11 1 3 8 10 -9
12 10 8 3 1 11 6 4 2 9 7 5 -9
12 11 7 3 2 10 6 5 1 9 8 4 -9
6 7 2 6 1 8 -9
6 8 1 6 2 7 -9
4 3 6 9 -9
4 9 6 3 -9
4 15 6 21 -9
4 16 6 22 -9
4 17 6 23 -9
4 21 6 15 -9
4 22 6 16 -9
4 23 6 17 -9
3 1 2 -9
3 2 1 -9
2 6 -9
2 12 -9
2 13 -9
2 14 -9
2 18 -9
2 19 -9
2 20 -9
2 7 -9
3 2 -9
4 8 -9
6 2 -9
12 4 -9
手計算で求めた位数表が下記の通り出て来る。
2 7 -9
3 2 -9
4 8 -9
6 2 -9
12 4 -9
\end{verbatim}

\subsection{(2,4)が(3)に作用の2}\label{(2,4)が(3)に作用の2}

\begin{math}
2-2-2~~の場合、即ち、（2,4）が(3)に作用している場合。\\
(3)=\{e,d,d^{2}\} \\
(2,4)=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b\}\\
a^{4}=e,~~ b^{2}=e \\
Aut を表現するために、ここで、d を1、d^{2} を2 で表す。\\
a を、Aut(3) の中の位数2の元、(1,2)に対応させる。即ち、\\
a により、d は d^{2} に行く、\\
b を、Aut(3) の中の位数1の元、(1)に対応させる。即ち、\\
b により、d は d に行く、\\
（この逆にaを(1)に、ｂを(1,2)に対応させる場合を2-2-1とした。）\\
a^{-1}da=d^{2}\\
b^{-1}db=d\\
元は次の24個。\\
e, \, d, \, d^{2}, \, a, \, da, \, da^{2}, \, a^{2}, \, da^{2}, d^{2}a^{2}\\
a^{3},\, da^{3},\,d^{2}a^{3},\,b,\,db,\,d^{2}b,\,ab,\,dab,d^{2}ab,\\
a^{2}b,\, da^{2}b,\,d^{2}a^{2}b,\,a^{3}b,\,da^{3}b,\,d^{2}a^{3}b,\\
\\
それぞれの位数を求める。\\
e からa までは既知。\\
\\
5. \ da の位数を求める。\\
(da)^{2}=d(ad)a=d(d^{2}a)a=a^{2}\\
(da)^{4}=a^{4}=e\\
故に da の位数は4\\
\\
6.\ d^{2}a の位数を求める。\\
(d^{2}a)^{2}=d^{2}(ad^{2})a=d^{2}(da)a=a^{2}\\
(d^{2}a)^{4}=e\\
故に d^{2}a の位数は4\\
\\
8. \ da^{2} の位数を求める。\\
a^{-2}da^{2}=d~~に気をつけて、\\
(da^{2})^{2}=d(a^{2}d)a^{2}=d(da^{2})a^{2}=d^{2}\\
(da^{2})^{6}=e
故に　da^{2} の位数は6\\
\\
11. \ da^{3} の位数を求める。\\
a^{-3}d^{2}a^{3}=d~~に気をつけて、\\
(da^{3})^{2}=d(a^{3}d)a^{3}=d(d^{2}a^{3})a^{3}=a^{2}\\
(da^{2})^{4}=e
故に　da^{3} の位数は4\\
\\
14. \ db の位数を求める。\\
(db)^{2}=d(bd)b=d^{2}b^{2}=d^{2}\\
(db)^{6}=e
故に　db の位数は6\\
\\
17. \ dab の位数を求める。\\
(dab)^{2}=d(abd)ab=db(ad)ab=db(d^{2}a)ab=baab=a^{2}\\
(dab)^{4}=e\\
故に　dab の位数は4\\
\\
20. \ da^{2}b の位数を求める。\\
(da^{2}b)^{2}=d(a^{2}bd)a^{2}b=db(a^{2}d)a^{2}b=db(da^{2})a^{2}b=d^{2}\\
(dab)^{6}=e\\
故に　da^{2}b の位数は6\\
\end{math}
\\
以下同様の計算を行って、次の位数表を得る。
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\ \hline
1&3 &3&4&4&4&2&6&6&4&4&4 \\
b&db & d^{2}b &ab&dab&d^{2}ab&a^{2}b&da^{2}b&d^{2}a^{2}b&a^{3}b &da^{3}b&d^{2}a^{3}b \\ \hline
2&6&6&4&4&4&2&6&6&4&4&4 \\
\end{array} \]
位数とその個数
\[ \begin{array}{c|ccccccc}
位数 & 1 &2&3&4&6&8&12 \\ \hline
個数 & 1&3&2&12&6&0&0 \\
\end{array} \]

これは $Z_2 \times <2,2,3>$である。

これを計算機でやるには、「手入力」(ket4nec.bas) に次の初期値を入れ、（但し数字の意味は下表。）\\
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
0&1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11 \\ \hline
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\
12&13 &14&15&16&17&18&19&20&21&22&23 \\ \hline
b&db & d^{2}b &ab&dab&d^{2}ab&a^{2}b&da^{2}b&d^{2}a^{2}b&a^{3}b &da^{3}b&d^{2}a^{3}b \\
\end{array} \]
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
\end{verbatim}
\begin{math}
ここで、
3 \circ 1 には5 を入れ(\because ad=d^{2}a)、 3 \circ 3 には6 を入れ(\because aa=a^{2})、
3 \circ 6 には9 を入れ(\because aa^{2}=a^{3}) 等々、\\
また、12 \circ 1 には13を入れ(\because bd=db) 、12 \circ 3 には15 を入れ(\because ba=ab)
等々とすれば、\\
\end{math}

\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
3 5 4 6 8 7 9 11 10 0 2 1 15 17 16 18 20 19 21 23 22 12 14 13
4 3 5 7 6 8 10 9 11 1 0 2 16 15 17 19 18 20 22 21 23 13 12 14
5 4 3 8 7 6 11 10 9 2 1 0 17 16 15 20 19 18 23 22 21 14 13 12
6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17
7 8 6 10 11 9 1 2 0 4 5 3 19 20 18 22 23 21 13 14 12 16 17 15
8 6 7 11 9 10 2 0 1 5 3 4 20 18 19 23 21 22 14 12 13 17 15 16
9 11 10 0 2 1 3 5 4 6 8 7 21 23 22 12 14 13 15 17 16 18 20 19
10 9 11 1 0 2 4 3 5 7 6 8 22 21 23 13 12 14 16 15 17 19 18 20
11 10 9 2 1 0 5 4 3 8 7 6 23 22 21 14 13 12 17 16 15 20 19 18
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21 1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9
14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22 2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10
15 17 16 18 20 19 21 23 22 12 14 13 3 5 4 6 8 7 9 11 10 0 2 1
16 15 17 19 18 20 22 21 23 13 12 14 4 3 5 7 6 8 10 9 11 1 0 2
17 16 15 20 19 18 23 22 21 14 13 12 5 4 3 8 7 6 11 10 9 2 1 0
18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5
19 20 18 22 23 21 13 14 12 16 17 15 7 8 6 10 11 9 1 2 0 4 5 3
20 18 19 23 21 22 14 12 13 17 15 16 8 6 7 11 9 10 2 0 1 5 3 4
21 23 22 12 14 13 15 17 16 18 20 19 9 11 10 0 2 1 3 5 4 6 8 7
22 21 23 13 12 14 16 15 17 19 18 20 10 9 11 1 0 2 4 3 5 7 6 8
23 22 21 14 13 12 17 16 15 20 19 18 11 10 9 2 1 0 5 4 3 8 7 6
が出て来る。これを「位数」(isuu3.bas) にかけると、
6 7 2 6 1 8 -9
6 8 1 6 2 7 -9
6 13 2 12 1 14 -9
6 14 1 12 2 13 -9
6 19 2 18 1 20 -9
6 20 1 18 2 19 -9
4 3 6 9 -9
4 4 6 10 -9
4 5 6 11 -9
4 9 6 3 -9
4 10 6 4 -9
4 11 6 5 -9
4 15 6 21 -9
4 16 6 22 -9
4 17 6 23 -9
4 21 6 15 -9
4 22 6 16 -9
4 23 6 17 -9
3 1 2 -9
3 2 1 -9
2 6 -9
2 12 -9
2 18 -9
手計算で求めた位数表が下記の通り出て来る。
2 3 -9
3 2 -9
4 12 -9
6 6 -9
\end{verbatim}

\subsection{(2,2,2)が(3)に作用}\label{(2,2,2)が(3)に作用}

\begin{math}
2-3~~の場合、即ち、（2,2,2）が(3)に作用している場合。\\
(3)=\{e,d,d^{2}\} \\
(2,2,2)=\{e,a,b,ab,c,ac,bc,abc\}\\
a^{2}=e,~~ b^{2}=e~~c^{2}=e \\
Aut を表現するために、ここで、d を1、d^{2} を2 で表す。\\
a を、Aut(3) の中の位数2の元、(1,2)に対応させる。即ち、\\
a により、d は d^{2} に行く、\\
b を、Aut(3) の中の位数1の元、(1)に対応させる。即ち、\\
b により、d は d に行く、\\
c を、Aut(3) の中の位数1の元、(1)に対応させる。即ち、\\
c により、d は d に行く、\\
（2-3の場合はこれしかない。他の場合、例えば、a により、d は d^{2} に\\
行き、b により、d は d^{2} に行き、c により、d は dに行く場合\\
も上と同型となる。）\\
a^{-1}da=d^{2}\\
b^{-1}db=d\\
c^{-1}dc=d\\
元は次の24個。\\
e, \, d, \, d^{2}, \, a, \, da, \, da^{2}, \, b, \, db, d^{2}b\\
ab,\, dab,\,d^{2}ab,\,c,\,dc,\,d^{2}c,\,ac,\,dac,d^{2}ac,\\
bc,\, dbc,\,d^{2}bc,\,abc,\,dabc,\,d^{2}abc,\\
\\
それぞれの位数を求める。\\
e からa までは既知。\\
\\
5. \ da の位数を求める。\\
(da)^{2}=d(ad)a=d(d^{2}a)a=a^{2}=e\\
故に da の位数は2\\
\\
6.\ d^{2}a の位数を求める。\\
(d^{2}a)^{2}=d^{2}(ad^{2})a=d^{2}(da)a=a^{2}=e\\
故に d^{2}a の位数は2\\
\\
8. \ db の位数を求める。\\
(db)^{2}=d^{2}b^{2}=d^{2}\\
(da^{2})^{6}=e
故に　db の位数は6\\
\\
11. \ dab の位数を求める。\\
(dab)^{2}=dabdab=db(ad)ab=db(d^{2}a)ab=d^{3}abab=e\\
故に　dab の位数は2\\
\end{math}
\\
以下同様の計算を行って、次の位数表を得る。
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&b&db&d^{2}b&ab &dab&d^{2}ab \\
1&3 &3&2&2&2&2&6&6&2&2&2 \\ \hline
c&dc & d^{2}c &ac&dac&d^{2}ac&bc&dbc&d^{2}bc&abc &dabc&d^{2}abc \\
2&6&6&2&2&2&2&6&6&2&2&2 \\ \hline
\end{array} \]
位数とその個数
\[ \begin{array}{c|ccccccc}
位数&1 & 2&3&4&6&8&12 \\ \hline
個数& 1&15&2&0&6&0&0 \\
\end{array} \]

これは $Z_2 \times D_6$である。

これを計算機でやるには、「手入力」(ket4nec.bas) に次の初期値を入れ、（但し数字の意味は下表。）\\
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
0&1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11 \\ \hline
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&b&db&d^{2}b&ab &dab&d^{2}ab \\
12&13 &14&15&16&17&18&19&20&21&22&23 \\ \hline
c&dc & d^{2}c &ac&dac&d^{2}ac&bc&dbc&d^{2}bc&abc &dabc&d^{2}abc \\
\end{array} \]
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
\end{verbatim}
\begin{math}
ここで、
3 \circ 1 には5 を入れ(\because ad=d^{2}a)、 3 \circ 3 には0 を入れ(\because aa=e)、
3 \circ 6 には9 を入れ(\because ab=ab) 等々、\\
6 \circ 1 には7 を入れ(\because bd=db) 6 \circ 3 には9 を入れ(\because ba=ab)、
6 \circ 6 には0 を入れ(\because bb=e) 等々、\\
また、12 \circ 1 には13を入れ(\because cd=dc) 、12 \circ 3 には15 を入れ(\because ca=ac)
等々とすれば、\\
\end{math}

\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
3 5 4 0 2 1 9 11 10 6 8 7 15 17 16 12 14 13 21 23 22 18 20 19
4 3 5 1 0 2 10 9 11 7 6 8 16 15 17 13 12 14 22 21 23 19 18 20
5 4 3 2 1 0 11 10 9 8 7 6 17 16 15 14 13 12 23 22 21 20 19 18
6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17
7 8 6 10 11 9 1 2 0 4 5 3 19 20 18 22 23 21 13 14 12 16 17 15
8 6 7 11 9 10 2 0 1 5 3 4 20 18 19 23 21 22 14 12 13 17 15 16
9 11 10 6 8 7 3 5 4 0 2 1 21 23 22 18 20 19 15 17 16 12 14 13
10 9 11 7 6 8 4 3 5 1 0 2 22 21 23 19 18 20 16 15 17 13 12 14
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21 1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9
14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22 2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10
15 17 16 12 14 13 21 23 22 18 20 19 3 5 4 0 2 1 9 11 10 6 8 7
16 15 17 13 12 14 22 21 23 19 18 20 4 3 5 1 0 2 10 9 11 7 6 8
17 16 15 14 13 12 23 22 21 20 19 18 5 4 3 2 1 0 11 10 9 8 7 6
18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5
19 20 18 22 23 21 13 14 12 16 17 15 7 8 6 10 11 9 1 2 0 4 5 3
20 18 19 23 21 22 14 12 13 17 15 16 8 6 7 11 9 10 2 0 1 5 3 4
21 23 22 18 20 19 15 17 16 12 14 13 9 11 10 6 8 7 3 5 4 0 2 1
22 21 23 19 18 20 16 15 17 13 12 14 10 9 11 7 6 8 4 3 5 1 0 2
23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
が出て来る。これを「位数」(isuu3.bas) にかけると、
6 7 2 6 1 8 -9
6 8 1 6 2 7 -9
6 13 2 12 1 14 -9
6 14 1 12 2 13 -9
6 19 2 18 1 20 -9
6 20 1 18 2 19 -9
3 1 2 -9
3 2 1 -9
2 3 -9
2 4 -9
2 5 -9
2 6 -9
2 9 -9
2 10 -9
2 11 -9
2 12 -9
2 15 -9
2 16 -9
2 17 -9
2 18 -9
2 21 -9
2 22 -9
2 23 -9
手計算で求めた位数表が下記の通り出て来る。
2 15 -9
3 2 -9
6 6 -9
\end{verbatim}

\subsection{$D_4$が(3)に作用の1}\label{$D_4$が(3)に作用の1}

\begin{math}
2-4-1~~の場合、即ち、D_4が(3)に作用している場合。\\
(3)=\{e,d,d^{2}\} \\
D_4=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b\}\\
a^{4}=e\\
b^{2}=e\\
b^{-1}ab=a^{3}\\
Aut を表現するために、ここで、d を1、d^{2} を2 で表す。\\
a を、Aut(3) の中の位数1の元、(1)に対応させる。即ち、\\
a により、d は d に行く、\\
b を、Aut(3) の中の位数2の元、(1,2)に対応させる。即ち、\\
b により、d は d^{2} に行く、\\
（2-4の場合はこれ以外にもう２つ場合がある。2-4-2,2-4-3を参照。）\\
a^{-1}da=d\\
b^{-1}db=d^{2}\\
元は次の24個。\\
e, \, d, \, d^{2}, \, a, \, da, \, da^{2}, \, a^{2}, \, da^{2}, d^{2}a^{2}\\
a^{3},\, da^{3},\,d^{2}a^{3},\,b,\,db,\,d^{2}b,\,ab,\,dab,d^{2}ab,\\
a^{2}b,\, da^{2}b,\,d^{2}a^{2}b,\,a^{3}b,\,da^{3}b,\,d^{2}a^{3}b,\\
\\
それぞれの位数を求める。\\
e からa までは既知。\\
\\
5. \ da の位数を求める。\\
(da)^{2}=d^{2}a^{2}\\
(da)^{3}=d^{3}a^{3}=a^{3}\\
(da)^{12}=e\\
故に da の位数は12\\
\\
6.\ d^{2}a の位数を求める。\\
(d^{2}a)^{2}=d^{4}a^{2}=e\\
(d^{2}a)^{3}=a^{3}\\
(d^{2}a)^{12}=e
故に d^{2}a の位数は12\\
\\
8. \ da^{2} の位数を求める。\\
(da^{2})^{2}=d^{2}\\
(da^{2})^{6}=e
故に　da^{2} の位数は6\\
\\
11. \ da^{3} の位数を求める。\\
(da^{3})^{2}=d^{2}a{2}\\
(da^{3})^{3}=a\\
(da^{3})^{12}=e
故に　da^{3} の位数は12\\
\\
14. \ db の位数を求める。\\
(db)^{2}=d(bd)b=d(d^{2}b)b=b^{2}=e\\
故に　db の位数は2\\
\\
15. \ d^{2}b の位数を求める。\\
(d^{2}b)^{2}=d^{2}(bd^{2})b=d^{2}(db)b=e\\
故に　d^{2}b の位数は2\\
\\
20. \ da^{2}b の位数を求める。\\
(da^{2}b)^{2}=da^{2}(bd)a^{2}b=da^{2}(d^{2}b)a^{2}b=a^{2}ba^{2}b=e\\
故に　da^{2}b の位数は2\\
\end{math}
\\

