\documentclass[b5paper,10pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\begin{document}
\begin{math}
§§1~~データの整理\\[0.2cm]
§1~~１変量の場合\\[0.2cm]
~~~~~1.~~度数分布\\[0.2cm]
~~~~~2.~~モーメント\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
定義~~~n~個の測定値~x_1,~x_2, \cdots x_n~の平均値~\bar{x}~とは、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~\bar{x}=\displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}
\sum^{n}_{\nu=1}x_{\nu}\\[0.2cm]
~~~~~をいう。\\
\\
定義~~~n~個の測定値~x_1,~x_2, \cdots x_n~の分散~s^2=s^2(x)=s(x,x)=s_{xx}~とは、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~s^2=\displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}
\sum^{n}_{\nu=1}(x_{\nu}-\bar{x})^2\\[0.2cm]
~~~~~をいう。\\
\\
定義~~~n~個の測定値~x_1,~x_2, \cdots x_n~の標準偏差~s=s(x)~とは、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~s=\sqrt{s^2}\\[0.2cm]
~~~~~をいう。\\
\\
問~~次のデータの平均値、分散、標準偏差を求めよ。\\[0.2cm]
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
x &$x_1$&$x_2$&$x_3$&$ x_4$ & $x_5$ & $x_6$ & $x_7$
& $x_8$& $x_9$ & $x_{10}$\\\hline
& 3 & 2 & 5 & 4 & 4 & 8 & 1&7&9&6\\
\\
\end{tabular}
\\
答~~~\bar{x}=4.9~~~s^2=60.9~~~s=7.8038\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
命題~~~~~~~~s^2= \genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}
\sum^{n}_{\nu=1}x^2_{\nu}-\bar{x}^2\\[0.2cm]
証明~~~s^2=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}
\sum^{n}_{\nu=1}(x_{\nu}-\bar{x})^2
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}
\sum^{n}_{\nu=1}(x^2_{\nu}-2\bar{x}x_{\nu}+\bar{x}^2)\\[0.2cm]
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}
\sum^{n}_{\nu=1}x^2_{\nu}-2\bar{x}\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum^{n}_{\nu=1}x_{\nu}
+\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}n\bar{x}^2
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}
\sum^{n}_{\nu=1}x^2_{\nu}-2\bar{x}^2+\bar{x}^2=
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}
\sum^{n}_{\nu=1}x^2_{\nu}-\bar{x}^2\\[0.2cm]
証明終\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
§２~~２変量の場合\\[0.2cm]
定義~~~二つの変量~X,~Y~の~n~組の測定値\\[0.2cm]
~~~~~~(x_1,y_1),~(x_2,y_2),~\cdots~(x_n,y_n),~\\[0.2cm]
が与えられているとき、\\[0.2cm]
その共分散~S_{xy}~とは\\[0.2cm]
~~~~~~~S_{xy}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum^{n}_{\nu=1}
(x_{\nu}-\bar{x})(y_{\nu}-\bar{y})\\[0.2cm]
をいう。\\
\\[0.2cm]
命題~~~~~~~~S_{xy}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum^{n}_{\nu=1}
x_{\nu}y_{\nu}-\bar{x}\bar{y}\\[0.2cm]
