\documentclass[b5paper,10pt]{jarticle}
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\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\setcounter{page}{1}
\begin{document}
\begin{math}
§1~~曲線の表し方\\
定義~~\mathbf{e}_1=(1,0,0),~~~\mathbf{e}_2=(0,1,0)
~~~\mathbf{e}_3=(0,0,1)~~~とし、\\[0.2cm]
~~~\mathbf{x}=x_1(t)\mathbf{e}_1+
x_2(t)\mathbf{e}_2+x_3(t)\mathbf{e}_3\\[0.2cm]
が~C^r~級の曲線である、とは、次の三つの条件を満たす
ことを言う。\\[0.2cm]
1)~~~区間~a \leq t \leq b~において一価で連続な関数。\\[0.2cm]
2)~~~区間~a \leq t \leq b~において~r~次の導関数を持ち、これら
がすべて連続。\\[0.2cm]
3)~~~区間~a \leq t \leq b~において~
\displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx_1}{dt},~
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx_2}{dt},
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx_3}{dt}~が
同時には~0~にならない。\\[0.2cm]
定義　おわり。
\\[0.2cm]
例１~~~\mathbf{x}(t)=
a\cos t~\mathbf{e}_1+
a\sin t~\mathbf{e}_2+bt~\mathbf{e}_3\\[0.2cm]
~~~これはつる巻曲線。\\[0.2cm]
例２~~~\mathbf{x}(t)=
a(t-\sin t)~\mathbf{e}_1+
a(1-\cos t)~\mathbf{e}_2\\[0.2cm]
~~~これはサイクロイド。（平面曲線）\\[0.2cm]
例３~~~t \leq 0~~のとき\\[0.2cm]
~~~ \mathbf{x}(t)=t^2~\mathbf{e}_1+
t~\mathbf{e}_2\\[0.2cm]
~~~~~~0 \leq t~~のとき\\[0.2cm]
~~~\mathbf{x}(t)=t~\mathbf{e}_2+
t^2~\mathbf{e}_3\\[0.2cm]
~~~これは上の曲線の条件を満たしている。
また、平面曲線ではない。\\[0.2cm]
定理２ー１\\[0.2cm]
曲線~\mathbf{x}(t)~が平面曲線ならば、\\[0.2cm]
~~~~~~\left| \genfrac{}{}{0.5pt}{}{d}{dt}\mathbf{x},
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d^2}{dt^2}
\mathbf{x}, \genfrac{}{}{0.5pt}{}{d^3}{dt^3}\mathbf{x}
\right|=0\\[0.2cm]
（この逆が成立すれば、判定するのに楽なのだが、これは
成立たない。反例が上の例３。）\\[0.2cm]
証明\\[0.2cm]
\mathbf{x}(t)~が、平面~\mathbf{a} \mathbf{x}=\mathbf{b}
~上にあるとすると、\\[0.2cm]
~~~~~\mathbf{a} \mathbf{x}(t)=\mathbf{b}~~~(\forall t)\\[0.2cm]
\therefore~~
\mathbf{a}\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d}{dt} \mathbf{x}(t)=
\mathbf{0}~~~(\forall t)\\[0.2cm]
\therefore~~
\mathbf{a}\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d^2}{dt^2} \mathbf{x}(t)=
\mathbf{0}~~~(\forall t)\\[0.2cm]
\therefore~~
\mathbf{a}\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d^3}{dt^3} \mathbf{x}(t)=
\mathbf{0}~~~(\forall t)\\[0.2cm]
\mathbf{a}~は勿論\mathbf{0}~ではないから、消去法の原理に
より、\\[0.2cm]