以下同様の計算を行って、次の位数表を得る。
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\
1&3 &3&4&12&12&2&6&6&4&12&12 \\ \hline
b&db & d^{2}b &ab&dab&d^{2}ab&a^{2}b&da^{2}b&d^{2}a^{2}b&a^{3}b &da^{3}b&d^{2}a^{3}b \\
2&2 &2&2&2&2&2&2&2&2&2&2 \\
\end{array} \]
位数とその個数
\[ \begin{array}{c|ccccccc}
位数&1&2&3&4&6&8&12 \\ \hline
個数& 1&13&2&2&2&0&4
\end{array} \]

これは $D_{12}$である。\\

これを計算機でやるには、「手入力」(ket4nec.bas) に次の初期値を入れ、（但し数字の意味は下表。）\\
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
0&1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11 \\ \hline
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\
12&13 &14&15&16&17&18&19&20&21&22&23 \\ \hline
b&db & d^{2}b &ab&dab&d^{2}ab&a^{2}b&da^{2}b&d^{2}a^{2}b&a^{3}b &da^{3}b&d^{2}a^{3}b \\
\end{array} \]
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
\end{verbatim}
\begin{math}
ここで、
3 \circ 1 には4 を入れ(\because ad=da)、 3 \circ 3 には6 を入れ(\because aa=a^{2})、
3 \circ 6 には9 を入れ(\because aa^{2}=a^{3}) 等々、\\
また、12 \circ 1 には14を入れ(\because bd=d^{2}b) 、12 \circ 3 には21 を入れ(\because ba=a^{3}b)
等々12 \circ 12 には0を入れ(\because bb=e) 等々とすれば、\\
\end{math}

\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12 13 14
4 5 3 7 8 6 10 11 9 1 2 0 16 17 15 19 20 18 22 23 21 13 14 12
5 3 4 8 6 7 11 9 10 2 0 1 17 15 16 20 18 19 23 21 22 14 12 13
6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17
7 8 6 10 11 9 1 2 0 4 5 3 19 20 18 22 23 21 13 14 12 16 17 15
8 6 7 11 9 10 2 0 1 5 3 4 20 18 19 23 21 22 14 12 13 17 15 16
9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 21 22 23 12 13 14 15 16 17 18 19 20
10 11 9 1 2 0 4 5 3 7 8 6 22 23 21 13 14 12 16 17 15 19 20 18
11 9 10 2 0 1 5 3 4 8 6 7 23 21 22 14 12 13 17 15 16 20 18 19
12 14 13 21 23 22 18 20 19 15 17 16 0 2 1 9 11 10 6 8 7 3 5 4
13 12 14 22 21 23 19 18 20 16 15 17 1 0 2 10 9 11 7 6 8 4 3 5
14 13 12 23 22 21 20 19 18 17 16 15 2 1 0 11 10 9 8 7 6 5 4 3
15 17 16 12 14 13 21 23 22 18 20 19 3 5 4 0 2 1 9 11 10 6 8 7
16 15 17 13 12 14 22 21 23 19 18 20 4 3 5 1 0 2 10 9 11 7 6 8
17 16 15 14 13 12 23 22 21 20 19 18 5 4 3 2 1 0 11 10 9 8 7 6
18 20 19 15 17 16 12 14 13 21 23 22 6 8 7 3 5 4 0 2 1 9 11 10
19 18 20 16 15 17 13 12 14 22 21 23 7 6 8 4 3 5 1 0 2 10 9 11
20 19 18 17 16 15 14 13 12 23 22 21 8 7 6 5 4 3 2 1 0 11 10 9
21 23 22 18 20 19 15 17 16 12 14 13 9 11 10 6 8 7 3 5 4 0 2 1
22 21 23 19 18 20 16 15 17 13 12 14 10 9 11 7 6 8 4 3 5 1 0 2
23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
が出て来る。これを「位数」(isuu3.bas) にかけると、
12 4 8 9 1 5 6 10 2 3 7 11 -9
12 5 7 9 2 4 6 11 1 3 8 10 -9
12 10 8 3 1 11 6 4 2 9 7 5 -9
12 11 7 3 2 10 6 5 1 9 8 4 -9
6 7 2 6 1 8 -9
6 8 1 6 2 7 -9
4 3 6 9 -9
4 9 6 3 -9
3 1 2 -9
3 2 1 -9
2 6 -9
2 12 -9
2 13 -9
2 14 -9
2 15 -9
2 16 -9
2 17 -9
2 18 -9
2 19 -9
2 20 -9
2 21 -9
2 22 -9
2 23 -9
手計算で求めた位数表が下記の通り出て来る。
2 13 -9
3 2 -9
4 2 -9
6 2 -9
12 4 -9
\end{verbatim}

\subsection{$D_4$が(3)に作用の2}\label{$D_4$が(3)に作用の2}

\begin{math}
2-4-2~~の場合、即ち、D_4が(3)に作用している場合。\\
(3)=\{e,d,d^{2}\} \\
D_4=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b\}\\
a^{4}=e\\
b^{2}=e\\
b^{-1}ab=a^{3}\\
Aut を表現するために、ここで、d を1、d^{2} を2 で表す。\\
a を、Aut(3) の中の位数2の元、(1,2)に対応させる。即ち、\\
a により、d は d^{2} に行く、\\
b を、Aut(3) の中の位数1の元、(1)に対応させる。即ち、\\
b により、d は d に行く、\\
（2-4の場合はこれ以外にもう２つ場合がある。2-4-1,2-4-3を参照。）\\
a^{-1}da=d^{2}\\
b^{-1}db=d\\
元は次の24個。\\
e, \, d, \, d^{2}, \, a, \, da, \, da^{2}, \, a^{2}, \, da^{2}, d^{2}a^{2}\\
a^{3},\, da^{3},\,d^{2}a^{3},\,b,\,db,\,d^{2}b,\,ab,\,dab,d^{2}ab,\\
a^{2}b,\, da^{2}b,\,d^{2}a^{2}b,\,a^{3}b,\,da^{3}b,\,d^{2}a^{3}b,\\
\\
それぞれの位数を求める。\\
e からa までは既知。\\
\\
5. \ da の位数を求める。\\
(da)^{2}=d(ad)a=d(d^{2}a)a=a^{2}\\
(da)^{4}=a^{4}=e\\
故に da の位数は4\\
\\
6.\ d^{2}a の位数を求める。\\
(d^{2}a)^{2}=d^{2}(ad^{2})ad^{2}(da)a=a^{2}\\
(d^{2}a)^{4}=e\\
故に d^{2}a の位数は4\\
\\
8. \ da^{2} の位数を求める。\\
(da^{2})^{2}=d(a^{2}d)a^{2}=d(da^{2})a^{2}=d^{2}\\
(da^{2})^{6}=e
故に　da^{2} の位数は6\\
\\
11. \ da^{3} の位数を求める。\\
(da^{3})^{2}=d(a^{3}d)a^{3}=d(d{2}a^{3})a^{3}=a^{2}\\
(da^{3})^{4}=a^{4}=e\\
故に　da^{3} の位数は4\\
\\
14. \ db の位数を求める。\\
(db)^{2}=d^{2}b^{2}=d^{2}\\
(db)^{6}=e
故に　db の位数は6\\
\\
17. \ dab の位数を求める。\\
(dab)^{2}=da(bd)ab=da(db)ab=d(ad)(ba)b=d(d^{2}a)(a^{3}b)b=e\\
故に　dab の位数は2\\
\\
20. \ da^{2}b の位数を求める。\\
(da^{2}b)^{2}=da^{2}(bd)a^{2}b=da^{2}(db)a^{2}b=dda^{2}ba^{2}b=d^{2}\\
(da^{2}b)^{6}=e
故に　da^{2}b の位数は6\\
\\
23. \ da^{3}b の位数を求める。\\
(da^{3}b)^{2}=da^{3}(bd)a^{3}b=da^{3}(db)a^{3}b=dd^{2}a^{3}ba^{3}b\\
=a^{3}abb=e\\
故に　da^{3}b の位数は2\\
\end{math}
\\

以下同様の計算を行って、次の位数表を得る。
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\
1&3 &3&4&4&4&2&6&6&4&4&4 \\ \hline
b&db & d^{2}b &ab&dab&d^{2}ab&a^{2}b&da^{2}b&d^{2}a^{2}b&a^{3}b &da^{3}b&d^{2}a^{3}b \\
2&6 &6&2&2&2&2&6&6&2&2&2 \\ \hline
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccccccc}
位数&1 &2&3&4&6&8&12 \\ \hline
個数&1&9&2&6&6&0&0
\end{array} \]

これは $(4,6|2,2)$である。

これを計算機でやるには、「手入力」(ket4nec.bas) に次の初期値を入れ、（但し数字の意味は下表。）\\
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
0&1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11 \\ \hline
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\
12&13 &14&15&16&17&18&19&20&21&22&23 \\ \hline
b&db & d^{2}b &ab&dab&d^{2}ab&a^{2}b&da^{2}b&d^{2}a^{2}b&a^{3}b &da^{3}b&d^{2}a^{3}b \\
\end{array} \]
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
\end{verbatim}
\begin{math}
ここで、
3 \circ 1 には5 を入れ(\because ad=d^{2}a)、 3 \circ 3 には6 を入れ(\because aa=a^{2})、
3 \circ 6 には9 を入れ(\because aa^{2}=a^{3}) 等々、\\
また、12 \circ 1 には13を入れ(\because bd=db) 、12 \circ 3 には21 を入れ(\because ba=a^{3}b)
等々12 \circ 12 には0を入れ(\because bb=e) 等々とすれば、\\
\end{math}

\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
3 5 4 6 8 7 9 11 10 0 2 1 15 17 16 18 20 19 21 23 22 12 14 13
4 3 5 7 6 8 10 9 11 1 0 2 16 15 17 19 18 20 22 21 23 13 12 14
5 4 3 8 7 6 11 10 9 2 1 0 17 16 15 20 19 18 23 22 21 14 13 12
6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17
7 8 6 10 11 9 1 2 0 4 5 3 19 20 18 22 23 21 13 14 12 16 17 15
8 6 7 11 9 10 2 0 1 5 3 4 20 18 19 23 21 22 14 12 13 17 15 16
9 11 10 0 2 1 3 5 4 6 8 7 21 23 22 12 14 13 15 17 16 18 20 19
10 9 11 1 0 2 4 3 5 7 6 8 22 21 23 13 12 14 16 15 17 19 18 20
11 10 9 2 1 0 5 4 3 8 7 6 23 22 21 14 13 12 17 16 15 20 19 18
12 13 14 21 22 23 18 19 20 15 16 17 0 1 2 9 10 11 6 7 8 3 4 5
13 14 12 22 23 21 19 20 18 16 17 15 1 2 0 10 11 9 7 8 6 4 5 3
14 12 13 23 21 22 20 18 19 17 15 16 2 0 1 11 9 10 8 6 7 5 3 4
15 17 16 12 14 13 21 23 22 18 20 19 3 5 4 0 2 1 9 11 10 6 8 7
16 15 17 13 12 14 22 21 23 19 18 20 4 3 5 1 0 2 10 9 11 7 6 8
17 16 15 14 13 12 23 22 21 20 19 18 5 4 3 2 1 0 11 10 9 8 7 6
18 19 20 15 16 17 12 13 14 21 22 23 6 7 8 3 4 5 0 1 2 9 10 11
19 20 18 16 17 15 13 14 12 22 23 21 7 8 6 4 5 3 1 2 0 10 11 9
20 18 19 17 15 16 14 12 13 23 21 22 8 6 7 5 3 4 2 0 1 11 9 10
21 23 22 18 20 19 15 17 16 12 14 13 9 11 10 6 8 7 3 5 4 0 2 1
22 21 23 19 18 20 16 15 17 13 12 14 10 9 11 7 6 8 4 3 5 1 0 2
23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
が出て来る。これを「位数」(isuu3.bas) にかけると、
6 7 2 6 1 8 -9
6 8 1 6 2 7 -9
6 13 2 12 1 14 -9
6 14 1 12 2 13 -9
6 19 2 18 1 20 -9
6 20 1 18 2 19 -9
4 3 6 9 -9
4 4 6 10 -9
4 5 6 11 -9
4 9 6 3 -9
4 10 6 4 -9
4 11 6 5 -9
3 1 2 -9
3 2 1 -9
2 6 -9
2 12 -9
2 15 -9
2 16 -9
2 17 -9
2 18 -9
2 21 -9
2 22 -9
2 23 -9
手計算で求めた位数表が下記の通り出て来る。
2 9 -9
3 2 -9
4 6 -9
6 6 -9
\end{verbatim}

\subsection{$D_4$が(3)に作用の3}\label{$D_4$が(3)に作用の3}

\begin{math}
2-4-3~~の場合、即ち、D_4が(3)に作用している場合。\\
(3)=\{e,d,d^{2}\} \\
D_4=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b\}\\
a^{4}=e\\
b^{2}=e\\
b^{-1}ab=a^{3}\\
Aut を表現するために、ここで、d を1、d^{2} を2 で表す。\\
a を、Aut(3) の中の位数1の元、(1)に対応させる。即ち、\\
a により、d は d に行く、\\
b を、Aut(3) の中の位数1の元、(1)に対応させる。即ち、\\
b により、d は d に行く場合。\\
（2-4の場合はこれ以外にもう２つ場合がある。2-4-1,2-4-2を参照。）\\
a^{-1}da=d\\
b^{-1}db=d\\
元は次の24個。\\
e, \, d, \, d^{2}, \, a, \, da, \, da^{2}, \, a^{2}, \, da^{2}, d^{2}a^{2}\\
a^{3},\, da^{3},\,d^{2}a^{3},\,b,\,db,\,d^{2}b,\,ab,\,dab,d^{2}ab,\\
a^{2}b,\, da^{2}b,\,d^{2}a^{2}b,\,a^{3}b,\,da^{3}b,\,d^{2}a^{3}b,\\
\\
それぞれの位数を求める。\\
e からa までは既知。\\
\\
5. \ da の位数を求める。\\
(da)^{3}=a^{3}\\
(da)^{12}=a^{12}=e\\
故に da の位数は12\\
\\
8. \ da^{2} の位数を求める。\\
(da^{2})^{2}=d^{2}\\
(da^{2})^{6}=e
故に　da^{2} の位数は6\\
\end{math}
\\
以下同様の計算を行って、次の位数表を得る。
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\
1&3 &3&4&12&12&2&6&6&4&12&12 \\ \hline
b&db & d^{2}b &ab&dab&d^{2}ab&a^{2}b&da^{2}b&d^{2}a^{2}b&a^{3}b &da^{3}b&d^{2}a^{3}b \\
2&6&6&2&6&6&2&6&6&2&6&6 \\ \hline
\end{array} \]
位数とその個数
\[ \begin{array}{c|ccccccc}
位数&1 &2&3&4&6&8&12 \\ \hline
個数&1&5&2&2&10&0&4
\end{array} \]
これは $Z_3 \times D_4$である。

これを計算機でやるには、「手入力」(ket4nec.bas) に次の初期値を入れ、（但し数字の意味は下表。）\\
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
0&1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11 \\ \hline
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\
12&13 &14&15&16&17&18&19&20&21&22&23 \\ \hline
b&db & d^{2}b &ab&dab&d^{2}ab&a^{2}b&da^{2}b&d^{2}a^{2}b&a^{3}b &da^{3}b&d^{2}a^{3}b \\
\end{array} \]
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
\end{verbatim}
\begin{math}
ここで、
3 \circ 1 には4 を入れ(\because ad=da)、 3 \circ 3 には6 を入れ(\because aa=a^{2})、
3 \circ 6 には9 を入れ(\because aa^{2}=a^{3}) 等々、\\
また、12 \circ 1 には13を入れ(\because bd=db) 、12 \circ 3 には21 を入れ(\because ba=a^{3}b)、
等々12 \circ 12 には0を入れ(\because bb=e) 等々とすれば、\\
\end{math}