証明~~~S_{xy}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum^{n}_{\nu=1}
(x_{\nu}y_{\nu}-\bar{x}y_{\nu}-\bar{y}x_{\nu}+\bar{x}\bar{y})
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum^{n}_{\nu=1}
x_{\nu}y_{\nu}-\bar{x}\bar{y}-\bar{y}\bar{x}+\bar{x}\bar{y}
\\
~~~~~~~~~~=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum^{n}_{\nu=1}x_{\nu}y_{\nu}
-\bar{x}\bar{y}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~証明終\\[0.2cm]
\\
定義~~~二つの変量~X,~Y~の~n~組の測定値\\[0.2cm]
~~~~~~(x_1,y_1),~(x_2,y_2),~\cdots~(x_n,y_n),~\\[0.2cm]
が与えられているとき、（S_{xx} \ne 0~~のとき）\\[0.2cm]
その相関係数~r=r_{xy}~とは\\[0.2cm]
~~~~~~~r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}\\[0.2cm]
をいう。\\
\\[0.2cm]
\\
~~~~~2.~~回帰\\
\\
命題~~~二つの変量~X,~Y~の~n~組の測定値\\[0.2cm]
~~~~~~(x_1,y_1),~(x_2,y_2),~\cdots~(x_n,y_n),~\\[0.2cm]
の相関図に、直線~~y=a+bx~~を次のようにひく。\\[0.2cm]
~~~点~P_{\nu}(x_{\nu},~y_{\nu})~~を通って~~y~軸に平行線を引き、
直線~~y=a+bx~~と交わ\\[0.2cm]
る点を~Q_{\nu}(x_{nu},~a+bx_{nu})~とする。この時、\\[0.2cm]
~~~~~~~S=\sum^n_{\nu=1}P_{\nu}Q_{\nu}^2=\sum^n_{n=1}(y_{\nu}-a-bx_{\nu})^2~~を最小にする~~a~~と~~b~~は次で与えられる。\\[0.2cm]
\\
~~~~~b=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{S_{xy}}{S_{xx}}\\[0.2cm]
~~~~~a=\bar{y}-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{S_{xy}}{S_{xx}}\bar{x}=\bar{y}-b\bar{x}\\[0.2cm]
\\
証明~~~S=\sum _{\nu}(y_{\nu}-a-bx_{\nu})^2\\[0.2cm]
~~~~=\sum _{\nu}(y_{\nu}-\bar{y}+\bar{y}-a-bx_{\nu}+b\bar{x}-b\bar{x})^2\\[0.2cm]
~~~~=\sum _{\nu}(\{(y_{\nu}-\bar{y})-b(x_{\nu}-\bar{x})\}+\bar{y}-a-b\bar{x})^2\\[0.2cm]
~~~~=\sum _{\nu}\{(y_{\nu}-\bar{y})-b(x_{\nu}-\bar{x})\}^2
+2(\bar{y}-a-b\bar{x})\sum _{\nu}\{(y_{\nu}-\bar{y})-b(x_{\nu}-\bar{x})\}\\[0.2cm]
~~~~~~~+\sum _{\nu}(\bar{y}-a-b\bar{x})^2\\[0.2cm]
\\
この第２項は０になるから\\
\\
~~~~=\sum _{\nu}(y_{\nu}-\bar{y})^2-2b\sum _{\nu}(x_{\nu}-\bar{x})(y_{\nu}-\bar{y})
+b^2\sum _{\nu}(x_{\nu}-\bar{x})^2+n(\bar{y}-a-b\bar{x})^2\\[0.2cm]
~~~~=nS_{yy}-2nbS_{xy}+nb^2S_{xx}+n(\bar{y}-a-b\bar{x})^2\\[0.2cm]
~~~~=n\left\{(\bar{y}-a-b\bar{x})^2+S_{xx}\left(b^2-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{2S_{xy}}{S_{xx}}b\right)+S_{yy}\right\}\\[0.2cm]
~~~~=n\left\{(\bar{y}-a-b\bar{x})^2+S_{xx}\left(b-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{S_{xy}}{S_{xx}}\right)^2+\left(S_{yy}-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{S_{xy}^2}{S_{xx}}\right)\right\}\\[0.2cm]