~~~~~~\left| \genfrac{}{}{0.5pt}{}{d}{dt}\mathbf{x},
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d^2}{dt^2}
\mathbf{x}, \genfrac{}{}{0.5pt}{}{d^3}{dt^3}\mathbf{x}
\right|=0~~~~~~証明終り\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
§２~~曲線の接線、接触平面\\[0.2cm]
定義~~~曲線~~C:~~\mathbf{x}=\mathbf{x}(t)
~~~(a \leq t \leq b)\\[0.2cm]
~~~~~~~~~C~上の点~P,~その点を与える~t=t_1~のとき、\\[0.2cm]
~~~~~~~~「P~における接線ベクトル」とは、\\[0.2cm]
~~~~\mathbf{\dot{x}}=
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx_1}{dt}\mathbf{\dot{e_1}}+
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx_2}{dt}\mathbf{\dot{e_2}}+
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx_3}{dt}\mathbf{\dot{e_3}}
=\left.\left( \genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx_1}{dt},~
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx_2}{dt},~
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx_3}{dt}\right) \right|_{t=t_1}\\[0.2cm]
を言う。\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
命題~~~前定義の条件が与えられているとき、\\[0.2cm]
点~P~における接線の方程式は、\\[0.2cm]
~~~~~~\mathbf{x}=\mathbf{x}(t_1)+
r \mathbf{\dot{x}}(t_1)\\[0.2cm]
定義~~~曲線~~C:~~\mathbf{x}=\mathbf{x}(t)
~~~(a \leq t \leq b)\\[0.2cm]
~~~~~~~~~C~上の点~P,~その点を与える~t=t_1~のとき、\\[0.2cm]
~~~~~~~~「P~における~C~の法平面」とは、\\[0.2cm]
~~~~~~~~「P~における接線に垂直な平面」をいう。\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
命題~~~前定義の条件が与えられているとき、\\[0.2cm]
~~~~~~~法平面の方程式は、\\[0.2cm]
~~~~~~~~\mathbf{\dot{x_1}}
\left\{\mathbf{X}-\mathbf{x}(t_1)\right\}=0\\[0.2cm]
問~~~常螺旋~~x_1=a \cos t, x_2=a \sin t,
x_3=bt~~~(a>0, b>0)\\[0.2cm]
の、点~P(t_0)~における接線ベクトルを求めよ。また、\\[0.2cm]
点~P(t_0)~における法平面の方程式を求めよ。\\[0.2cm]
解~~~\left.(x_1', x_2', x_3')\right|_{t=t_0}
=(-a \sin t_0, a \cos t_0, b)\\[0.2cm]
故に接線の方程式は、点(a\cos t_0, a\sin t_0, bt_0) を
通って、\\[0.2cm]
傾き(-a\sin t_0, a\cos t_0, b) なる直線。即ち、\\[0.2cm]
(x_1, x_2, x_3)=(a\cos t_0-ar\sin t_0, a\sin t_0+ar\cos t_0,
bt_0 +rb)\\[0.2cm]
または、\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{x_1-a\cos t_0}{-a\sin t_0}=
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{x_2-a\sin t_0}{a\cos t_0}=
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{x_3-bt_0}{b}\\[0.2cm]
法平面は、点(a\cos t_0, a\sin t_0, bt_0) を