\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12 13 14
4 5 3 7 8 6 10 11 9 1 2 0 16 17 15 19 20 18 22 23 21 13 14 12
5 3 4 8 6 7 11 9 10 2 0 1 17 15 16 20 18 19 23 21 22 14 12 13
6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17
7 8 6 10 11 9 1 2 0 4 5 3 19 20 18 22 23 21 13 14 12 16 17 15
8 6 7 11 9 10 2 0 1 5 3 4 20 18 19 23 21 22 14 12 13 17 15 16
9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 21 22 23 12 13 14 15 16 17 18 19 20
10 11 9 1 2 0 4 5 3 7 8 6 22 23 21 13 14 12 16 17 15 19 20 18
11 9 10 2 0 1 5 3 4 8 6 7 23 21 22 14 12 13 17 15 16 20 18 19
12 13 14 21 22 23 18 19 20 15 16 17 0 1 2 9 10 11 6 7 8 3 4 5
13 14 12 22 23 21 19 20 18 16 17 15 1 2 0 10 11 9 7 8 6 4 5 3
14 12 13 23 21 22 20 18 19 17 15 16 2 0 1 11 9 10 8 6 7 5 3 4
15 16 17 12 13 14 21 22 23 18 19 20 3 4 5 0 1 2 9 10 11 6 7 8
16 17 15 13 14 12 22 23 21 19 20 18 4 5 3 1 2 0 10 11 9 7 8 6
17 15 16 14 12 13 23 21 22 20 18 19 5 3 4 2 0 1 11 9 10 8 6 7
18 19 20 15 16 17 12 13 14 21 22 23 6 7 8 3 4 5 0 1 2 9 10 11
19 20 18 16 17 15 13 14 12 22 23 21 7 8 6 4 5 3 1 2 0 10 11 9
20 18 19 17 15 16 14 12 13 23 21 22 8 6 7 5 3 4 2 0 1 11 9 10
21 22 23 18 19 20 15 16 17 12 13 14 9 10 11 6 7 8 3 4 5 0 1 2
22 23 21 19 20 18 16 17 15 13 14 12 10 11 9 7 8 6 4 5 3 1 2 0
23 21 22 20 18 19 17 15 16 14 12 13 11 9 10 8 6 7 5 3 4 2 0 1
が出て来る。これを「位数」(isuu3.bas) にかけると、
12 4 8 9 1 5 6 10 2 3 7 11 -9
12 5 7 9 2 4 6 11 1 3 8 10 -9
12 10 8 3 1 11 6 4 2 9 7 5 -9
12 11 7 3 2 10 6 5 1 9 8 4 -9
6 7 2 6 1 8 -9
6 8 1 6 2 7 -9
6 13 2 12 1 14 -9
6 14 1 12 2 13 -9
6 16 2 15 1 17 -9
6 17 1 15 2 16 -9
6 19 2 18 1 20 -9
6 20 1 18 2 19 -9
6 22 2 21 1 23 -9
6 23 1 21 2 22 -9
4 3 6 9 -9
4 9 6 3 -9
3 1 2 -9
3 2 1 -9
2 6 -9
2 12 -9
2 15 -9
2 18 -9
2 21 -9
手計算で求めた位数表が下記の通り出て来る。
2 5 -9
3 2 -9
4 2 -9
6 10 -9
12 4 -9
\end{verbatim}

\subsection{Qが(3)に作用の1}\label{Qが(3)に作用の1}

\begin{math}
2-5-1~~の場合、即ち、Qが(3)に作用している場合。\\
(3)=\{e,d,d^{2}\} \\
Q=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b\}\\
a^{4}=e\\
b^{2}=a^{2}\\
b^{-1}ab=a^{3}\\
Aut を表現するために、ここで、d を1、d^{2} を2 で表す。\\
a を、Aut(3) の中の位数1の元、(1)に対応させる。即ち、\\
a により、d は d に行く、\\
b を、Aut(3) の中の位数2の元、(1,2)に対応させる。即ち、\\
b により、d は d^{2} に行く、\\
（2-5の場合はこれ以外にもう1つ場合がある。2-5-2 を参照。）\\
a^{-1}da=d\\
b^{-1}db=d^{2}\\
元は次の24個。\\
e, \, d, \, d^{2}, \, a, \, da, \, da^{2}, \, a^{2}, \, da^{2}, d^{2}a^{2}\\
a^{3},\, da^{3},\,d^{2}a^{3},\,b,\,db,\,d^{2}b,\,ab,\,dab,d^{2}ab,\\
a^{2}b,\, da^{2}b,\,d^{2}a^{2}b,\,a^{3}b,\,da^{3}b,\,d^{2}a^{3}b,\\
\\
それぞれの位数を求める。\\
e からa までは既知。\\
\\
5. \ da の位数を求める。\\
(da)^{3}=a^{3}\\
(da)^{12}=e\\
故に da の位数は12\\
\\
6.\ d^{2}a の位数を求める。\\
(d^{2}a)^{3}=a^{2}\\
(d^{2}a)^{12}=e\\
故に d^{2}a の位数は12\\
\\
8. \ da^{2} の位数を求める。\\
(da^{2})^{2}=d^{2}a^{4}=d^{2}\\
(da^{2})^{6}=e
故に　da^{2} の位数は6\\
\\
11. \ da^{3} の位数を求める。\\
(da^{3})^{3}=a\\
(da^{3})^{12}=e\\
故に　da^{3} の位数は12\\
\\
14. \ db の位数を求める。\\
(db)^{2}=d(bd)b=d(d^{2}b)b=b^{2}\\
(db)^{4}=e
故に　db の位数は4\\
\\
17. \ dab の位数を求める。\\
(dab)^{2}=da(bd)ab=da(d^{2}b)ab=a(ba)b=a(a^{3}b)b=b^{2}\\
(dab)^{4}=e
故に　dab の位数は4\\
\\
20. \ da^{2}b の位数を求める。\\
(da^{2}b)^{2}=da^{2}(bd)a^{2}b=da^{2}(d^{2}b)a^{2}b=b^{2}\\
(da^{2}b)^{4}=e
故に　da^{2}b の位数は4\\
\\
23. \ da^{3}b の位数を求める。\\
(da^{3}b)^{2}=da^{3}(bd)a^{3}b=da^{3}(d^{2}b)a^{3}b=dd^{2}a^{3}ba^{3}b\\
=a^{3}abb=b^{2}\\
(da^{3}b)^{4}=e
故に　da^{3}b の位数は4\\
\end{math}
\\

以下同様の計算を行って、次の位数表を得る。
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\
1&3 &3&4&12&12&2&6&6&4&12&12 \\ \hline
b&db & d^{2}b &ab&dab&d^{2}ab&a^{2}b&da^{2}b&d^{2}a^{2}b&a^{3}b &da^{3}b&d^{2}a^{3}b \\
4&4&4&4&4&4&4&4&4&4&4&4 \\ \hline
\end{array} \]
位数とその個数
\[ \begin{array}{c|ccccccc}
位数&1&2&3&4&6&8&12 \\ \hline
個数&1&1&2&14&2&0&4
\end{array} \]

これは $<2,2,6>$である。

これを計算機でやるには、「手入力」(ket4nec.bas) に次の初期値を入れ、（但し数字の意味は下表。）\\
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
0&1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11 \\ \hline
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\
12&13 &14&15&16&17&18&19&20&21&22&23 \\ \hline
b&db & d^{2}b &ab&dab&d^{2}ab&a^{2}b&da^{2}b&d^{2}a^{2}b&a^{3}b &da^{3}b&d^{2}a^{3}b \\
\end{array} \]
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
\end{verbatim}
\begin{math}
ここで、
3 \circ 1 には4 を入れ(\because ad=da)、 3 \circ 3 には6 を入れ(\because aa=a^{2})、
3 \circ 6 には9 を入れ(\because aa^{2}=a^{3}) 等々、\\
また、12 \circ 1 には13を入れ(\because bd=db) 、12 \circ 3 には21 を入れ(\because ba=a^{3}b)、
等々12 \circ 12 には0を入れ(\because bb=e) 等々とすれば、\\
\end{math}

\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12 13 14
4 5 3 7 8 6 10 11 9 1 2 0 16 17 15 19 20 18 22 23 21 13 14 12
5 3 4 8 6 7 11 9 10 2 0 1 17 15 16 20 18 19 23 21 22 14 12 13
6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17
7 8 6 10 11 9 1 2 0 4 5 3 19 20 18 22 23 21 13 14 12 16 17 15
8 6 7 11 9 10 2 0 1 5 3 4 20 18 19 23 21 22 14 12 13 17 15 16
9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 21 22 23 12 13 14 15 16 17 18 19 20
10 11 9 1 2 0 4 5 3 7 8 6 22 23 21 13 14 12 16 17 15 19 20 18
11 9 10 2 0 1 5 3 4 8 6 7 23 21 22 14 12 13 17 15 16 20 18 19
12 14 13 21 23 22 18 20 19 15 17 16 6 8 7 3 5 4 0 2 1 9 11 10
13 12 14 22 21 23 19 18 20 16 15 17 7 6 8 4 3 5 1 0 2 10 9 11
14 13 12 23 22 21 20 19 18 17 16 15 8 7 6 5 4 3 2 1 0 11 10 9
15 17 16 12 14 13 21 23 22 18 20 19 9 11 10 6 8 7 3 5 4 0 2 1
16 15 17 13 12 14 22 21 23 19 18 20 10 9 11 7 6 8 4 3 5 1 0 2
17 16 15 14 13 12 23 22 21 20 19 18 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
18 20 19 15 17 16 12 14 13 21 23 22 0 2 1 9 11 10 6 8 7 3 5 4
19 18 20 16 15 17 13 12 14 22 21 23 1 0 2 10 9 11 7 6 8 4 3 5
20 19 18 17 16 15 14 13 12 23 22 21 2 1 0 11 10 9 8 7 6 5 4 3
21 23 22 18 20 19 15 17 16 12 14 13 3 5 4 0 2 1 9 11 10 6 8 7
22 21 23 19 18 20 16 15 17 13 12 14 4 3 5 1 0 2 10 9 11 7 6 8
23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 5 4 3 2 1 0 11 10 9 8 7 6
が出て来る。これを「位数」(isuu3.bas) にかけると、
12 4 8 9 1 5 6 10 2 3 7 11 -9
12 5 7 9 2 4 6 11 1 3 8 10 -9
12 10 8 3 1 11 6 4 2 9 7 5 -9
12 11 7 3 2 10 6 5 1 9 8 4 -9
6 7 2 6 1 8 -9
6 8 1 6 2 7 -9
4 3 6 9 -9
4 9 6 3 -9
4 12 6 18 -9
4 13 6 19 -9
4 14 6 20 -9
4 15 6 21 -9
4 16 6 22 -9
4 17 6 23 -9
4 18 6 12 -9
4 19 6 13 -9
4 20 6 14 -9
4 21 6 15 -9
4 22 6 16 -9
4 23 6 17 -9
3 1 2 -9
3 2 1 -9
2 6 -9
手計算で求めた位数表が下記の通り出て来る。
2 1 -9
3 2 -9
4 14 -9
6 2 -9
12 4 -9
\end{verbatim}

\subsection{Qが(3)に作用の2}\label{Qが(3)に作用の2}

\begin{math}
2-5-2~~の場合、即ち、Qが(3)に作用している場合。\\
(3)=\{e,d,d^{2}\} \\
Q=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b\}\\
a^{4}=e\\
b^{2}=a^{2}\\
b^{-1}ab=a^{3}\\
Aut を表現するために、ここで、d を1、d^{2} を2 で表す。\\
a を、Aut(3) の中の位数1の元、(1)に対応させる。即ち、\\
a により、d は d に行く、\\
b を、Aut(3) の中の位数1の元、(1)に対応させる。即ち、\\
b により、d は d に行く、\\
（2-5の場合はこれ以外にもう1つ場合がある。2-5-1 を参照。）\\
a^{-1}da=d\\
b^{-1}db=d\\
元は次の24個。\\
e, \, d, \, d^{2}, \, a, \, da, \, da^{2}, \, a^{2}, \, da^{2}, d^{2}a^{2}\\
a^{3},\, da^{3},\,d^{2}a^{3},\,b,\,db,\,d^{2}b,\,ab,\,dab,d^{2}ab,\\
a^{2}b,\, da^{2}b,\,d^{2}a^{2}b,\,a^{3}b,\,da^{3}b,\,d^{2}a^{3}b,\\
\\
それぞれの位数を求める。\\
e からa までは既知。\\
\\
5. \ da の位数を求める。\\
(da)^{3}=a^{3}\\
(da)^{12}=e\\
故に da の位数は12\\
\\
6.\ d^{2}a の位数を求める。\\
(d^{2}a)^{3}=a^{2}\\
(d^{2}a)^{12}=e\\
故に d^{2}a の位数は12\\
\\
8. \ da^{2} の位数を求める。\\
(da^{2})^{2}=d^{2}a^{4}=d^{2}\\
(da^{2})^{6}=e
故に　da^{2} の位数は6\\
\\
11. \ da^{3} の位数を求める。\\
(da^{3})^{3}=a\\
(da^{3})^{12}=e\\
故に　da^{3} の位数は12\\
\\
14. \ db の位数を求める。\\
(db)^{3}=b^{3}\\
(db)^{12}=e
故に　db の位数は12\\
\\
17. \ dab の位数を求める。\\
(dab)^{2}=da(bd)ab=da(db)ab=d^{2}a(ba)b=d^{2}a(a^{3}b)b=d^{2}b^{2}\\
(dab)^{3}=d^{2}(b^{2}d)ab=d^{2}db^{2}ab=a^{2}ab=a^{3}b\\
(dab)^{12}=e
故に　dab の位数は12\\
\\
20. \ da^{2}b の位数を求める。\\
(da^{2}b)^{2}=da^{2}(bd)a^{2}b=da^{2}(db)a^{2}b=d^{2}b^{2}\\
(da^{2}b)^{3}=d^{2}b^{2}da^{2}b=b
(da^{2}b)^{12}=e
故に　da^{2}b の位数は12\\
\\
23. \ da^{3}b の位数を求める。\\
(da^{3}b)^{2}=da^{3}(bd)a^{3}b=da^{3}(db)a^{3}b=d^{2}a^{3}ba^{3}b\\
=d^{2}a^{3}abb=d^{2}b^{2}\\
(da^{3}b)^{3}=d^{2}b^{2}da^{3}b=b\\
(da^{3}b)^{12}=e
故に　da^{3}b の位数は12\\
\end{math}
\\

以下同様の計算を行って、次の位数表を得る。
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\
1&3 &3&4&12&12&2&6&6&4&12&12 \\ \hline
b&db & d^{2}b &ab&dab&d^{2}ab&a^{2}b&da^{2}b&d^{2}a^{2}b&a^{3}b &da^{3}b&d^{2}a^{3}b \\
4&12 &12&4&12&12&4&12&12&4&12&12 \\ \hline
\end{array} \]
\[ \begin{array}{c|ccccccc}
位数&1&2&3&4&6&8&12 \\ \hline
個数&1&1&2&6&2&0&12
\end{array} \]
これは $Z_3 \times Q$である。

これを計算機でやるには、「手入力」(ket4nec.bas) に次の初期値を入れ、（但し数字の意味は下表。）\\
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
0&1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11 \\ \hline
e &d & d^{2} &a&da&d^{2}a&a^{2}&da^{2}&d^{2}a^{2}&a^{3} &da^{3}&d^{2}a^{3} \\
12&13 &14&15&16&17&18&19&20&21&22&23 \\ \hline
b&db & d^{2}b &ab&dab&d^{2}ab&a^{2}b&da^{2}b&d^{2}a^{2}b&a^{3}b &da^{3}b&d^{2}a^{3}b \\
\end{array} \]
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
\end{verbatim}
\begin{math}
ここで、
3 \circ 1 には4 を入れ(\because ad=da)、 3 \circ 3 には6 を入れ(\because aa=a^{2})、
3 \circ 6 には9 を入れ(\because aa^{2}=a^{3}) 等々、\\
また、12 \circ 1 には13を入れ(\because bd=db) 、12 \circ 3 には21 を入れ(\because ba=a^{3}b)
等々12 \circ 12 には6を入れ(\because bb=a^{2}) 等々とすれば、\\
\end{math}