故に、~~b=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{S_{xy}}{S_{xx}}~~かつ、~~\bar{y}-a-b\bar{x}=0~~のとき、~~S~~の最小値~~n\left(S_{yy}-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{S_{xy}^2}{S_{xx}}\right)~~をとる。\\[0.2cm]
証明終\\[0.2cm]
\\
定義~~~上により出来た直線~~y=a+bx~~を、「Y~の~X~への回帰直線」と言い、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~b~を「Y~の~X~への回帰係数」と言う。\\[0.2cm]
\\
問~~次のデータについて、「Y~の~X~への回帰直線」を求めよ。\\[0.2cm]
~~~~~また、「X~と~Y~との相関係数~r~」を求めよ。\\[0.2cm]
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
&1&2&3&4 &5& 6 &7 & 8& 9 & 10\\\hline
X & 1.1 & 2.1 & 2.9 & 3.9 & 4.9 & 6.2 & 2.2&3.1&4.1&7.0\\\hline
Y & 3.2 & 4.9 & 7.2 & 8.7 & 11.2 & 12.8 & 5.3&6.9&9.2&14.8\\
\end{tabular}
\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
答~~~「Y~の~X~への回帰直線」は、~y=1.0600638468+1.9626496409x,\\[0.2cm]~~~~~r=0.99665093276\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
問~~前問と同じデータにより、「X~の~Y~への回帰直線」を求めよ。\\[0.2cm]
~~~（前問の答~y=1.060+1.963x~を、~x~を縦軸に、~y~を横軸にすれば、\\[0.2cm]
~~~~x=-0.54+0.51y~となるが、これがこの問の答になるだろうか。）\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
答~~~x=-0.51143+0.5061y~~となる。\\[0.2cm]
~~~~~~即ち、前問の答を、~x~を縦軸に、~y~を横軸にしたものとは異なる。\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
定義~~n~個の物のおのおのについて、３種の測定値~X_1,~X_2,~X_3~が与えられている。即ち、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~(x_{11},~x_{21},~x_{31})\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~(x_{12},~x_{22},~x_{32})\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~(x_{13},~x_{23},~x_{33})\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdots\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~(x_{1n},~x_{2n},~x_{3n})\\[0.2cm]
（ここで、何をやっているのか、あまりに抽象的すぎては分らないので、次のことを頭において置けばよい。即ち、~n~個の物~を人間、~X_1~を血圧、~X_2~を身長、~X_3~を体重、と考え、身長と体重によって、血圧を推定出来るか、という問題を考えていると。）\\[0.2cm]
~~~\bar{x}_1~を~x_{1\nu}~の平均値、即ち~\bar{x}_1=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum_{\nu=1}^nx_{1\nu}\\[0.2cm]
~~~\bar{x}_2~を~x_{2\nu}~の平均値、即ち~\bar{x}_2=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum_{\nu=1}^nx_{2\nu}\\[0.2cm]
~~~\bar{x}_3~を~x_{3\nu}~の平均値、即ち~\bar{x}_3=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum_{\nu=1}^nx_{3\nu}\\[0.2cm]
~~~s_{11}~を~x_{1\nu}~の分散、即ち~s_{11}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum_{\nu=1}^n(x_{1\nu}-\bar{x}_1)^2\\[0.2cm]
~~~s_{22}~を~x_{2\nu}~の分散、即ち~s_{22}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum_{\nu=1}^n(x_{2\nu}-\bar{x}_2)^2\\[0.2cm]
~~~s_{33}~を~x_{3\nu}~の分散、即ち~s_{33}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum_{\nu=1}^n(x_{3\nu}-\bar{x}_3)^2\\[0.2cm]