通って、\\[0.2cm]
(-a\sin t_0, a\cos t_0, b)~に垂直な平面。即ち、\\[0.2cm]
(-a\sin t_0, a\cos t_0, b)\left(
(x_1, x_2, x_3) - (a\cos t_0, a\sin t_0, bt_0)
\right) = 0\\[0.2cm]
または、\\[0.2cm]
-a\sin t_0(x_1 - a \cos t_0) + a \cos t_0(x_2 - a \sin t_0)
+b(x_3 -bt) = 0\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~（解終り）\\[0.2cm]
接触平面\\[0.2cm]
定義~~~曲線~~~C: \mathbf{x} = \mathbf{x}(t) が
与えられているとき\\[0.2cm]
C~上の点~\mathbf{x}(t_0)~における
接触平面(osculating plane)~とは、\\[0.2cm]
「\mathbf{x}(t_0)~の近くの二点~\mathbf{x}(t_0+h),~
\mathbf{x}(t_0+k)~をとり、これら三点を通る\\[0.2cm]
平面の、h~と~k~を
ともに~0~に収束させたときの極限の平面」をいう。\\[0.2cm]
\\
命題~~~前定義の条件が与えられているとき、\\[0.2cm]
~~~~~~接触平面の方程式は、（接触平面があるときは）\\[0.2cm]
~~~~~~|\mathbf{x}-\mathbf{x}(t_0), \dot{\mathbf{x}}(t_0),
\ddot{\mathbf{x}}(t_0)| = 0\\[0.2cm]
となる。\\[0.2cm]
証明\\[0.2cm]
\mathbf{x}(t_0),~\mathbf{x}(t_0 +h),~\mathbf{x}(t_0 +k)\\[0.2cm]
を通る平面上の任意の点を\mathbf{X}~とすれば、三つのベクトル\\[0.2cm]
\mathbf{X}-\mathbf{x}(t_0),~\mathbf{x}(t_0 +h) -\mathbf{x}
(t_0),~\mathbf{x}(t_0 +k) -\mathbf{x}(t_0)\\[0.2cm]
は一次従属。\\[0.2cm]
\therefore~~|\mathbf{X}-\mathbf{x}(t_0),~
\mathbf{x}(t_0+h)-\mathbf{x}(t_0),~
\mathbf{x}(t_0+k)-\mathbf{x}(t_0)|=0\\[0.2cm]
平均値の定理により、\\[0.2cm]
\mathbf{x}(t_0+h)-\mathbf{x}(t_0)=
h\dot{\mathbf{x}}(t_0+\theta h)~~~(0 \leq \theta _1 \leq 1)\\[0.2cm]
\mathbf{x}(t_0+k)-\mathbf{x}(t_0)=
k\dot{\mathbf{x}}(t_0+\theta k)~~~(0 \leq \theta _2 \leq 1)\\[0.2cm]
これを代入して~h,~k~で両辺を割ると、\\[0.2cm]
~~~~~|\mathbf{X}-\mathbf{x}(t_0),~\dot{\mathbf{x}}(t_0
+\theta _1h),~\dot{\mathbf{x}}(t_0
+\theta _2k)|=0\\[0.2cm]
\therefore~~~|\mathbf{X}-\mathbf{x}(t_0),~\dot{\mathbf{x}}(t_0
+\theta _1h),~\dot{\mathbf{x}}(t_0
+\theta _2k)-\dot{\mathbf{x}}(t_0
+\theta _1h)|=0\\[0.2cm]
再び平均値の定理により、\\[0.2cm]
\dot{\mathbf{x}}(t_0
+\theta _2k)-\dot{\mathbf{x}}(t_0
+\theta _1h)=(\theta _2k-\theta _1h)\ddot{\mathbf{x}}(t_0+h')~~
(\theta _1h \lesseqgtr h' \lesseqgtr \theta _2k)\\[0.2cm]
\therefore~~~|\mathbf{X}-\mathbf{x}(t_0),~\dot{\mathbf{x}}(t_0
+\theta _1h),~\ddot{\mathbf{x}}(t_0+h')|=0\\[0.2cm]
h,~k \longrightarrow 0~~~とすれば、
~\theta _1h \longrightarrow 0,~~h' \longrightarrow 0~~
より\\[0.2cm]
|\mathbf{X}-\mathbf{x}(t_0),~\dot{\mathbf{x}}(t_0),