\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22
3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12 13 14
4 5 3 7 8 6 10 11 9 1 2 0 16 17 15 19 20 18 22 23 21 13 14 12
5 3 4 8 6 7 11 9 10 2 0 1 17 15 16 20 18 19 23 21 22 14 12 13
6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17
7 8 6 10 11 9 1 2 0 4 5 3 19 20 18 22 23 21 13 14 12 16 17 15
8 6 7 11 9 10 2 0 1 5 3 4 20 18 19 23 21 22 14 12 13 17 15 16
9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 21 22 23 12 13 14 15 16 17 18 19 20
10 11 9 1 2 0 4 5 3 7 8 6 22 23 21 13 14 12 16 17 15 19 20 18
11 9 10 2 0 1 5 3 4 8 6 7 23 21 22 14 12 13 17 15 16 20 18 19
12 13 14 21 22 23 18 19 20 15 16 17 6 7 8 3 4 5 0 1 2 9 10 11
13 14 12 22 23 21 19 20 18 16 17 15 7 8 6 4 5 3 1 2 0 10 11 9
14 12 13 23 21 22 20 18 19 17 15 16 8 6 7 5 3 4 2 0 1 11 9 10
15 16 17 12 13 14 21 22 23 18 19 20 9 10 11 6 7 8 3 4 5 0 1 2
16 17 15 13 14 12 22 23 21 19 20 18 10 11 9 7 8 6 4 5 3 1 2 0
17 15 16 14 12 13 23 21 22 20 18 19 11 9 10 8 6 7 5 3 4 2 0 1
18 19 20 15 16 17 12 13 14 21 22 23 0 1 2 9 10 11 6 7 8 3 4 5
19 20 18 16 17 15 13 14 12 22 23 21 1 2 0 10 11 9 7 8 6 4 5 3
20 18 19 17 15 16 14 12 13 23 21 22 2 0 1 11 9 10 8 6 7 5 3 4
21 22 23 18 19 20 15 16 17 12 13 14 3 4 5 0 1 2 9 10 11 6 7 8
22 23 21 19 20 18 16 17 15 13 14 12 4 5 3 1 2 0 10 11 9 7 8 6
23 21 22 20 18 19 17 15 16 14 12 13 5 3 4 2 0 1 11 9 10 8 6 7
が出て来る。これを「位数」(isuu3.bas) にかけると、
12 4 8 9 1 5 6 10 2 3 7 11 -9
12 5 7 9 2 4 6 11 1 3 8 10 -9
12 10 8 3 1 11 6 4 2 9 7 5 -9
12 11 7 3 2 10 6 5 1 9 8 4 -9
12 13 8 18 1 14 6 19 2 12 7 20 -9
12 14 7 18 2 13 6 20 1 12 8 19 -9
12 16 8 21 1 17 6 22 2 15 7 23 -9
12 17 7 21 2 16 6 23 1 15 8 22 -9
12 19 8 12 1 20 6 13 2 18 7 14 -9
12 20 7 12 2 19 6 14 1 18 8 13 -9
12 22 8 15 1 23 6 16 2 21 7 17 -9
12 23 7 15 2 22 6 17 1 21 8 16 -9
6 7 2 6 1 8 -9
6 8 1 6 2 7 -9
4 3 6 9 -9
4 9 6 3 -9
4 12 6 18 -9
4 15 6 21 -9
4 18 6 12 -9
4 21 6 15 -9
3 1 2 -9
3 2 1 -9
2 6 -9
手計算で求めた位数表が下記の通り出て来る。
2 1 -9
3 2 -9
4 6 -9
6 2 -9
12 12 -9
\end{verbatim}

\subsection{(3)が(2,2,2)に作用}\label{(3)が(2,2,2)に作用}

\begin{math}
3-3　の場合、即ち、(3) が (2,2,2) に作用している場合。\\
(3)=\{e,d,d^{2}\} \\
(2,2,2)=\{e,a,b,ab,c,ac,bc,abc\}\\
a^2=e, b^2=e, c^2=e \\
Aut を表現するために、ここで、a を1、b を2、等々、abc を7 で表す。\\
d を、Aut(2,2,2) の中の位数3の元、(145)(367)に対応させる。\\
（第4節、自己同型のところでは、ab を 4, c を3　と名付けた。
ここでは、ab を 3, c を4としている。従ってここでいう(145)(367)
は、4節での(135)(467)のことである。）
即ち、d により、a は c に、b は b に、c は ac に行くから、\\
d^{-1}ad=ｃ\\
d^{-1}bd=b \\
d^{-1}cd=ac \\
元は次の24個。\\
e, \, a, \, b, \, ab, \, c, \, ac, \, bc, \, abc, \\
d,\, ad,\,bd,\,abd,\,cd,\,acd,\,bcd,\,abcd,\\
d^{2},\, ad^{2},\,bd^{2},\,abd^{2},\,cd^{2},\,acd^{2},\,bcd^{2},\,abcd^{2},\\
\\
それぞれの位数を求める。\\
e からd までは既知。\\
\\
10. \ ad の位数を求める。\\
d^{-1}acd=a に気をつけると、(何故なら、 d により5 は1 に行くから）\\
da=acd であるから、
(ad)^{2}=a(da)d=a(acd)d=cd^{2}
d^{-2}cd^{2}=a に気をつけると、(何故なら、 d ^2 により4 は1 に行くから）\\
d^{2}a=cd^{2} であるから、
(ad)^{3}=c(d^{2}a)d=c(cd^{2})d=e
故に　ad の位数は3\\
\\
11. \ bd の位数を求める。\\
(bd)^{2}=b^{2}d^{2}=d^{2}
(bd)^{6}=e
故に　bd の位数は6。\\
12. \ abd の位数を求める。\\
d^{-1}abcd=ab に気をつけると、（何故なら、d により7 は 3 に行くから）\\
dab=abcd であるから、
(abd)^{2}=ab(dab)d=ab(abcd)d=cd^{2}
d^{-2}bcd^{2}=ab に気をつけると、（何故なら、d^{2} により6 は 3 に行くから）\\
d^{2}ab=bcd^{2} であるから、
abd^{3}=c(d^{2}ab)d=c(bcd^{2})d=b
(bd)^{6}=b^{2}=e
故に　abd の位数は6\\
\end{math}
以下同様の計算を行って、次の位数表を得る。
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
e &a & b &ab&c&ac&bc&abc&d&ad &bd&abd \\
1&2&2&2&2&2&2&2&3&3&6&6 \\ \hline
cd&acd & bcd &abcd&d^{2}&ad^{2}&bd^{2}&abd^{2}&cd^{2}&acd^{2} &bcda^{2}&abcd^{2} \\
3&3&6&6&3&3&6&6&3&3&6&6 \\ \hline
\end{array} \]
元の位数とその個数
\[ \begin{array}{c|ccccccc}
位数&1&2&3&4&6&8&12 \\ \hline
個数&1&7&8&0&8&0&0
\end{array} \]
これは $Z_2 \times A_4$である。\\
\begin{math}
~~ここでは、(145)(367)に対応させる場合を述べたが、他の場合は全てこれに同型となる。
(222)の自己同型のうち、位数3のものは全部で56個ある。d にこれら56個を対応させると
56個の群が出来るが、全て今作ったものに同型になることを示す。即ち、同型写像を求める。\\
~~この作り方は下記。\\
(135)(467)で出来た群G_1（この元をa,b,c 等小文字で表す。）から(123)(465)で出来た
群G_2 （この元をA,B,C等大文字で表す。）への写像をf とする。また、f(d)=D としておく。\\
~~~f(c)=f(d^{-1}ad)=f(d^{-1})f(a)f(d)=D^{-1}f(a)D \\
ここで、f(a)を4（即ちAB)、f(c)を6(即ちBC)とする。\\
f(a)f(c)=f(ac)=f(d^{-1}cd)=f(d^{-1})f(c)f(d)=D^{-1}f(c)D \\
ここで、f(c)は6（即ちBC)、f(c)がDによって5(即ちAC)に行けばよい。\\
（何故なら、f(a)f(c)を計算すると、ABBC=AC (即ち5)となるから。）\\
また、f(d^{-1}acd)=D^{-1}ABBCD=D^{-1}ACD \\
この左辺は、f(a)=AB。即ちDにより、ACはAB(即ち5は4に)行く。\\
即ち、G_1 における(135)は、f によりG_2 における(465) となった。\\
~~~あとは、G_1 における(467)を、f によりG_2 における(123) とすればよい。\\
f(bc)=f(b)f(c)=f(b)BC~~ であり、一方、 \\
f(bc)=f(d^{-1}abd)=f(d^{-1})f(a)f(b)f(d)=D^{-1}ABf(b)D ~~より、\\
f(b)=ABC とおけば、D^{-1}ABABCD=D^{-1}CD=f(b)BC=ABCBC=A \\
即ち、D により3は1に行く。\\
また、f(d^{-1}bcd)=D^{-1}ABCBCD=D^{-1}AD \\
この左辺は、f(d^{-1}bcd)=f(abc)=ABABCBC=B ~~より、Dにより1は2に行く。\\
また、f(d^{-1}abd)=D^{-1}ABABCD=D^{-1}CD \\
この左辺は、f(d^{-1}abd)=f(bc)=ABCBC=A ~~より、Dにより3は1に行く。\\
即ち、G_1 における(467)は、f によりG_2 における(123) となった。\\
また、ここでf(d)=D^{2} とすれば、(135)(467) から(132)(456)への
同型写像が出来る。従って下の表ではこれを省略してある。\\
\end{math}
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
番号&　自己同型　&　f(a)　& f(b) & f(c) & (A,C,AC)(AB,BC,ABC) の順 \\ \hline
25&(123)(465) & AB & ABC & BC & (465)(312) \\
43&(124)(357) & A & BC & B & (124)(735) \\
42&(124)(365) & A & ABC & B & (124)(653) \\
44&(124)(376) & A & AC & B & (124)(376) \\
41&(124)(567) & A & C & B & (124)(567) \\
40&(125)(347) & C & BC & AB & (347)(251) \\
32&(126)(374) & C & AC & ABC & (374)(126) \\
45&(127)(456) & AB & C & AC & (456)(712) \\
15&(134)(257) & B & BC & AC & (257)(341) \\
20&(135)(247) & A & BC & C & (135)(724) \\
6&(135)(264) & A & ABC & C & (135)(642) \\
24&(135)(276) & A & AB & C & (135)(276) \\
2&(135)(467) & A & B & C & (135)(467) \\
22&(136)(275) & B & AB & ABC & (275)(136) \\
4&(137)(465) & AB & B & BC & (465)(137) \\
130&(145)(263) & B & ABC & BC & (263)(514) \\
122&(147)(236) & B & AC & C & (236)(714) \\
104&(156)(347) & C & B & AB & (347)(615) \\
106&(157)(263) & B & AB & BC & (263)(157) \\
137&(146)(257) & B & C & AC & (257)(614) \\
51&(167)(234) & A & AC & BC & (167)(342) \\
65&(167)(245) & A & C & BC & (167)(524) \\
62&(167)(253) & A & AB & BC & (167)(253) \\
54&(167)(354) & A & B & BC & (167)(435) \\
74&(236)(457) & B & A & C & (236)(457) \\
76&(237)(456) & AB & A & AC & (456)(237) \\
88&(256)(374) & C & A & ABC & (374)(562) \\
86&(257)(364) & B & A & AC & (257)(436) \\
\end{array} \]


これを計算機でやるには、「手入力」(ket4nec.bas) に次の初期値を入れ、（但し数字の意味は下表。）\\
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
0&1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11 \\ \hline
e &a & b &ab&c&ac&bc&abc&d&ad &bd&abd \\
12&13 &14&15&16&17&18&19&20&21&22&23 \\ \hline
cd&acd & bcd &abcd&d^{2}&ad^{2}&bd^{2}&abd^{2}&cd^{2}&acd^{2} &bcda^{2}&abcd^{2} \\
\end{array} \]
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 23 22
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13 18 19 16 17 22 23 20 21
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12 19 18 17 16 23 22 21 20
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11 20 21 22 23 16 17 18 19
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10 21 20 23 22 17 16 19 18
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9 22 23 20 21 18 19 16 17
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8 23 22 21 20 19 18 17 16
\end{verbatim}
\begin{math}
ここで、
8 \circ 1 には13 を入れ(\because da=acd)、 8 \circ 2 には10 を入れ(\because db=bd)、
8 \circ 4 には9 を入れ(\because dc=ad) 8 \circ 8 には16を入れ(\because dd=d^{2}) 、
8\circ 16 には0 を入れ(\because dd^{2}=e)れば、\\
\end{math}

\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 23 22
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13 18 19 16 17 22 23 20 21
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12 19 18 17 16 23 22 21 20
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11 20 21 22 23 16 17 18 19
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10 21 20 23 22 17 16 19 18
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9 22 23 20 21 18 19 16 17
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8 23 22 21 20 19 18 17 16
8 13 10 15 9 12 11 14 16 21 18 23 17 20 19 22 0 5 2 7 1 4 3 6
9 12 11 14 8 13 10 15 17 20 19 22 16 21 18 23 1 4 3 6 0 5 2 7
10 15 8 13 11 14 9 12 18 23 16 21 19 22 17 20 2 7 0 5 3 6 1 4
11 14 9 12 10 15 8 13 19 22 17 20 18 23 16 21 3 6 1 4 2 7 0 5
12 9 14 11 13 8 15 10 20 17 22 19 21 16 23 18 4 1 6 3 5 0 7 2
13 8 15 10 12 9 14 11 21 16 23 18 20 17 22 19 5 0 7 2 4 1 6 3
14 11 12 9 15 10 13 8 22 19 20 17 23 18 21 16 6 3 4 1 7 2 5 0
15 10 13 8 14 11 12 9 23 18 21 16 22 19 20 17 7 2 5 0 6 3 4 1
16 20 18 22 21 17 23 19 0 4 2 6 5 1 7 3 8 12 10 14 13 9 15 11
17 21 19 23 20 16 22 18 1 5 3 7 4 0 6 2 9 13 11 15 12 8 14 10
18 22 16 20 23 19 21 17 2 6 0 4 7 3 5 1 10 14 8 12 15 11 13 9
19 23 17 21 22 18 20 16 3 7 1 5 6 2 4 0 11 15 9 13 14 10 12 8
20 16 22 18 17 21 19 23 4 0 6 2 1 5 3 7 12 8 14 10 9 13 11 15
21 17 23 19 16 20 18 22 5 1 7 3 0 4 2 6 13 9 15 11 8 12 10 14
22 18 20 16 19 23 17 21 6 2 4 0 3 7 1 5 14 10 12 8 11 15 9 13
23 19 21 17 18 22 16 20 7 3 5 1 2 6 0 4 15 11 13 9 10 14 8 12
が出て来る。これを「位数」(isuu3.bas) にかけると、
6 10 16 2 8 18 -9
6 11 20 2 9 22 -9
6 14 21 2 12 23 -9
6 15 17 2 13 19 -9
6 18 8 2 16 10 -9
6 19 13 2 17 15 -9
6 22 9 2 20 11 -9
6 23 12 2 21 14 -9
3 8 16 -9
3 9 20 -9
3 12 21 -9
3 13 17 -9
3 16 8 -9
3 17 13 -9
3 20 9 -9
3 21 12 -9
2 1 -9
2 2 -9
2 3 -9
2 4 -9
2 5 -9
2 6 -9
2 7 -9
手計算で求めた位数表が下記の通り出て来る。
2 7 -9
3 8 -9
6 8 -9
\end{verbatim}

\subsection{(3)がQに作用}\label{(3)がQに作用}

\begin{math}
3-5　の場合、即ち、(3) が Q に作用している場合。\\
(3)=\{e,d,d^{2}\} \\
Q=\{e,a,a^{2},a^{3},b,ab,a^{2}b,a^{3}b\}\\
a^{4}=e, b^{2}=a^{2}, b^{-1}ab=a^{3}, \\
Aut を表現するために、ここで、a を1、a^{2} を2、等々、a^{3}b を7 で表す。\\
d を、AutQ の中の位数3の元、(145)(367)に対応させる。即ち、\\
d により、a は b に、b はab に、行くから、\\
d^{-1}ad=b\\
d^{-1}bd=ab
元は次の24個。\\
e, \, a, \, a^{2}, \, a^{3}, \, b, \, ab, \, a^{2}b, \, a^{3}b, \\
d,\, ad,\,a^{2}d,\,a^{3}d,\,bd,\,abd,\,a^{2}bd,\,a^{3}bd,\\
d^{2},\, ad^{2},\,a^{2}d^{2},\,a^{3}d^{2},\,bd^{2},\,abd^{2},\,a^{2}bd^{2},\,a^{3}bd^{2},\\
\\
それぞれの位数を求める。\\
e からd までは既知。\\
\\
10. \ ad の位数を求める。\\
d^{-1}abd=a に気をつけると、(何故なら、 d により5 は1 に行くから）\\
da=abd であるから、
(ad)^{2}=a(da)d=a(abd)d=a^{2}bd^{2}
d^{-2}bd^{2}=a に気をつけると、(何故なら、 d ^2 により4 は1 に行くから）\\
d^{2}a=bd^{2} であるから、
(ad)^{3}=a^{2}b(d^{2}a)d=a^{2}b(bd^{2})d=e
故に　ad の位数は3\\
\\
11. \ a^{2}d の位数を求める。\\
d^{-1}a^{2}d=a^{2} に気をつけると、(何故なら、 d により2 は2 に行くから）\\
da^{2}=a^{2}d であるから、
(a^{2}d)^{2}=a^{2}(da^{2})d=a^{2}(a^{2}d)d=d^2
(a^{2}d)^{6}=d^6=e
故に　a^{2}d の位数は6\\
\end{math}
以下同様の計算を行って、次の位数表を得る。
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
e &a & a^{2} &a^{3}&b&ab&a^{2}b&a^{3}b&d&ad &a^{2}d&a^{3}d \\
1&4&2&4&4&4&4&4&3&3&6&6 \\ \hline
bd&abd & a^{2}bd &a^{3}bd&d^{2}&ad^{2}&a^{2}d^{2}&a^{3}d^{2}&bd^{2}&abd^{2} &a^{2}bd^{2}&a^{3}bd^{2} \\
3&3&6&6&3&6&6&3&6&6&3&3 \\ \hline
\end{array} \]
位数とその個数
\[ \begin{array}{c|ccccccc}
位数&1&2&3&4&6&8&12 \\ \hline
個数&1&1&8&6&8&0&0
\end{array} \]