~~~s_{12}=s_{21}~を~x_{1\nu}~と~x_{2\nu}~の共分散、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~即ち~s_{12}=s_{21}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum_{\nu=1}^n(x_{1\nu}-\bar{x}_1)(x_{2\nu}-\bar{x}_2)\\[0.2cm]
~~~s_{13}=s_{31}~を~x_{1\nu}~と~x_{3\nu}~の共分散、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~即ち~s_{13}=s_{31}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum_{\nu=1}^n(x_{1\nu}-\bar{x}_1)(x_{3\nu}-\bar{x}_3)\\[0.2cm]
~~~s_{23}=s_{32}~を~x_{2\nu}~と~x_{3\nu}~の共分散、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~即ち~s_{23}=s_{32}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum_{\nu=1}^n(x_{2\nu}-\bar{x}_2)(x_{3\nu}-\bar{x}_3)\\[0.2cm]
と定義し、また\\[0.2cm]
~~~X_i~と~X_j~の相関係数~r_{ij}~を、\\[0.2cm]
~~~r_{ij}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{s_{ij}}{\sqrt{s_{ii}s_{jj}}}\\[0.2cm]
~~~~と定義する。また、\\[0.2cm]
~~~分散行列~A~を次のように定義する\\[0.2cm]
~~~A=
\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\ s_{21}&s_{22}&s_{23} \\s_{31}&s_{32}&s_{33} \end{pmatrix} \\[0.2cm]
また、~A~の~s_{ij}~余因子を~A_{ij}~と書く。\\[0.2cm]
(即ち、A'_{ij}~を~i~行~j~列を取除いた小行列式とした時、~A_{ij}=(-1)^{i+j}A'_{ij}~)\\[0.2cm]
余因子の定義があやふやな人のために、以下、具体的に書いておく\\[0.2cm]
A_{11}=
\begin{vmatrix}s_{22}&s_{23}\\ s_{32}&s_{33} \end{vmatrix} ,~~
A_{12}=
-\begin{vmatrix}s_{21}&s_{23}\\ s_{31}&s_{33} \end{vmatrix},~~
A_{13}=
\begin{vmatrix}s_{21}&s_{22}\\ s_{31}&s_{32} \end{vmatrix} \\[0.2cm]
A_{21}=
- \begin{vmatrix}s_{12}&s_{13}\\ s_{32}&s_{33} \end{vmatrix} ,~~
A_{22}=
\begin{vmatrix}s_{11}&s_{13}\\ s_{31}&s_{33} \end{vmatrix},~~
A_{23}=
-\begin{vmatrix}s_{11}&s_{12}\\ s_{31}&s_{32} \end{vmatrix} \\[0.2cm]
A_{31}=
\begin{vmatrix}s_{12}&s_{13}\\ s_{22}&s_{23} \end{vmatrix} ,~~
A_{32}=
-\begin{vmatrix}s_{11}&s_{13}\\ s_{21}&s_{23} \end{vmatrix},~~
A_{33}=
\begin{vmatrix}s_{11}&s_{12}\\ s_{21}&s_{22} \end{vmatrix} \\[0.2cm]
\\
命題~~~A_{11}>0~のとき\\[0.2cm]
~~~n~組の測定値~(x_{11},x_{21},x_{31}),~~\cdots~~~(x_{1n},x_{2n},x_{3n})~を三次元のグラフに\\[0.2cm]
次のようにプロットする。\\[0.2cm]
~~~X_1~が上向きの軸になるように、つまり普通のデカルト座標では~Z~軸に\\[0.2cm]
あたる方向の軸になるように取り、\\[0.2cm]
（従って、上に「測定値~(x_{11},x_{21},x_{31}),~~\cdots~~~(x_{1n},x_{2n},x_{3n})~」と\\[0.2cm]
書いたが、実は、測定値~(x_{21},x_{31},x_{11}),~~\cdots~~~(x_{2n},x_{3n},x_{1n})と取る。）\\[0.2cm]
点~P_{\nu}(x_{2\nu},~x_{3\nu},~x_{1\nu})~
を通って~X_1~軸に平行線を引き、その直線が\\[0.2cm]
平面~X_1=a+b_2X_2+b_3X_3~と交わる点を\\[0.2cm]
~Q_{\nu}(x_{2\nu},~x_{3\nu},~a+b_2x_{2\nu}+b_3x_{3\nu})~とする。\\[0.2cm]
このとき、次の~S~を次で定義し、\\[0.2cm]
~~~~S=\sum _{\nu=1}^n P_{\nu}Q_{\nu}^2=\sum _{\nu=1}^n(x_{1\nu}-a-b_2x_{2\nu}-b_3x_{3\nu})^2\\[0.2cm]
この~S~を最小にする~a,~b_2,~b_3~を求めると、\\[0.2cm]
~~~(7)~~~b_2=-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{A_{12}}{A_{11}},~~
b_3=-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{A_{13}}{A_{11}}\\[0.2cm]
~~~(8)~~~a=\bar{x}_1-b_2\bar{x}_2-b_3\bar{x}_3\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
証明~~~まづ~(8)~を示す。\\[0.2cm]
~~~a^2~の係数は正であるから、~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\partial S}{\partial a}=0~なるところが最小。計算する。\\[0.2cm]
~~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\partial S}{\partial a}=0~とおく。\\[0.2cm]
~~~2(-1)\sum _{\nu=1}^n(x_{1\nu}-a-b_2x_{2\nu}-b_3x_{3\nu})=0\\[0.2cm]
~~~\sum _{\nu=1}^nx_{1\nu}-na-b_2\sum _{\nu=1}^nx_{2\nu}-b_3\sum _{\nu=1}^nx_{3\nu}=0\\[0.2cm]
両辺を~n~で割って、\\[0.2cm]
~~~~~\bar{x}_1-a-b_2\bar{x}_2-b_3\bar{x}_3=0\\[0.2cm]
~~\therefore~~~~a=\bar{x}_1-b_2\bar{x}_2-b_3\bar{x}_3\\[0.2cm]
次に~(7)~を示す。\\[0.2cm]
(8)~は示されたから、この~a~を~S~に代入する\\[0.2cm]
~~~S=\sum _{\nu=1}^n(x_{1\nu}-(\bar{x}_1-b_2\bar{x}_2-b_3\bar{x}_3)-b_2x_{2\nu}-b_3x_{3\nu})^2\\[0.2cm]
~~~=\sum _{\nu=1}^n\{(x_{1\nu}-\bar{x}_1)-b_2(x_{2\nu}-\bar{x}_2)-b_3(x_{3\nu}-\bar{x}_3)\}^2\\[0.2cm]
~~~=n\{s_{11}+b^2s_{22}+b^2s_{33}-2b_2s_{12}-2b_3s_{13}+2b_2b_3s_{23}\}\\[0.2cm]
~~~b_2~の係数は正であるから、~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\partial S}{\partial b_2}=0~なるところが最小。計算する。\\[0.2cm]
~~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\partial S}{\partial b_2}=2nb_2s_{22}-2ns_{12}+2nb_3s_{23}=0\\[0.2cm]
~~~b_3~の係数は正であるから、~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\partial S}{\partial b_3}=0~なるところが最小。計算する。\\[0.2cm]
~~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\partial S}{\partial b_3}=2nb_3s_{33}-2ns_{13}+2nb_2s_{23}=0\\[0.2cm]
~~~\therefore~~~s_{22}b_2+s_{23}b_3=s_{12}\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~s_{23}b_2+s_{33}b_3=s_{13}\\[0.2cm]
クラーメルの公式により\\[0.2cm]
~~~b_2=~\genfrac{}{}{0.5pt}{}
{~\begin{vmatrix} s_{12}&s_{23}\\s_{13}&s_{33}\end{vmatrix} \quad
}{~\begin{vmatrix} s_{22}&s_{23}\\s_{23}&s_{33}\end{vmatrix} \quad}\\[0.2cm]
~~~s_{12}=s_{21},~s_{13}=s_{31},~s_{23}=s_{32}~であるから、\\[0.2cm]
~~~b_2=~\genfrac{}{}{0.5pt}{}
{~\begin{vmatrix} s_{21}&s_{23}\\s_{31}&s_{33}\end{vmatrix} \quad
}{~\begin{vmatrix} s_{22}&s_{23}\\s_{32}&s_{33}\end{vmatrix} \quad}\\[0.2cm]
~~~この分子は、分散行列式の第１行と第２列を取除いた行列式である。\\[0.2cm]
~~~余因子行列式の定義からこれは~-A_{12}。\\[0.2cm]