これは $<2,3,3>$である。\\
\begin{math}
~~ここでは、(145)(367)に対応させる場合を述べたが、他の場合は全てこれに同型となる。
Qの自己同型のうち、位数3のものは全部で8個ある。d にこれら8個を対応させると
8個の群が出来るが、全て今作ったものに同型になることを示す。即ち、同型写像を求める。\\
~~この作り方は下記。\\
(145)(367)で出来た群G_1（この元をa,b,c 等小文字で表す。）から(156)(374)で出来た
群G_2 （この元をA,B,C等大文字で表す。）への写像をf とする。また、f(d)=D ,f(a)=A ~~としておく。\\
~~~f(b)=f(d^{-1}ad)=f(d^{-1})f(a)f(d)=D^{-1}AD \\
~~~G_2 では、1は5に行くから、f(b)=AB \\
これでf(a),f(b),f(d) が決まったが、確かめてみる。まず5は6に行くか。\\
~~~D^{-1}ABD=f(d^{-1}bd)=f(ab)=AAB=A^{2}B ~~~ 確かに５は6に行く。 \\
6は1に行くか。\\
~~~D^{-1}A^{2}BD=f(d^{-1}abd)=f(a)=A ~~~確かに6は1に行く。\\
3は7に行くか。\\
~~~D^{-1}A^{3}D=f(d^{-1}a^{3}d)=f(a^{2}b)=A^{2}AB=A^{3}B ~~~確かに3は7に行く。\\
7は4に行くか。\\
~~~D^{-1}A^{3}BD=f(d^{-1}a^{2}bd)=f(a^{3}b)=A^{3}AB=B ~~~確かに7は4に行く。\\
4は3に行くか。\\
~~~D^{-1}BD=f(d^{-1}a^{3}bd)=f(a^{3})=A^{3} ~~~確かに4は3に行く。\\
\end{math}
その他のものを計算し、次の表を得る。
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
　自己同型　&　f(a)　& f(b) & f(d) \\ \hline
(145)(376) & A & B & D \\
(154)(367) & A & B & D^{2} \\
(156)(374) & A & AB & D \\
(165)(347) & A & AB & D^{2} \\
(167)(345) & A & A^{2}B & D \\
(176)(354) & A & A^{2}B & D^{2} \\
(174)(356) & A & A^{3}B & D \\
(147)(365) & A & A^{3}B & D^{2} \\
\end{array} \]

これを計算機でやるには、「手入力」(ket4nec.bas) に次の初期値を入れ、（但し数字の意味は下表。）\\
\[ \begin{array}{ccccccccccccc}
0&1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11 \\ \hline
e &a & a^{2} &a^{3}&b&ab&a^{2}b&a^{3}b&d&ad &a^{2}d&a^{3}d \\
12&13 &14&15&16&17&18&19&20&21&22&23 \\ \hline
bd&abd & a^{2}bd &a^{3}bd&d^{2}&ad^{2}&a^{2}d^{2}&a^{3}d^{2}&bd^{2}&abd^{2} &a^{2}bd^{2}&a^{3}bd^{2} \\
\end{array} \]
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12 17 18 19 16 21 22 23 20
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13 18 19 16 17 22 23 20 21
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14 19 16 17 18 23 20 21 22
4 7 6 5 2 1 0 3 12 15 14 13 10 9 8 11 20 23 22 21 18 17 16 19
5 4 7 6 3 2 1 0 13 12 15 14 11 10 9 8 21 20 23 22 19 18 17 16
6 5 4 7 0 3 2 1 14 13 12 15 8 11 10 9 22 21 20 23 16 19 18 17
7 6 5 4 1 0 3 2 15 14 13 12 9 8 11 10 23 22 21 20 17 16 19 18
\end{verbatim}
\begin{math}
ここで、
8 \circ 1 には13 を入れ(\because da=abd)、 8 \circ 2 には10 を入れ(\because da^{2}=a^{2}d)、
8 \circ 4 には9 を入れ(\because db=ad) 8 \circ 8 には16を入れ(\because dd=d^{2}) 、
8\circ 16 には0 を入れ(\because dd^{2}=e)れば、\\
\end{math}

\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12 17 18 19 16 21 22 23 20
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13 18 19 16 17 22 23 20 21
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14 19 16 17 18 23 20 21 22
4 7 6 5 2 1 0 3 12 15 14 13 10 9 8 11 20 23 22 21 18 17 16 19
5 4 7 6 3 2 1 0 13 12 15 14 11 10 9 8 21 20 23 22 19 18 17 16
6 5 4 7 0 3 2 1 14 13 12 15 8 11 10 9 22 21 20 23 16 19 18 17
7 6 5 4 1 0 3 2 15 14 13 12 9 8 11 10 23 22 21 20 17 16 19 18
8 13 10 15 9 12 11 14 16 21 18 23 17 20 19 22 0 5 2 7 1 4 3 6
9 14 11 12 10 13 8 15 17 22 19 20 18 21 16 23 1 6 3 4 2 5 0 7
10 15 8 13 11 14 9 12 18 23 16 21 19 22 17 20 2 7 0 5 3 6 1 4
11 12 9 14 8 15 10 13 19 20 17 22 16 23 18 21 3 4 1 6 0 7 2 5
12 9 14 11 15 10 13 8 20 17 22 19 23 18 21 16 4 1 6 3 7 2 5 0
13 10 15 8 12 11 14 9 21 18 23 16 20 19 22 17 5 2 7 0 4 3 6 1
14 11 12 9 13 8 15 10 22 19 20 17 21 16 23 18 6 3 4 1 5 0 7 2
15 8 13 10 14 9 12 11 23 16 21 18 22 17 20 19 7 0 5 2 6 1 4 3
16 20 18 22 21 17 23 19 0 4 2 6 5 1 7 3 8 12 10 14 13 9 15 11
17 21 19 23 22 18 20 16 1 5 3 7 6 2 4 0 9 13 11 15 14 10 12 8
18 22 16 20 23 19 21 17 2 6 0 4 7 3 5 1 10 14 8 12 15 11 13 9
19 23 17 21 20 16 22 18 3 7 1 5 4 0 6 2 11 15 9 13 12 8 14 10
20 18 22 16 17 23 19 21 4 2 6 0 1 7 3 5 12 10 14 8 9 15 11 13
21 19 23 17 18 20 16 22 5 3 7 1 2 4 0 6 13 11 15 9 10 12 8 14
22 16 20 18 19 21 17 23 6 0 4 2 3 5 1 7 14 8 12 10 11 13 9 15
23 17 21 19 16 22 18 20 7 1 5 3 0 6 2 4 15 9 13 11 8 14 10 12
が出て来る。これを「位数」(isuu3.bas) にかけると、
6 10 16 2 8 18 -9
6 11 22 2 9 20 -9
6 14 23 2 12 21 -9
6 15 19 2 13 17 -9
6 17 13 2 19 15 -9
6 18 8 2 16 10 -9
6 20 9 2 22 11 -9
6 21 12 2 23 14 -9
4 1 2 3 -9
4 3 2 1 -9
4 4 2 6 -9
4 5 2 7 -9
4 6 2 4 -9
4 7 2 5 -9
3 8 16 -9
3 9 22 -9
3 12 23 -9
3 13 19 -9
3 16 8 -9
3 19 13 -9
3 22 9 -9
3 23 12 -9
2 2 -9
手計算で求めた位数表が下記の通り出て来る。
2 1 -9
3 8 -9
4 6 -9
6 8 -9
\end{verbatim}

\subsection{$S_3$}\label{$S_3$}

\begin{math}
最後にS_4 を「手入力」(ket4nec.bas) を使って求める。\\
K=\{(1),(1234),(13)(24),(1432)\} とおいて、（これらを順に0,1,2,3 と名前をつける。）\\
左剰余類を求める。\\
K(12)=\{(12),(134),(1423),(243)\}（これらを順に4,5,6,7 と名前をつける。） \\
K(13)=\{(13),(14)(23),(24),(12)(34)\}（これらを順に8,9,10,11 と名前をつける。） \\
K(14)=\{(14),(234),(1234),(132)\}（これらを順に12,13,14,15 と名前をつける。） \\
K(23)=\{(23),(124),(1342),(143)\}（これらを順に16,17,18,19 と名前をつける。） \\
K(34)=\{(34),(123),(1324),(142)\}（これらを順に20,21,22,23 と名前をつける。） \\
\end{math}
次のものが初期値になる。
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12 17 18 19 16 21 22 23 20
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13 18 19 16 17 22 23 20 21
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14 19 16 17 18 23 20 21 22
\end{verbatim}
\begin{math}
ここで、
4 \circ 1 には13 を入れ(\because (12)(1234)=(234)=13)、 \\
4 \circ 2 には22 を入れ(\because (12)(13)(24)=(1324)=22)、 \\
4 \circ 3 には19 を入れ(\because (12)(1432)=(143)=19)、 \\
4 \circ 4 には0 を入れ(\because (12)(12)=(1)=0)、 \\
4 \circ 5 には18 を入れ(\because (12)(134)=(1342)=18)、 \\
4 \circ 6 には9 を入れ(\because (12)(1423)=(14)(23)=9)、 \\
ここまで入れると次の表が出来上がる。
\end{math}
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12 17 18 19 16 21 22 23 20
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13 18 19 16 17 22 23 20 21
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14 19 16 17 18 23 20 21 22
4 13 22 19 0 18 9 14 15 6 17 20 23 1 7 8 21 10 5 3 11 16 2 12
5 14 23 16 1 19 10 15 12 7 18 21 20 2 4 9 22 11 6 0 8 17 3 13
6 15 20 17 2 16 11 12 13 4 19 22 21 3 5 10 23 8 7 1 9 18 0 14
7 12 21 18 3 17 8 13 14 5 16 23 22 0 6 11 20 9 4 2 10 19 1 15
8 11 10 9 21 20 23 22 0 3 2 1 19 18 17 16 15 14 13 12 5 4 7 6
9 8 11 10 22 21 20 23 1 0 3 2 16 19 18 17 12 15 14 13 6 5 4 7
10 9 8 11 23 22 21 20 2 1 0 3 17 16 19 18 13 12 15 14 7 6 5 4
11 10 9 8 20 23 22 21 3 2 1 0 18 17 16 19 14 13 12 15 4 7 6 5
12 21 18 7 17 8 13 3 5 16 23 14 0 6 11 22 9 4 2 20 19 1 15 10
13 22 19 4 18 9 14 0 6 17 20 15 1 7 8 23 10 5 3 21 16 2 12 11
14 23 16 5 19 10 15 1 7 18 21 12 2 4 9 20 11 6 0 22 17 3 13 8
15 20 17 6 16 11 12 2 4 19 22 13 3 5 10 21 8 7 1 23 18 0 14 9
16 5 14 23 15 1 19 10 21 12 7 18 9 20 2 4 0 22 11 6 13 8 17 3
17 6 15 20 12 2 16 11 22 13 4 19 10 21 3 5 1 23 8 7 14 9 18 0
18 7 12 21 13 3 17 8 23 14 5 16 11 22 0 6 2 20 9 4 15 10 19 1
19 4 13 22 14 0 18 9 20 15 6 17 8 23 1 7 3 21 10 5 12 11 16 2
20 17 6 15 11 12 2 16 19 22 13 4 5 10 21 3 7 1 23 8 0 14 9 18
21 18 7 12 8 13 3 17 16 23 14 5 6 11 22 0 4 2 20 9 1 15 10 19
22 19 4 13 9 14 0 18 17 20 15 6 7 8 23 1 5 3 21 10 2 12 11 16
23 16 5 14 10 15 1 19 18 21 12 7 4 9 20 2 6 0 22 11 3 13 8 17
これを「位数」(isuu3.bas) にかけると、\\
\begin{verbatim}
4 1 2 3 -9
4 3 2 1 -9
4 6 11 22 -9
4 14 9 18 -9
4 18 9 14 -9
4 22 11 6 -9
3 5 19 -9
3 7 13 -9
3 13 7 -9
3 15 21 -9
3 17 23 -9
3 19 5 -9
3 21 15 -9
3 23 17 -9
2 2 -9
2 4 -9
2 8 -9
2 9 -9
2 10 -9
2 11 -9
2 12 -9
2 16 -9
2 20 -9
となり、位数表もよく知っている次のものが出る。
2 9 -9
3 8 -9
4 6 -9
\end{verbatim}

\subsection{位数表}\label{位数表24}

位数表を作ると、\\
\[ \begin{array}{c|c|c|ccccccc}
番号&出来方&名前&1&2&3&4&6&8&12 \\ \hline
1&&S_4& 1&9&8&6&0&0&0\\
2-1&Z_8 \rightarrowtail Z_3 & <-2,2,3> &1&1&2&2&2&12&4\\
2-2-1&(2,4) \rightarrowtail Z_3 & Z_4 \times D_3 & 1&7&2&8&2&0&4\\
2-2-2 &(2,4) \rightarrowtail Z_3 & Z_2 \times <2,2,3>&1&3&2&12&6&0&0 \\
2-3 &(2,2,2) \rightarrowtail Z_3 & Z_2 \times D_6 &1&15&2&0&6&0&0\\
2-4-1 & D_4 \rightarrowtail Z_3 & (4,6| 2,2) &1&9&2&6&6&0&0\\
2-4-2 &D_4 \rightarrowtail Z_3 & D_{12} &1&13&2&2&2&0&4\\
2-4-3 & D_4 \rightarrowtail Z_3 & Z_3 \times D_4 &1&5&2&2&10&0&4\\
2-5-1 & Q \rightarrowtail Z_3 & <2,2,6> &1&1&2&14&2&0&4\\
2-5-2 & Q \rightarrowtail Z_3 & Z_3 \times Q&1&1&2&6&2&0&12 \\
3-1 & Z_3 \rightarrowtail Z_8 & なし& \\
3-2 & Z_3 \rightarrowtail (2,4) & なし& \\
3-3 & Z_3 \rightarrowtail (2,2,2) &Z_2 \times A_4 &1&7&8&0&8&0&0\\
3-4 & Z_3 \rightarrowtail D_4 & なし& \\
3-5 & Z_3 \rightarrowtail Q & <2,3,3>&1&1&8&6&8&0&0\\
\end{array} \]
\section{Sylow の定理他の証明}

\subsection{p群の存在}\label{p群の存在定理}

定理\ref{p 群の存在}
\begin{math}
~~群G の位数が素数冪p^{s}で割り切れるならば、G は位数がp^{s} の部分群を含む。\\
（群G の位数がp^{r}m（mはp と素）ならば、G は、位数p, p^{2}, p^{3}, \ldots p^{r} の部分群を持つ、ということ。）
解~~~G の位数に関する帰納法による。\\
1)~~~G の位数がp のとき、G自身が位数p の巡回群であり、成立。\\
~~~~~~~（p で割り切れないときは、「前言否定」で定理は成立。）\\
2)~~~G の位数がp^{r}m -1以下 のとき成立と仮定して、G の位数がp^{r}m のときを示す。\\
G の真部分集合で、部分群をなしているもの H を考える。（これは必ず存在する。例えば\{e\}）\\
次の２つの場合がある。\\
case~~ 1) ~~H の中で、G に対する指数が p と素なものがある場合。\\
~~~~~~~~指数もG の位数の約数でなければならないから、この場合はp^{r}m の約数。\\
~~~~~~~~p と素なのだから、指数はm の約数。m をその指数で割った数をm' とすれば、H の位数はp^{r}m'。\\
~~~~~~~~これはp^{r}m -1以下の数。即ち帰納法の仮定により、H は位数がp^{s} の部分群を含む。\\
~~~~~~~~G はH を含んでいるから、G は位数がp^{s} の部分群を含む。\\
case~~ 2)~~H の中で、G に対する指数が p と素なものがない場合。\\
~~~~~~~~第５節の定理１５（G と異なる部分群の指数がすべてp で割り切れるならば、G の中心の\\
~~~~~~~~位数はp で割り切れる。）より、中心は可換群だから、これはp で割り切れる可換群。\\
~~~~~~~~可換群の基本定理から、可換群の(\star, \star, \ldots, \star)型 のどこかにp が入っている。\\
~~~~~~~~即ち、位数p の部分群を持つ。それをP とする。P は G の正規部分群。（中心の元は任意の\\
~~~~~~~~元と可換。）\\
~~~~~~~~P を法とするG の剰余群（定義１８を参照）G/P を考えると、これは位数p^{r-1}m。\\
~~~~~~~~故に帰納法の仮定が使えて、位数p, p^{2}, p^{3}, \ldots p^{r-1} の部分群 \\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~U_1/P, U_2/P, U_3/P, \ldots ,U_{r-1}/P,を持つ。\\
~~~~~~~~このとき、P, U_1, U_2, U_3, \ldots , U_{r-1} は、\\
~~~~~~~~~~~~~~~~位数p, p^{2}, p^{3}, \ldots p^{r} の部分群~~~（証明おわり）
\end{math}

\begin{math}
定義\ref{元aの正規化群} で、元a の正規化群N(a) を定義した。これは、群 G が、自分自身に次の方法で作用しているとき、\\
~~~~~~~~f ：G \times G \longrightarrow G \\
~~~~~~~~~~~~(x, a) \longmapsto x^{-1}ax \\
G の一つの元a を固定し、そのa を動かさないG の元 x の全体のことであった。 即ち、\\
~~~~~~~~~N(a)=\{x \in G ~|~ x^{-1}ax\} \\
今度は、部分群 H が、剰余類の集合に作用する場合を定義する。作用する方法も違うので注意。\\
\end{math}

\begin{definition}\label{不変群}
\begin{math}
群 G とその部分群、H, K が与えられている。\\
H の左剰余類の集合をM とする。即ち、\\
~~~~M=\{H, Ha, Hb, \ldots, Hr\} \\
このM に、K が次の方法で作用しているとする。\\
~~~~~~~~f ：K \times M \longrightarrow M \\
~~~~~~~~~~~~(x, Ha) \longmapsto (Ha)x \\
ここで、M の一つの元Ha を固定し、そのHa を動かさないK の元全体をK(Ha) と書き、
Ha の不変群という。即ち、\\
~~~~~~~~K(Ha)=\{x \in K~ | ~(Ha)x=Ha \}
\end{math}
\end{definition}