~~~また分母は、分散行列式の第１行と第1列を取除いた行列式である。\\[0.2cm]
~~~余因子行列式の定義からこれは~A_{11}。従って~b_{2}~は、\\[0.2cm]
~~~b_2=-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{A_{12}}{A_{11}}\\[0.2cm]
次に~b_3~も同様にクラーメルを使って、\\[0.2cm]
~~~b_3=~\genfrac{}{}{0.5pt}{}
{~\begin{vmatrix} s_{22}&s_{12}\\s_{23}&s_{13}\end{vmatrix} \quad
}{~\begin{vmatrix} s_{22}&s_{23}\\s_{23}&s_{33}\end{vmatrix} \quad}
=~\genfrac{}{}{0.5pt}{}
{-~\begin{vmatrix} s_{21}&s_{22}\\s_{31}&s_{32}\end{vmatrix} \quad
}{~\begin{vmatrix} s_{22}&s_{23}\\s_{32}&s_{33}\end{vmatrix} \quad}\\[0.2cm]
~~~この分子は、分散行列式の第１行と第3列を取除いた行列式である。\\[0.2cm]
~~~余因子行列式の定義からこれは~-A_{13}~。従って~b_{3}~は、\\[0.2cm]
~~~b_3=-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{A_{13}}{A_{11}}\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
定義~~上の命題によって出来た~b_2~を、「X_1~の~X_2~への偏回帰係数」といい、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~b_3~を、「X_1~の~X_3~への偏回帰係数」という。\\[0.2cm]
~~~また、上の命題によって出来た平面、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~X_1=a+b_2X_2+b_3X_3\\[0.2cm]
~~~~~（或は、~a=\bar{x}_1-b_2\bar{x}_2-b_3\bar{x}_3~~であるから、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~X_1=\bar{x}_1+b_2(X_2-\bar{x}_2)+b_3(X_3-\bar{x}_3)~とも書ける。）\\[0.2cm]
~~~~を、「X_1~の~(X_2,X_3)~への重回帰式」という。\\[0.2cm]
~~~或は、~X_1~がデータと混同しないために、これを~x'_{1・23}~と書き、\\[0.2cm]
~~~また、~X_2~を~x_2,~X_3~を~x_3~と書き、重回帰式を次のようにも書く。\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~x'_{1・23}=\bar{x}_1+b_2(x_2-\bar{x}_2)+b_3(x_3-\bar{x}_3)\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
定義~~「X_1~と~(X_2,X_3)~の重相関係数~r_{1(23)}」とは、~(X_2,X_3)~を、データの数だけ
重回帰式に入れ、~x'_{1・23}~を作り、これと~X_1~のデータを、二変数のデータと考えて、その相関係数を作る。この相関係数を言う。\\[0.2cm]
\\
問~~~(X_1,~X_2,~X_3)~の10個のデータが下記のように与えられいる。\\[0.2cm]
~~~~~X_1,~X_2,~X_3~の平均値と分散行列を求め、\\[0.2cm]
~~~~~「X_1~の~(X_2,X_3)~への重回帰式」を求めよ。\\[0.2cm]
~~~~~また、重相関係数~r_{1(23)}~を求めよ。\\[0.2cm]
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
&1&2&3&4 &5& 6 &7 & 8& 9 & 10\\\hline
$X_1$ & 5 & 3 & 6 & 4 & 8 & 1 & 7 &2 &7 &5\\\hline
$X_2$ & 3.2 & 4.9 & 7.2 & 8.7 & 11.2 & 12.8 & 5.3&6.9&9.2&14.8\\ \hline
$X_3$ &1.1&2.1&2.9&3.9&4.9&6.2&2.2&3.1&4.1&7\\\hline
\end{tabular}
\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
答~~~\bar{x_1}=4.8,~\bar{x_2}=8.42,~\bar{x_3}=3.75\\[0.2cm]
~~~~~分散行列~A~は\\[0.2cm]
A=
\begin{pmatrix}
4.76& -0.376 &-0.45\\[0.2cm]
-0.376 &12.1476& 6.148\\[0.2cm]
-0.45& 6.148& 3.1325\\[0.2cm]
\end{pmatrix} \\[0.2cm]
「X_1~の~(X_2,X_3)~への重回帰式」は、\\[0.2cm]