定理\ref{正規化群に対する指数}は、「a に共役な元の数は、群G の「元a の正規化群」に対する指数に等しい」であったが、
それに対応する次の定理が出来る。\\

\begin{theorem}\label{不変群に対する指数}
\begin{math}
H の左剰余類の集合M に部分群K が上の定義の方法で作用している。ここで、一つの剰余類Ha を固定し、
これにK を作用させる。作用され終わった剰余類で、相異なるものの数は、\\
1)~~~部分群K の「剰余類Ha 不変群K(Ha)」に対する指数に等しい。\\
2)~~~部分群a^{-1}Ha の K に対する指数に等しい。即ち\\
~~~~~~~~\sum_{x \in K}Haxの（左剰余類の）個数=|~K~：~a^{-1}Ha \cap K~| \\
証明~~~1)~~「K(Ha)h の任意の２つの元は、Ha を同じ剰余類に行かせ」「異なる剰余類、
K(Ha)h, K(Ha)k の元を取ってくると、Ha を異なる剰余類に行かせる」ことを言えばよい。\\
前者は、その２つの元をn_1h, n_2h (n_1, n_2 \in N(Ha)) とすると、\\
~~~ n_1n_2^{-1} \in K(Ha) \therefore Hn_1n_2^{-1} \in H \therefore Hn_1=Hn_2 \\
後者は、対偶を示す。もとの話は、「K(Ha)h \ne K(Ha)k \longrightarrow Hah \ne Hak」であるから、\\
~~~「Hah = Hak \longrightarrow K(Ha)h = K(Ha)k」を言えばよい。\\
~~~Hah=Hak \longrightarrow Hahk^{-1} = Ha \longrightarrow hk^{-1} \in K(Ha) \\
\longrightarrow K(Ha)hk^{-1} = K(Ha) \longrightarrow K(Ha)h = K(Ha)k ~~~ \\
2)~~K(Ha)=\{x ~|~Hax=Ha, x \in K \} = \{x ~| ~ax \in Ha, x \in K \}= \{x~ | ~x \in a^{-1}Ha, x \in K \}
=a^{-1}Ha \cap K ~~~（証明おわり）
\end{math}
\end{theorem}

\begin{question}
\begin{math}
4次の対称群S_4 内で、\\
~~~H=\{(1), (1234), (13)(24), (1432)\} \\
~~~H(12)= \{(12), (134), (1423), (243) \} \\
~~~K=\{(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23) \} \\
が与えられている。このとき、\sum_{x \in K}H(12)x~~ は何個か。\\
1)~~定理を使って、2)~~定理を使わないで、求めよ。\\
解~~~1)~~ (12)^{-1}H(12)=\{(1), (1342), (14)(23), (1234) \} \\
~~~~~~~~~K \cap (12)^{-1}H(12) =\{(1),(14)(23) \} \\
~~~~~~~|~K ：(12)^{-1}H(12)~| = 4 \div 2 =2 ~~~故に2個。\\
2)~~H(12) の右からK の元をかける。\\
~~~~H(12)(1)=H(12) \\
~~~~H(12)(12)(34)=H(34)=\{(34), (12), (1324), (142) \} \\
~~~~H(12)(13)(24)=H(1324)=H(34) \\
~~~~H(12)(14)(23)=H(1423)=H(12) \\
故に、H(12)とH(34) の2個。~~~~（解おわり）
\end{math}
\end{question}

\begin{question}
\begin{math}
4次の対称群S_4 内で、\\
~~~H=\{(1), (1234), (13)(24), (1432)\} \\
~~~H(12)= \{(12), (134), (1423), (243) \} \\
~~~K=\{(1), (12), (13), (23), (123), (132) \} \\
が与えられている。このとき、\sum_{x \in K}H(12)x~~ は何個か。\\
1)~~定理を使って、2)~~定理を使わないで、求めよ。\\
解~~~1)~~ (12)^{-1}H(12)=\{(1), (1342), (14)(23), (1234) \} \\
~~~~~~~~~K \cap (12)^{-1}H(12) =\{(1)\} \\
~~~~~~~|~K ：(12)^{-1}H(12)~| = 6 \div 1 =6 ~~~故に6個。\\
2)~~H(12) の右からK の元をかける。\\
~~~~H(12)(1)=H(12) \\
~~~~H(12)(12)=H(1)=H
~~~~H(12)(13)=H(132)=\{(132), (14), (234), (1243) \} \\
~~~~H(12)(23)=H(123)=\{(123), (1324), (142), (34) \} \\
~~~~H(12)(123)=H(23)=\{(23), (124), (1342), (143) \} \\
~~~~H(12)(132)=H(13)=\{(13), (14)(23), (24), (12)(34) \} \\
故に、6個。~~~~（解おわり）
\end{math}
\end{question}

\begin{question}
\begin{math}
4次の対称群S_4 内で、\\
~~~H=\{(1), (1234), (13)(24), (1432)\} \\
~~~H(12)= \{(12), (134), (1423), (243) \} \\
~~~K=\{(1), (1243), (14)(23), (1342) \} \\
が与えられている。このとき、\sum_{x \in K}H(12)x~~ は何個か。\\
1)~~定理を使って、2)~~定理を使わないで、求めよ。\\
解~~~1)~~ (12)^{-1}H(12)=\{(1), (1342), (14)(23), (1234) \} \\
~~~~~~~~~K \cap (12)^{-1}H(12) =K \\
~~~~~~~|~K ：(12)^{-1}H(12)~| = 4 \div 4 =1 ~~~故に1個。\\
2)~~H(12) の右からK の元をかける。\\
~~~~H(12)(1)=H(12) \\
~~~~H(12)(1243)=H(12) \\
~~~~H(12)(14)(23)=H(1423)=H(12) \\
~~~~H(12)(1342)=H(134)=H(12) \\
故に、1個。~~~~（解おわり）
\end{math}
\end{question}

\subsection{Sylow の定理を証明}\label{Sylow の定理を証明}

用意が出来たので、Sylow の定理を証明する。まず、1 と 2 。\\
\begin{math}
定理\ref{Sylow の定理1}~~(Sylowの定理1)\\
~~P を群G の任意のp-部分群とすれば、P を含むG のp-Sylow群が存在する。\\
定理\ref{Sylow の定理2}~~(Sylowの定理2)\\\
~~群 G の2つのp-Sylow群は、互いに共役である。\\
証明~~~1),2) を同時に示す。\\
~~~群 G のp-Sylow群 S_p の左剰余類を次のように数え上げる。\\
~~~まず、\sum_{y \in P}S_pey, 次に、この中に含まれない剰余類S_px_2 を探し、右からP の元をかける。\\
~~~即ち、\sum_{y \in P}S_px_2y。この操作は有限回で終わる。即ち、\\
~~~S_p の左剰余類全部=\sum_{y \in P}S_pey~+\sum_{y \in P}S_px_2y~+ \ldots +\sum_{y \in P}S_px_ry \\
~~~前定理から、S_px_iy~(y \in P) に含まれるS_pの左剰余類の個数は、\\
~~~~~~~~~|~P ：x_i^{-1}S_px_i \cap P~| \\
~~~これはp の冪。故にp^{e_i} とおく。\\
~~~S_pの左剰余類全部の個数は|~G ：S_p~| 、故に、\\
~~~|~G ：S_p~|=p^{e_1}+p^{e_2}+ \ldots +p^{e_r} \\
~~~この左辺はp と素。故にp^{e_i}=1となるi が存在する。\\
~~~このi について、|~P ：x_i^{-1}S_px_i \cap P~|=1 \\
~~~故に、P = x_i^{-1}S_px_i \cap P\\
~~~故に、P \subset x_i^{-1}S_px_i \\
~~~即ち、P を含むp-Sylow群がみつかった。（定理1 証明終り）\\
~~~特に、P がp-Sylow群S_{p1}のときは、S_{p1} \subset x_i^{-1}S_px_i\\
~~~~S_{p1}とx_i^{-1}S_px_i は位数が同じ。故に、\\
~~~~~~S_{p1} = x_i^{-1}S_px_i \\
~~~即ち、S_{p1} はS_p と共役。~~~（定理2 証明終り）\\
\end{math}

次の定理の証明に使う不変群はまたちょっと定義が異なる。
\begin{definition}\label{部分群の正規化群}
\begin{math}
群G の部分群 H が与えられているとき、H の正規化群 N(H) を次のように定義する。\\
~~~N(H)=\{x \in G ~| ~ x^{-1}Hx=H \} \\
\end{math}
\end{definition}

\begin{theorem}\label{Hに共役な部分群の個数}
\begin{math}
H に共役な部分群の個数は |G ：N(H)| \\
証明~~~M=\{H, a^{-1}Ha, b^{-1}Hb, \ldots , r^{-1}Hr \} \\
（H の左と右からG の元g の逆元とg そのものをかけて、相異なるものを列挙するとM が出来る。）\\
（M はH と共役な部分群全体。）\\
あとはいつものように、次のことを示せばよい。\\
1)~~ N(H)h の2つの元n_1h, n_2h はH を同じ共役部分群に行かせる。\\
2)~~N(H)h \ne N(H)k \longrightarrow h^{-1}Hh \ne k^{-1}Hk \\
これを示す。1)~~(n_1h)^{-1}H(n_1h)=h^{-1}(n_1^{-1}Hn_1)h=h^{-1}Hh \\
一方 (n_2h)^{-1}H(n_2h)=h^{-1}(n_2^{-1}Hn_2)h=h^{-1}Hh \\
2)~ は対偶を示す。 h^{-1}Hh = k^{-1}Hk \longrightarrow (hk^{-1})Hhk^{-1}=H\\
\therefore hk^{-1} \in N(H) \therefore h \in N(H)k \therefore N(H)h=N(H)k ~~~（証明おわり）\\
\end{math}
\end{theorem}

定理\ref{Sylow の定理3}~~(Sylowの定理3)\
\begin{math}
~~群G の異なるp-Sylow 群の個数は 1+kp と表される。\\
証明~~~p-Sylow 群の一つをS_p とする。他のp-Sylow 群も全てこのS_pに共役だから、
その個数はN(S_p)の左剰余類の個数。ところでこの個数は、\\
S_p の左剰余類全部=\sum_{y \in S_p}N(S_p)ey~+\sum_{y \in S_p}N(S_p)x_2y~+ \ldots +\sum_{y \in S_p}N(S_p)x_ry \\
\sum_{y \in S_p}N(S_p)ey の左剰余類の個数=|S_p ：e^{-1}N(S_p)e \cap S_p|~~~（\because 定理29）\\
=|S_p ：N(S_p) \cap S_p|~~（\because N(S_p) \supset N(S_p) ）\\
=|S_p：S_p|=1\\
他の項の左剰余類の個数は|S_p ：x_i^{-1}N(S_p)x_i \cap S_p| で、p の冪であるから、これらが全て1でないことを言えばよい。\\
1 であると仮定する。|S_p ：x_i^{-1}N(S_p)x_i \cap S_p|=1\\
~~~~~~~~~x_i^{-1}N(S_p)x_i \supset S_p \\
~~~~~~~~~~~~N(S_p) \supset x_iS_px^{-1} \\
N(S_p) 内で、 S_p は正規部分群。故に、x_iS_px_i^{-1} =S_p 。故にx_i \in N(S_p) \\
\therefore \sum_{y \in S_p}N(S_p)x_iy=\sum_{y \in S_p}N(S_p)y=\sum_{y \in S_p}N(S_p)ey \\
これは第1項。即ち、他の項は1と異なるp の冪。（証明おわり）
\end{math}



\begin{question}
\begin{math}
3次の対称群S_3 においてH=\{(1), (12)\} は2-Sylow 群である。上の定理の証明を、これを例にとって
なぞってみよ。\\
解~~~N(H)=H ~~|G ：N(H)| = 6 \div 2=3 ですぐ答が出てしまうが、上の証明の数え方でやると、\\
H の左剰余類全部=\sum_{y \in H}N(H)ey~+\sum_{y \in H}N(H)x_2y~+ \ldots +\sum_{y \in H}N(H)x_ry \\
~~~~~~~~~~~~=N(H)e~+\sum_{y \in H}N(H)(13)y=N(H)e~+(N(H)(13)+N(H)(123))\\
即ち、第2項は2個。2の冪。（解おわり）
\end{math}

\subsection{主定理(位数24)の理解のために}\label{主定理(位数24)の理解のために}

\end{question}
定理\ref{Sylow の定理3}は、位数24の群を決定するために、なくてはならない定理であった。しかし、そのときに作った関数h も
Ker(h)も分かり難いものであった。これの理解を容易にするために、次の問をやっておく。
\begin{question}
\begin{math}
下の群表は、位数24の群＜2、3、3＞である。\\
これについて次の問に答えよ。\\
1) ４個の３Sylow 群がある。それを求めよ。(それらを、P_1, P_2, P_3,P_4とする。）\\
2) 順序づけられた４個の群の集合 \{ P_1, P_2, P_3,P_4 \} に、元の群の元 g を作用させ、
G からS_4 内に準同型写像 \varphi を作れ。\\
3) \varphi の核を求めよ。また、G 内に正規部分群を見つけよ。\\
\end{math}
\begin{verbatim}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 3 0 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12 17 18 19 16 21 22 23 20
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13 18 19 16 17 22 23 20 21
3 0 1 2 7 4 5 6 11 8 9 10 15 12 13 14 19 16 17 18 23 20 21 22
4 7 6 5 2 1 0 3 12 15 14 13 10 9 8 11 20 23 22 21 18 17 16 19
5 4 7 6 3 2 1 0 13 12 15 14 11 10 9 8 21 20 23 22 19 18 17 16
6 5 4 7 0 3 2 1 14 13 12 15 8 11 10 9 22 21 20 23 16 19 18 17
7 6 5 4 1 0 3 2 15 14 13 12 9 8 11 10 23 22 21 20 17 16 19 18
8 15 10 13 9 14 11 12 16 23 18 21 17 22 19 20 0 7 2 5 1 6 3 4
9 12 11 14 10 15 8 13 17 20 19 22 18 23 16 21 1 4 3 6 2 7 0 5
10 13 8 15 11 12 9 14 18 21 16 23 19 20 17 22 2 5 0 7 3 4 1 6
11 14 9 12 8 13 10 15 19 22 17 20 16 21 18 23 3 6 1 4 0 5 2 7
12 11 14 9 15 8 13 10 20 19 22 17 23 16 21 18 4 3 6 1 7 0 5 2
13 8 15 10 12 9 14 11 21 16 23 18 20 17 22 19 5 0 7 2 4 1 6 3
14 9 12 11 13 10 15 8 22 17 20 19 21 18 23 16 6 1 4 3 5 2 7 0
15 10 13 8 14 11 12 9 23 18 21 16 22 19 20 17 7 2 5 0 6 3 4 1
16 20 18 22 23 19 21 17 0 4 2 6 7 3 5 1 8 12 10 14 15 11 13 9
17 21 19 23 20 16 22 18 1 5 3 7 4 0 6 2 9 13 11 15 12 8 14 10
18 22 16 20 21 17 23 19 2 6 0 4 5 1 7 3 10 14 8 12 13 9 15 11
19 23 17 21 22 18 20 16 3 7 1 5 6 2 4 0 11 15 9 13 14 10 12 8
20 18 22 16 19 21 17 23 4 2 6 0 3 5 1 7 12 10 14 8 11 13 9 15
21 19 23 17 16 22 18 20 5 3 7 1 0 6 2 4 13 11 15 9 8 14 10 12
22 16 20 18 17 23 19 21 6 0 4 2 1 7 3 5 14 8 12 10 9 15 11 13
23 17 21 19 18 20 16 22 7 1 5 3 2 4 0 6 15 9 13 11 10 12 8 14
6 9 20 2 11 22 -9
6 10 16 2 8 18 -9
6 12 23 2 14 21 -9
6 15 17 2 13 19 -9
6 18 8 2 16 10 -9
6 19 13 2 17 15 -9
6 21 14 2 23 12 -9
6 22 11 2 20 9 -9
4 1 2 3 -9
4 3 2 1 -9
4 4 2 6 -9
4 5 2 7 -9
4 6 2 4 -9
4 7 2 5 -9
3 8 16 -9
3 11 20 -9
3 13 17 -9
3 14 23 -9
3 16 8 -9
3 17 13 -9
3 20 11 -9
3 23 14 -9
2 2 -9
2 1 -9
3 8 -9
4 6 -9
6 8 -9
\end{verbatim}
\begin{math}
解~~~1) 位数３のものを拾えばよい。
P_1=\{0,8,6\},~~ P_2=\{011,20\},~~P_3=\{0,13,17\},~~P_4=\{0,14,23\} \\
2) 群表から、各元の逆元を求めておく。\\
1^{-1}=3,~~2^{-1}=2,~~4^{-1}=6,~~5^{-1}=7,~~8^{-1}=16,~~9^{-1}=22,~~10^{-1}=18,~~
11^{-1}=20,~~12^{-1}=21,~~13^{-1}=17,~~14^{-1}=23,~~15^{-1}=19 \\
さて、P_1 に G の元を作用させる。\\
3P_11=\{0, 3 \circ 8 \circ 1, 3 \circ 16 \circ 1 \}=\{0,14, 23\}=P_4 \\
2P_12=\{0, 2 \circ 8 \circ 2, 2 \circ 16 \circ 2\}=\{0,8, 16\}=P_1 \\
1P_13=\{0, 1 \circ 8 \circ 3, 1 \circ 16 \circ 3 \}=\{0,14, 23\}=P_4 \\
6P_14=\{0, 6 \circ 8 \circ 4, 6 \circ 16 \circ 4 \}=\{0,13, 17\}=P_3 \\
7P_15=\{0, 7 \circ 8 \circ 5, 7 \circ 16 \circ 5 \}=\{0,11, 20\}=P_2 \\
4P_16=\{0, 4 \circ 8 \circ 6, 4 \circ 16 \circ 6 \}=\{0,13, 17\}=P_3 \\
5P_17=\{0, 5 \circ 8 \circ 7, 5 \circ 16 \circ 7 \}=\{0,11, 20\}=P_2 \\
16P_18=\{0, 16 \circ 8 \circ 8, 16 \circ 16 \circ 8 \}=\{0,8, 16\}=P_1 \\
22P_19=\{0, 22 \circ 8 \circ 9, 22 \circ 16 \circ 9 \}=\{0,13, 17\}=P_3 \\
18P_110=\{0, 18 \circ 8 \circ 10, 18 \circ 16 \circ 10 \}=\{0,8, 16\}=P_1 \\
20P_111=\{0, 20 \circ 8 \circ 11, 20\circ 16 \circ 11 \}=\{0,13, 17\}=P_3 \\
21P_112=\{0, 21 \circ 8 \circ 12, 21\circ 16 \circ 12 \}=\{0,11, 20\}=P_2 \\
17P_113=\{0, 17 \circ 8 \circ 13, 17 \circ 16 \circ 13 \}=\{0,14, 23\}=P_4 \\
23P_114=\{0, 23 \circ 8 \circ 14, 23 \circ 16 \circ 14 \}=\{0,11, 20\}=P_2 \\
19P_115=\{0, 19 \circ 8 \circ 15, 19 \circ 16 \circ 15 \}=\{0,14, 23\}=P_4 \\
8P_116=\{0, 8 \circ 8 \circ 16, 8 \circ 16 \circ 16 \}=\{0,8, 16\}=P_1 \\
13P_117=\{0, 13 \circ 8 \circ 17, 13 \circ 16 \circ 17 \}=\{0,11, 20\}=P_2 \\
10P_118=\{0, 10 \circ 8 \circ 18, 10 \circ 16 \circ 18 \}=\{0,8, 16\}=P_1 \\
15P_119=\{0, 15 \circ 8 \circ 19, 15 \circ 16 \circ 19 \}=\{0,11, 20\}=P_2 \\
11P_120=\{0, 11 \circ 8 \circ 20, 11 \circ 16 \circ 20 \}=\{0,14, 23\}=P_4 \\
12P_121=\{0, 12 \circ 8 \circ 21, 12 \circ 16 \circ 21 \}=\{0,13, 17\}=P_3 \\
9P_122=\{0, 9 \circ 8 \circ 22, 9 \circ 16 \circ 22 \}=\{0,14, 23\}=P_4 \\
14P_123=\{0, 14 \circ 8 \circ 23, 14 \circ 16 \circ 23 \}=\{0,13, 17\}=P_3 \\
上の結果から、\\
~~~P_1 を P_1 へ行かせる元は、\{0,2,8,10,16,18\} \\
~~~P_1 を P_2 へ行かせる元は、\{5,7,12,14,17,19\} \\
~~~P_1 を P_3 へ行かせる元は、\{4,6,9,11,21,23\} \\
~~~P_1 を P_4 へ行かせる元は、\{1,3,13,15,20,22\} \\
同様にして、P_2 に G の元を作用させる。\\
~~~P_2 を P_1 へ行かせる元は、\{5,7,13,15,21,23\} \\
~~~P_2 を P_2 へ行かせる元は、\{0,2,9,11,20,22\} \\
~~~P_2 を P_3 へ行かせる元は、\{1,3,12,14,16,18\} \\
~~~P_2 を P_4 へ行かせる元は、\{4,6,8,10,17,19\} \\
同様にして、P_3 に G の元を作用させる。\\
~~~P_3 を P_1 へ行かせる元は、\{4,6,12,14,20,22\} \\
~~~P_3 を P_2 へ行かせる元は、\{1,3,8,10,21,23\} \\
~~~P_3 を P_3 へ行かせる元は、\{0,2,13,15,17,19\} \\
~~~P_3 を P_4 へ行かせる元は、\{5,7,9,11,16,18\} \\
同様にして、P_4 に G の元を作用させる。\\
~~~P_4 を P_1 へ行かせる元は、\{1,3,9,11,17,19\} \\
~~~P_4 を P_2 へ行かせる元は、\{4,6,13,15,16,18\} \\
~~~P_4 を P_3 へ行かせる元は、\{5,7,8,10,20,22\} \\
~~~P_4 を P_4 へ行かせる元は、\{0,2,12,14,21,23\} \\
故に、準同型写像 \varphi は、次の、左の元を右に対応させるもの。\\
~~~~~0, 2 \longmapsto (1) \\
~~~~~1, 3 \longmapsto (14)(23) \\
~~~~~4, 6 \longmapsto (13)(24) \\
~~~~~5, 7 \longmapsto (12)(34) \\
~~~~~8, 10 \longmapsto (243) \\
~~~~~9, 11 \longmapsto (134) \\
~~~~~12, 14 \longmapsto (123) \\
~~~~~13, 15 \longmapsto (142) \\
~~~~~16, 18 \longmapsto (234) \\
~~~~~17, 19 \longmapsto (124) \\
~~~~~20, 22 \longmapsto (143) \\
~~~~~21, 23 \longmapsto (132) \\
~~~~\varphi による像は、A_4 であることが分かる。\\
3)~~~ \varphi の核は、(1) の逆像。即ち、\{0,2\} \\
~~~A_4 の中で、\{(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23) \} は、正規部分群。\\
~~~その逆像は正規であるから、G の中で、\{0,1,2,3,4,5,6,7 \} は正規部分群。（解おわり）\\
\end{math}
\end{question}
\section{付録}\label{付録}

\subsection{プログラム「手入力」}\label{プログラム「手入力」}
プログラムを作るためには，単位元$e$を0,その他の群の要素$a,b,c$を1,2,3で表す．演算$ab=c$は，配列を用いて$F(1,2)=3$で表現する．配列$F(I,J)$は，要素$I$と要素$J$の演算を表す．したがって，配列$F(I,J)$は群表を表すことになる．結合則$(ab)c=a(bc)$が成り立つかどうかは，$F(F(1,2),3)=F(1,F(2,3))$が成り立つかどうかを調べることでわかる．．逆に結合則が成り立つように，群表を作るためには，$F(4,1)$が決まっていないとき，$F(1,2)=4$，$F(1,F(2,3))$が確定しているとするとし，$F(F(1,2),3)=F(1,F(2,3))$を利用して，$F(4,3)$を決めることができる．
このプログラムはデータファイル"15(84)12.dat"から，未完成の群表（未完成の部分には数字20が入っている）を読み込みと，数を入力することを要求してくるので，0〜15までの適当な整数を入力する．これは，整数20である配列要素$F(I,J)$の添え字$I$が最も小さいものの中で添え字$J$も最も小さい配列要素に代入される．結合則を満たすように20が入っているいくつかの配列要素に0〜15の整数が代入される．群表が完成するとファイル"76.DAT"に出力されて終わる．そうでないときは再び，数の入力が要求される．群表が完成するまでこれが繰り返される．入力した数では，結合則を満たさないときは，「IMPOSSIBLE　　F(3,4)　=　2」のように表示されるので，2とは異なる整数を入力する．プログラムを終了したいときは，入力を促されたときに100を入力する．途中経過はファイル"DUMMY.DAT"に出力される．


\begin{verbatim}

KET4NEC.BAS
DIM F(15,15)

OPEN "D:15(84)12.Dat" FOR INPUT AS #1
FOR L= 0 TO 15
FOR M = 0 TO 15
INPUT #1, F(M, L)
NEXT M
NEXT L
CLOSE #1

OPEN "D:\71.Dat" FOR OUTPUT AS #2

GOTO 100

200 OPEN "D:\76.Dat" FOR INPUT AS #1
FOR L= 0 TO 15
FOR M = 0 TO 15
INPUT #1, F(M, L)
NEXT M
NEXT L
CLOSE #1

100 :
FOR I = 0 TO 15
FOR J = 0 TO 15

IF F(I, J) = 20 THEN
FOR L = 0 TO 15
FOR M = 0 TO 15
PRINT USING "####"; F(L, M);
NEXT M
PRINT
NEXT L


PRINT "IF YOU WANT TO QUIT, INPUT 100"
PRINT "F(", I, ",", J, ")="
INPUT F(I, J)
IF F(I, J) = 100 THEN END
IC = 1
DO
ICI = IC

FOR A = 0 TO 15
FOR B = 0 TO 15
FOR C = 0 TO 15
IF F(A, F(B, C)) <> F(F(A, B), C) THEN
IF F(A, B) < 20 THEN
IF F(B, C) < 20 THEN

IF F(F(A, B), C) = 20 THEN
F(F(A, B), C) = F(A, F(B, C))
IC = IC + 1
END IF

IF F(A, F(B, C)) = 20 THEN
F(A, F(B, C)) = F(F(A, B), C)
IC = IC + 1
END IF

END IF
END IF
END IF

NEXT C
NEXT B
NEXT A

OPEN "D:\DUMMY.Dat" FOR OUTPUT AS #1
FOR L = 0 TO 15
FOR M = 0 TO 15
PRINT #1, USING "####"; F(L, M);
NEXT M
PRINT
NEXT L
CLOSE #1

FOR A = 0 TO 15
FOR B = 0 TO 15
FOR C = 0 TO 15
IF F(B, C) < 20 AND F(A, B) < 20 AND F(A, F(B, C)) < 20
AND F(F(A, B), C) < 20 THEN
IF F(A, F(B, C)) <> F(F(A, B), C) THEN
PRINT #2, USING "####"; A; B; C; F(F(A, B), C); F(A, F(B, C))
PRINT "IMPOSSIBLE F(", I, ",", J; ") = ", F(I, J)
GOTO 200
END IF
END IF
NEXT C
NEXT B
NEXT A

LOOP WHILE IC > ICI

OPEN "D:\76.Dat" FOR OUTPUT AS #1
FOR L = 0 TO 15
FOR M = 0 TO 15
PRINT #1, USING "####"; F(L, M);
NEXT M
PRINT
NEXT L
CLOSE #1
END IF
NEXT J
NEXT I
CLOSE #2
END
\end{verbatim}
\subsection{プログラム「自動」}\label{プログラム「自動」}


kasub804.bas

\begin{verbatim}

DECLARE SUB OUTDT2 (N23, F() AS INTEGER)
DECLARE SUB INDAT (N23, F() AS INTEGER)
DECLARE SUB INDAT2 (N23, F() AS INTEGER, FTMP() AS INTEGER)
DECLARE SUB OUTDT (N23, F() AS INTEGER, FTMP() AS INTEGER)
DECLARE SUB MONIT (N23, F() AS INTEGER)
DECLARE SUB NEXTFIJ (FIJ, PFIJ, I, J, N23, F() AS INTEGER)
DECLARE SUB MKTBL (N23, F() AS INTEGER, IC)
DECLARE SUB CHKTBL (N23, IP, F() AS INTEGER)
DECLARE SUB CHK30 (I30, N23, F() AS INTEGER)
DECLARE SUB CHKSUM (I30, IP, ISUM, N23, IEXIT, F() AS INTEGER)
CONST WRKDIM% = 35
CONST N23% = 23
CONST NI% = 35
'You must set N23 <= WRKDIM
CONST INFILE$ = "test.DAT"
CONST FINAL = "FINAL2.DAT"
DIM F(WRKDIM, WRKDIM) AS INTEGER
DIM FDUMMY(N23, N23) AS INTEGER
DIM FTMP(N23, N23) AS INTEGER
DIM FTMP1(N23, N23) AS INTEGER
'DIM IIJF(NI), JIJF(NI)
CLS
FCNT = 0
FCNT1 = 1
FOR A = 0 TO N23
FOR B = 0 TO N23
FDUMMY(A, B) = -1
NEXT B
NEXT A
OPEN FINAL FOR OUTPUT AS #2
IF N23 > WRKDIM THEN
PRINT "You must replace N23 by the number <=", WRKDIM
END
END IF
ISTART = 0
INUMBER = 0
IB = 1
IP = 0
FIJI1 = 0

OPEN INFILE FOR INPUT AS #1
INDAT N23, FTMP1()
CLOSE #1

INDAT2 N23, F(), FTMP1()

FOR A = 0 TO N23
FOR B = 0 TO N23
IF F(A, B) = 30 THEN
IMIN = A
JMIN = B
GOTO 1000
END IF
NEXT B
NEXT A
1000 :


'FIJ = FIJI1 - 1

DO
IB = 1
DO
IF IB = 1 THEN

FIJ = F(IMIN, JMIN) - 1

IFIJ = 23
JFIJ = 23

IF INUMBER = O AND ISTART = 0 THEN
FIJ = FIJI1 - 1
END IF
IB = 0
INDAT2 N23, F(), FTMP1()


OUTDT N23, F(), FTMP()

END IF


INDAT2 N23, F(), FTMP()


FOR I = 0 TO N23
FOR J = 0 TO N23
IF F(I, J) = 30 THEN
IF I > IFIJ OR J > JFIJ THEN FIJ = FDUMMY(I, J) - 1
IF FIJ < -1 THEN FIJ = -1

MONIT N23, F()
PRINT IFIJ, JFIJ

IF IP = 0 THEN
DO
NEXTFIJ FIJ, PFIJ, I, J, N23, F()
LOOP WHILE PFIJ = 0
PRINT "TRY F("; I; ","; J; ") = "; FIJ
END IF

IF IP = 1 THEN
PRINT "IMPOSSIBLE F("; I; ","; J; ") = "; FIJ
DO
NEXTFIJ FIJ, PFIJ, I, J, N23, F()
LOOP WHILE PFIJ = 0
PRINT "TRY ANOTHER NUMBER F("; I; ","; J; ") = "; FIJ
END IF

IF FIJ > N23 THEN
MONIT N23, FDUMMY()
PRINT "IMPOSSIBLE F("; I; ","; J; ") = "; FIJ; "more than", N23
IF I = IMIN AND J = JMIN THEN
PRINT "NO MORE END", I, J, FIJ
PRINT "IMIN JIMN", IMIN, JMIN
END
END IF

IB = 1
FDUMMY(I, J) = -1
FOR A = N23 TO 1 STEP -1
FOR B = N23 TO 1 STEP -1
IF FDUMMY(A, B) > -1 THEN
FDUMMY(A, B) = FDUMMY(A, B) + 1
IF A = IMIN AND B = JMIN THEN
FDTMP = FDUMMY(A, B)
FOR C = 1 TO N23
FOR D = 1 TO N23
FDUMMY(C, D) = -1
NEXT D, C
F(IMIN, JMIN) = FDTMP

FDUMMY(IMIN, JMIN) = FDTMP
ISTART = 1
END IF
GOTO FDUPEND
END IF
NEXT B, A
FDUPEND:

MONIT N23, FDUMMY()

IF FDUMMY(IMIN, JIMN) > N23 THEN
PRINT "DONE"
END
END IF
GOTO 300
END IF

F(I, J) = FIJ


IC = 1

DO
ICI = IC
'adding new elements to the table
MKTBL N23, F(), IC

IP = 0
'checking associative law
CHKTBL N23, IP, F()
IF IP = 1 THEN EXIT DO
LOOP WHILE IC > ICI
IFIJ = I
JFIJ = J
IF IP = 1 THEN GOTO 300
FDUMMY(I, J) = FIJ
OUTDT N23, F(), FTMP()


END IF

NEXT J
NEXT I
300 :
I30 = 0
CHK30 I30, N23, F()
'Checking whether elements are 30 or not

ISUM = 1
CHKSUM I30, IP, ISUM, N23, IEXIT, F()
IF IEXIT = 1 THEN GOTO 400
'Checking the sum of a column or a row
LOOP UNTIL I30 = 0 AND IP = 0 AND ISUM = 0

400 :
IEXIT = 0
OUTDT N23, F(), FTMP()
MONIT N23, F()
PRINT IFIJ, JFIJ
IF ISUM = 1 THEN
PRINT "FAIL"