~X_1=-1.2802293547+6.2439035893X_2-12.398250365X_3\\[0.2cm]
次に、重相関係数~r_{1(23)}~は、まづ~x'_{1・23}~を作り、X_1~との相関係数\\
を求める。\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
\begin{tabular}{c|c|c|}
&$X_1$&$x'_{1・23}$\\\hline
1 & 5 & 5.06218673 \\\hline
2 & 3 & 3.2785724672 \\ \hline
3 & 6 & 7.7209504309 \\ \hline
4 & 4 & 4.6885554503 \\ \hline
5 & 8 & 7.900064059 \\ \hline
6 & 1 & 1.772584328 \\ \hline
7 & 7 & 4.5363088665 \\ \hline
8 & 2 & 3.3681292812 \\ \hline
9 & 7 & 5.3308571721 \\ \hline
10 & 5 & 4.3417912149 \\ \hline
\end{tabular} \\[0.2cm]
\\[0.2cm]
これから、重相関係数~r_{1(23)}~は、\\[0.2cm]
r_{1(23)}=0.82394634963~~~~~~~~~~~~~~~~（解おわり）\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
命題~~~重相関係数~r_{1(23)}~は、次の公式を使えば求まる。\\[0.2cm]
~~~~~r_{1(23)}=\sqrt{1-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{A}{s_{11}A_{11}}}\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
（注意、~A~とは分散行列の行列式のこと。）\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
問~~~この公式を使って、~r_{1(23)}~を求めよ。\\[0.2cm]
解~~~A=0.38893016\\[0.2cm]
A/(s_{11} A_{11})=0.32111241293\\[0.2cm]
\therefore r_{1(23)}=0.82394634963~~~~~~~~~~~~~~~~（解おわり）\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
問~~~上の命題を証明せよ。\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
解~~~x_1~と~x'_{1・23}~の相関係数を求めればよい。\\[0.2cm]
~~~~まず、~x'_{1・23}=\bar{x}_1+b_2(x_2-\bar{x}_2)+b_3(x_3-\bar{x}_3)\\[0.2cm]
の平均値を求める。\\[0.2cm]
~~~\bar{x}'_{1・23}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum\left[\bar{x}_1+b_2(x_2-\bar{x}_2)+b_3(x_3-\bar{x}_3)\right]\\[0.2cm]
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum\bar{x}+\genfrac{}{}{0.5pt}{}{b_2}{n}\sum(x_2-\bar{x}_2)+\genfrac{}{}{0.5pt}{}{b_3}{n}\sum(x_3-\bar{x}_3)=\bar{x}\\[0.2cm]
~~~次に、x_{1}~と~x'_{1・23}~の共分散、~s_{x_{1}x'_{1・23}}~を求める。\\[0.2cm]
s_{x_{1}x'_{1・23}}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum(x_1-\bar{x}_1)(x'_{1・23}-\bar{x}_1)=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum(x_1-\bar{x}_1)\left(b_2(x_2-\bar{x}_2)+b_3(x_3-\bar{x}_3)\right)\\[0.2cm]
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{b_2}{n}\sum(x_1-\bar{x}_1)(x_2-\bar{x}_2)+\genfrac{}{}{0.5pt}{}{b_3}{n}\sum(x_1-\bar{x}_1)(x_3-\bar{x}_3)\\[0.2cm]
=b_2s_{12}+b_3s_{13}\\[0.2cm]
~~~次に、~x'_{1・23}~の分散、~s_{x'_{1・23}x'_{1・23}}~を求める。\\[0.2cm]
s_{x'_{1・23}x'_{1・23}}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum(x'_{1・23}-\bar{x}_1)(x'_{1・23}-\bar{x}_1)\\[0.2cm]