ELSE
PRINT "COMPLETE"
INUMBER = INUMBER + 1
PRINT #2, INUMBER
OUTDT2 N23, F()
END IF

FOR A = N23 TO 1 STEP -1
FOR B = N23 TO 1 STEP -1
IF FDUMMY(A, B) > -1 THEN
FDUMMY(A, B) = FDUMMY(A, B) + 1
IMIN1 = A
JMIN1 = B
GOTO FDUPEND1
END IF
NEXT B, A
FDUPEND1:
IF IMIN1 = IMIN AND JMIN1 = JMIN THEN
ISTART = 1
F(IMIN, JMIN) = FDUMMY(IMIN, JMIN)
END IF
IF FDUMMY(IMIN, JMIN) > N23 THEN
PRINT "nothing left. End"
END
END IF
IF INKEY$ = "q" THEN
PRINT "YAMERU"
END
END IF
LOOP WHILE IB < 1
CLOSE #2
END

SUB CHK30 (I30, N23, F() AS INTEGER)
FOR A = 0 TO N23
FOR B = 0 TO N23
IF F(A, B) = 30 THEN I30 = 1
NEXT B
NEXT A

END SUB

SUB CHKSUM (I30, IP, ISUM, N23, IEXIT, F() AS INTEGER)
IF I30 = 0 THEN
ISUM = 0
FOR B = 0 TO N23
SUM = 0
FOR A = 0 TO N23
SUM = SUM + F(A, B)
NEXT A
IF SUM <> N23 * (N23 + 1) / 2 THEN ISUM = 1
NEXT B
FOR A = 0 TO N23
SUM = 0
FOR B = 0 TO N23
SUM = SUM + F(A, B)
NEXT B
IF SUM <> N23 * (N23 + 1) / 2 THEN ISUM = 1
NEXT A
IF ISUM = 1 AND IP = 0 THEN IEXIT = 1
END IF

END SUB


SUB CHKTBL (N23, IP, F() AS INTEGER)
FOR A = 0 TO N23
FOR B = 0 TO N23
FOR C = 0 TO N23
IF F(B, C) < 30 AND F(A, B) < 30 AND F(A, F(B, C)) < 30 AND F(F(A, B), C) < 30 THEN
IF F(A, F(B, C)) <> F(F(A, B), C) THEN
IP = 1
END IF
END IF
NEXT C
NEXT B
NEXT A

END SUB


SUB INDAT (N23, F() AS INTEGER)

FOR M = 0 TO N23
FOR A = 0 TO N23
INPUT #1, F(M, A)
NEXT A
NEXT M

END SUB


SUB INDAT2 (N23, F() AS INTEGER, FTMP() AS INTEGER)

FOR M = 0 TO N23
FOR A = 0 TO N23
F(A, M) = FTMP(A, M)
NEXT A
NEXT M

END SUB


SUB MKTBL (N23, F() AS INTEGER, IC)
FOR A = 0 TO N23
FOR B = 0 TO N23
FOR C = 0 TO N23
IF F(A, F(B, C)) <> F(F(A, B), C) THEN
IF F(A, B) < 30 THEN
IF F(B, C) < 30 THEN

IF F(F(A, B), C) = 30 THEN
F(F(A, B), C) = F(A, F(B, C))
IC = IC + 1
END IF
IF F(A, F(B, C)) = 30 THEN
F(A, F(B, C)) = F(F(A, B), C)
IC = IC + 1
END IF

END IF
END IF
END IF

NEXT C
NEXT B
NEXT A

END SUB


SUB MONIT (N23, F() AS INTEGER)
FOR L = 0 TO N23
FOR A = 0 TO N23
PRINT USING "###"; F(L, A);
NEXT A
PRINT
NEXT L

END SUB


SUB NEXTFIJ (FIJ, PFIJ, I, J, N23, F() AS INTEGER)

FIJ = FIJ + 1
PFIJ = 1
FOR A = 0 TO I - 1
IF F(A, J) - FIJ = 0 THEN PFIJ = 0
NEXT A
FOR A = I + 1 TO N23
IF F(A, J) - FIJ = 0 THEN PFIJ = 0
NEXT A

FOR B = 0 TO J - 1
IF F(I, B) - FIJ = 0 THEN PFIJ = 0
NEXT B
FOR B = J + 1 TO N23
IF F(I, B) - FIJ = 0 THEN PFIJ = 0
NEXT B

END SUB


SUB OUTDT (N23, F() AS INTEGER, FTMP() AS INTEGER)

FOR L = 0 TO N23
FOR A = 0 TO N23

FTMP(A, L) = F(A, L)

NEXT A
NEXT L

END SUB


SUB OUTDT2 (N23, F() AS INTEGER)

FOR L = 0 TO N23
FOR A = 0 TO N23
PRINT #2, USING "###"; F(L, A);
NEXT A
PRINT #2,
NEXT L

END SUB
\end{verbatim}
\subsection{プログラム「位数」}\label{プログラム「位数」}


isuu3.bas
\begin{verbatim}

DECLARE SUB INDAT (N23, F() AS INTEGER)
DECLARE SUB OUTDT (N23, F() AS INTEGER)

DECLARE SUB MONIT (N23, F() AS INTEGER)
CONST N23% = 23


DIM FRUI(N23, N23), FISU(N23)
DIM FRUI1(N23, N23)
DIM F(N23, N23) AS INTEGER
DIM ICOUNT(N23 + 1) AS INTEGER
ILAST = -9
DO
CLS
FILES "*.DAT"
INPUT "File Name for Input"; INFILE$
OPEN INFILE$ FOR INPUT AS #1
INDAT N23, F()
CLOSE #1

MONIT N23, F()
INPUT "File Name for Output"; OUTFILE$
OPEN OUTFILE$ FOR OUTPUT AS #2
OUTDT N23, F()
FOR I = 1 TO N23
FOR I2 = 1 TO N23
FRUI(I, I2) = 0
FRUI1(I, I2) = 0
NEXT I2
ISU(II) = 0
NEXT I
FOR I = 1 TO N23
II = F(I, I)
FRUI(I, 1) = I
FRUI1(I, I) = I
IF II = 0 THEN
FISU(I) = 2
ELSE
IC = 1
DO
IC = IC + 1
III = F(I, II)
FRUI(I, IC) = II
FRUI1(I, II) = I
II = III
LOOP UNTIL II = 0
FISU(I) = IC + 1
END IF
NEXT I

FOR K = N23 + 1 TO 1 STEP -1
FOR I = 1 TO N23

IF FISU(I) = K THEN
IC = 0
FOR J = 1 TO N23
IF FRUI(I, J) > 0 THEN
IC = IC + 1
IF IC = 1 THEN
PRINT #2, USING "###"; FISU(I); FRUI(I, J);
PRINT USING "###"; FISU(I); FRUI(I, J);
ELSE
PRINT #2, USING "###"; FRUI(I, J);
PRINT USING "###"; FRUI(I, J);
END IF
END IF
NEXT J
PRINT #2, " -9"
PRINT " -9"
END IF
NEXT I, K
FOR K = N23 + 1 TO 1 STEP -1
FOR I = 1 TO N23

IF FISU(I) = K THEN
IC = 0
FOR J = 1 TO N23
IF FRUI1(I, J) = I THEN
IC = IC + 1
IF IC = 1 THEN
PRINT #2, USING "###"; FISU(I); FRUI(I, 1); J;
PRINT USING "###"; FISU(I); FRUI(I, 1); J;
ELSE
PRINT #2, USING "###"; J;
PRINT USING "###"; J;
END IF
END IF
NEXT J
PRINT #2, " -9"
PRINT " -9"
END IF

NEXT I, K


FOR I = 1 TO N23 + 1
ICOUNT(I) = 0
NEXT I
FOR I = 1 TO N23
FOR K = 1 TO N23 + 1
IF FISU(I) = K THEN ICOUNT(K) = ICOUNT(K) + 1
NEXT K, I
FOR K = 1 TO N23 + 1
IF ICOUNT(K) <> 0 THEN
PRINT #2, USING "###"; K; ICOUNT(K); ILAST
PRINT USING "###"; K; ICOUNT(K); ILAST
END IF
NEXT K
CLOSE #2

INPUT "If you want to quit, please input E or e"; Cont$

LOOP UNTIL Cont$ = "E" OR Cont$ = "e"


END

SUB INDAT (N23, F() AS INTEGER)

FOR M = 0 TO N23
FOR A = 0 TO N23
INPUT #1, F(M, A)
NEXT A
NEXT M

END SUB

SUB MONIT (N23, F() AS INTEGER)
FOR L = 0 TO N23
FOR A = 0 TO N23
PRINT USING "###"; F(L, A);
NEXT A
PRINT
NEXT L

END SUB

SUB OUTDT (N23, F() AS INTEGER)

FOR L = 0 TO N23
FOR A = 0 TO N23
PRINT #2, USING "###"; F(L, A);
NEXT A
PRINT #2,
NEXT L



END SUB

\end{verbatim}
\subsection{プログラム「同型」}\label{プログラム「同型」}


dokei87.bas

\begin{verbatim}

DECLARE SUB INDAT (N23, F() AS INTEGER)
DECLARE SUB OUTDT (N23, F() AS INTEGER)
DECLARE SUB TRANS (N23, K, IA(), F() AS INTEGER, FTMP() AS INTEGER)
DECLARE SUB MONIT (N23, F() AS INTEGER)
CONST N23% = 15
CONST FMAX = 2
CONST INFILE1$ = "KK1.DAT"
CONST INFILE2$ = "KK3.DAT"
CONST OUTFILE$ = "13.DAT"
DIM F1(N23, N23) AS INTEGER
DIM F(N23, N23) AS INTEGER
DIM IA(N23, 2)
DIM FTMP(N23, N23) AS INTEGER
DIM FTMP1(N23, N23) AS INTEGER
DIM FTMP2(N23, N23) AS INTEGER
DIM I1(FMAX), J1(FMAX), FACT(FMAX)
FOR I = 1 TO FMAX
READ FACT(I)
NEXT I
DATA 8,7
CLS
'DO


OPEN INFILE1$ FOR INPUT AS #1
INDAT N23, F()
CLOSE #1

OPEN INFILE2$ FOR INPUT AS #1
INDAT N23, F1()
CLOSE #1
MONIT N23, F()
INPUT "OK? Input OK"; OK$
IF OK$ <> "OK" AND OK$ <> "ok" THEN END
MONIT N23, F1()
INPUT "OK? Input OK"; OK$
IF OK$ <> "OK" AND OK$ <> "ok" THEN END

OPEN OUTFILE$ FOR OUTPUT AS #2

FOR J = 1 TO 2
FOR I = 1 TO N23
READ IA(I, J)
NEXT I, J

' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 15 16 17 18 19 20 21 22 23
DATA 1, 3, 5, 7, 9,11,13,15, 2, 4, 6, 8,10,12,14
DATA 1, 3, 5, 7, 8,10,12,14, 2, 4, 6, 9,11,13,15

I1(1) = 1
J1(1) = FACT(1)

FOR I = 2 TO FMAX
I1(I) = J1(I - 1) + 1
J1(I) = J1(I - 1) + FACT(I)
NEXT I

K = 1
TRANS N23, K, IA(), F(), FTMP()
K = 2
TRANS N23, K, IA(), F1(), FTMP2()

OUTDT N23, FTMP()
OUTDT N23, FTMP2()
OPEN "FCT8.DAT" FOR INPUT AS #3
OPEN "FCT7.DAT" FOR INPUT AS #4
'OPEN "FACT3.DAT" FOR INPUT AS #5
'OPEN "FACT4.DAT" FOR INPUT AS #6

K = 2
I2 = 1
I3 = 1
I4 = 1
I5 = 1
IC = 0

DO
IC = IC + 1
FOR I = 1 TO FMAX


SELECT CASE I
CASE 1
IF EOF(3) = -1 THEN
CLOSE (3)
I2 = 1
OPEN "FCT8.DAT" FOR INPUT AS #3
END IF
FOR FA = 1 TO FACT(I)
INPUT #3, IA(FA, 2)
NEXT FA

CASE 2
IF EOF(4) = -1 THEN
CLOSE (4)
PRINT "It's over."
END
I3 = 1
OPEN "FCT7.DAT" FOR INPUT AS #4
END IF
IF I2 = 1 THEN
FOR FA = I1(I) TO J1(I)
INPUT #4, IA(FA, 2)
NEXT FA
FOR FA = I1(I) TO J1(I)
IA(FA, 2) = IA(FA, 2) + I1(I) - 1
NEXT FA
PRINT
END IF
I2 = 0
CASE 3
IF EOF(5) = -1 THEN
CLOSE (5)
I4 = 1
OPEN "FACT3.DAT" FOR INPUT AS #5
END IF
IF I3 = 1 THEN
FOR FA = I1(I) TO J1(I)
INPUT #5, IA(FA, 2)
NEXT FA
FOR FA = I1(I) TO J1(I)
IA(FA, 2) = IA(FA, 2) + I1(I) - 1
NEXT FA
END IF
I3 = 0
CASE 4
IF EOF(6) = -1 THEN
CLOSE (6)
I5 = 1
OPEN "FACT4.DAT" FOR INPUT AS #6
END IF
IF I4 = 1 THEN
FOR FA = I1(I) TO J1(I)
INPUT #6, IA(FA, 2)
NEXT FA
FOR FA = I1(I) TO J1(I)
IA(FA, 2) = IA(FA, 2) + I1(I) - 1
NEXT FA
END IF
I4 = 0

CASE 5
IF EOF(7) = -1 THEN
CLOSE (7)
PRINT "It is over"
END
I6 = 1
OPEN "FACT4.DAT" FOR INPUT AS #3
END IF
IF I5 = 1 THEN
FOR FA = I1(I) TO J1(I)
INPUT #7, IA(FA, 2)
NEXT FA
FOR FA = I1(I) TO J1(I)
IA(FA, 2) = IATMP(FA, 2) + I1(I) - 1
NEXT FA
END IF
I5 = 0

END SELECT
NEXT I
TRANS N23, K, IA(), FTMP2(), FTMP1()

IFAIL = 1
FOR B = 0 TO N23
FOR A = 0 TO N23
IF FTMP(A, B) <> FTMP1(A, B) THEN
IFAIL = 0
GOTO TUGI
END IF
NEXT A, B
IF IFAIL = 1 THEN
PRINT "Transfomation Successful!"
PRINT
PRINT #2,
FOR I = 0 TO N23
PRINT #2, IA(I, 2);
PRINT IA(I, 2);
NEXT I
END
END IF
TUGI:
IF IC MOD 100 = 1 THEN PRINT IC
LOOP UNTIL EOF(4) = -1
CLOSE #2

END


SUB INDAT (N23, F() AS INTEGER)

FOR M = 0 TO N23
FOR A = 0 TO N23
INPUT #1, F(M, A)
NEXT A
NEXT M

END SUB


SUB MONIT (N23, F() AS INTEGER)
FOR L = 0 TO N23
FOR A = 0 TO N23
PRINT USING "###"; F(L, A);
NEXT A
PRINT
NEXT L

END SUB


SUB OUTDT (N23, F() AS INTEGER)

FOR L = 0 TO N23
FOR A = 0 TO N23
PRINT #2, USING "###"; F(L, A);
NEXT A
PRINT #2,
NEXT L

END SUB


SUB TRANS (N23, K, IA(), F() AS INTEGER, FTMP() AS INTEGER)
DIM Itmp(N23)

FOR J = 0 TO N23
FOR I = 0 TO N23
FTMP(I, J) = F(IA(I, K), IA(J, K))
NEXT I, J

FOR A = 0 TO N23
Itmp(FTMP(0, A)) = A
NEXT A

FOR A = 0 TO N23
FOR B = 0 TO N23
FTMP(A, B) = Itmp(FTMP(A, B))
NEXT B
NEXT A

END SUB

\end{verbatim}
\subsection{プログラム「順列を作る」}\label{プログラム「順列を作る}

プログラム「同型」を走らせるためには順列が作られなければならない。\\
それを作るためのプログラムである。
\\
\\
fctnew.bas\\

\begin{verbatim}

DIM IA(N23)
OPEN "FCT4.DAT" FOR OUTPUT AS #1
FCT& = 1
INUMBER& = 0
FOR A = 1 TO N23
IA(A) = 1
FCT& = FCT& * A
NEXT A
PRINT FCT&
DO
NFCT = 1
IA(N23) = IA(N23) + 1
FOR A = N23 TO 1 STEP -1
IF IA(A) > N23 THEN
IA(A) = 1
IA(A - 1) = IA(A - 1) + 1
END IF
NEXT A
IF IA(0) >= 1 THEN
PRINT "END"
END
END IF
FOR A = 1 TO N23 - 1
FOR B = A + 1 TO N23
IF IA(A) = IA(B) THEN
NFCT = 0
GOTO DERU
END IF
NEXT B
NEXT A
DERU:
IF NFCT = 1 THEN
INUMBER& = INUMBER& + 1
FOR A = 1 TO N23
PRINT #1, USING "##"; IA(A);
PRINT USING "##"; IA(A);
NEXT A
PRINT #1,
PRINT
END IF
LOOP UNTIL INUMBER& = FCT&
CLOSE #1

\end{verbatim}

\pagenumbering{roman}
\setcounter{page}{1}
\setcounter{tocdepth}{3}
\tableofcontents
\end{document}