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum(b_2(x_2-\bar{x}_2)+b_3(x_3-\bar{x}_3))(b_2(x_2-\bar{x}_2)+b_3(x_3-\bar{x}_3))\\[0.2cm]
~~~片方の(~~~)の中に、~-(x_1-\bar{x}_1)+(x_1-\bar{x}_1)~を入れて、\\[0.2cm]
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum(b_2(x_2-\bar{x}_2)+b_3(x_3-\bar{x}_3)-(x_1-\bar{x}_1)+(x_1-\bar{x}_1))\\[0.2cm]
(b_2(x_2-\bar{x}_2) +b_3(x_3-\bar{x}_3))\\[0.2cm]
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum(b_2(x_2-\bar{x}_2)+b_3(x_3-\bar{x}_3)-(x_1-\bar{x}_1))(b_2(x_2-\bar{x}_2)+b_3(x_3-\bar{x}_3))\\[0.2cm]
+\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum(x_1-\bar{x}_1)(b_2(x_2-\bar{x}_2)+b_3(x_3-\bar{x}_3))\\[0.2cm]
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum(b_2(x_2-\bar{x}_2)+b_3(x_3-\bar{x}_3)-(x_1-\bar{x}_1))(b_2(x_2-\bar{x}_2))\\[0.2cm]
+\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum(b_2(x_2-\bar{x}_2)+b_3(x_3-\bar{x}_3)-(x_1-\bar{x}_1))(b_3(x_3-\bar{x}_3))\\[0.2cm]
+\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{n}\sum(x_1-\bar{x}_1)(b_2(x_2-\bar{x}_2)+b_3(x_3-\bar{x}_3))\\[0.2cm]
=b_2(b_2s_{22}+b_3s_{23}-s_{21})\\[0.2cm]
+b_3(b_2s_{32}+b_3s_{33}-s_{31})\\[0.2cm]
+b_2s_{12}+b_3s_{13}\\[0.2cm]
~~~8頁の下から4行目の式から、上の式の第1項と第2項は~0~。従って、\\[0.2cm]
~~~~s_{x'_{1・23}x'_{1・23}}=b_2s_{12}+b_3s_{13}\\[0.2cm]
\therefore~~r_{1(23)}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{s_{x_{1}x'_{1・23}}}{\sqrt{s_{11}s_{x'_{1・23}x'_{1・23} }}}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{b_2s_{12}+b_3s_{13}}{\sqrt{s_{11}(b_2s_{12}+b_3s_{13})}}=\sqrt{\genfrac{}{}{0.5pt}{}{b_2s_{12}+b_3s_{13}}{s_{11}}}\\[0.2cm]
ここで、根号の中の分子を別個に計算してみると、\\[0.2cm]
b_2s_{12}+b_3s_{13}=-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{s_{12}A_{12}}{A_{11}}-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{s_{13}A_{13}}{A_{11}}\\[0.2cm]
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{s_{11}A_{11}}{A_{11}}-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{s_{11}A_{11}}{A_{11}}-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{s_{12}A_{12}}{A_{11}}-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{s_{13}A_{13}}{A_{11}}\\[0.2cm]
=s_{11}-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{s_{11}A_{11}+s_{12}A_{12}+s_{13}A_{13}}{A_{11}}\\[0.2cm]
=s_{11}-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{A}{A_{11}}\\[0.2cm]
\therefore~~~r_{1(23)}=\sqrt{1-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{A}{s_{11}A_{11}}}
~~~~~~~~~~~~証明終\\[0.2cm]
\end{math}
\end{document}