~\ddot{\mathbf{x}}(t_0)|=0\\[0.2cm]
これが平面の方程式になっていれば、これが求めるもの。\\[0.2cm]
なっていなければ、点~\mathbf{x}(t_0)~で接触平面は定義され
ない。\\[0.2cm]
注意~~~接触平面は曲線上の非常に近い３点を通る平面の\\[0.2cm]
~~~極限であるから、接触平面と曲線とは「一致した３点\\[0.2cm]
~~~を共存する」という。\\[0.2cm]
~~~同様に、曲線と接線は「一致した２点を共存する」という。\\[0.2cm]
注意~~~接触平面は二つのベクトル~\dot{\mathbf{x}(t_0)}~と~
\ddot{\mathbf{x}(t_0)}~を含む。\\[0.2cm]
~~即ち、\dot{\mathbf{x}}(t_0) \times \ddot{\mathbf{x}}(t_0)~
は接触平面の法線ベクトルである。\\[0.2cm]
注意~~~任意の~t~に対して~\dot{\mathbf{x}(t)}
\times\ddot{\mathbf{x}(t)}=0~ならば、その曲線は直線。\\[0.2cm]
（これはすみ。）\\[0.2cm]
また、~t_0~で~\dot{\mathbf{x}}(t_0)
\times\ddot{\mathbf{x}}(t_0)=0~ならば、\\[0.2cm]
その曲線は、~\mathbf{x}(t_0)~
で接触平面をもたない。\\[0.2cm]
定義~~~C: \mathbf{x}=\mathbf{x}(t)~~曲線、と、その上の
点~P~が与えられているとき、\\[0.2cm]
１~~点~P~における接触平面と法平面との交わりを、主法線\\[0.2cm]
(principal normal)~という。\\[0.2cm]
２~~点~P~を通り接触平面に垂直な直線を従法線（binormal）\\[0.2cm]
という。\\[0.2cm]
３~~点~P~における接線と従法線の定める平面を\\[0.2cm]
展直平面（rectifying plane）という。\\[0.2cm]
命題~~~\\[0.2cm]
１~~従法線の方程式は、~r~をパラメターとして、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~\mathbf{x}=\mathbf{x}(t_0)+r
\left[\dot{\mathbf{x}}(t_0) \times
\ddot{\mathbf{x}}(t_0) \right]\\[0.2cm]
２~~主法線の方程式は、~r~をパラメターとして、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~\mathbf{x}=\mathbf{x}(t_0)+r
\left[(\dot{\mathbf{x}}(t_0) \times
\ddot{\mathbf{x}}(t_0) ) \times \dot{\mathbf{x}}(t_0)
\right]\\[0.2cm]
３~~展直平面の方程式は、\\[0.2cm]
\left[(\dot{\mathbf{x}}(t_0) \times
\ddot{\mathbf{x}}(t_0) ) \times \dot{\mathbf{x}}(t_0)
\right](\mathbf{x}-\mathbf{x}(t_0))=0\\[0.2cm]
証明\\[0.2cm]
前命題の注意から、接触平面の法線ベクトルは\\[0.2cm]
\dot{\mathbf{x}}(t_0) \times \ddot{\mathbf{x}}(t_0)~
であるから、従法線ベクトルは~
\dot{\mathbf{x}}(t_0) \times \ddot{\mathbf{x}}(t_0)\\[0.2cm]
以下は自明。\\[0.2cm]
証明終り\\[0.2cm]
§３~~曲線の長さ\\[0.2cm]
命題~~~曲線~C:~\mathbf{x}=\mathbf{x}(t)
~~~(a \leq t \leq b)~~が与えられているとき、その
長さ~s~は、\\[0.2cm]
~~~~~~~s=\int _a ^b \sqrt{ \dot{\mathbf{x}}(t)
\dot{\mathbf{x}}(t)}dt\\[0.2cm]
証明\\[0.2cm]
a=t_0 < t_1 < t_2 < \cdots <t_{n-1} < t_n=b\\[0.2cm]
のように分割し、\\[0.2cm]
パラメター~t~の値に対応する~C~上の点を、\\[0.2cm]
A=P_0, P_1, P_2, \cdots, p_n=B\\[0.2cm]
とする。\\[0.2cm]
折線~P_0, P_1, \cdots P_n~の長さは、\\[0.2cm]
|P_0P_1|+|P_1P_2|+ \cdots + |P_{n-1}P_n|\\[0.2cm]
=\sum ^n_{k=1} |\mathbf{x}(t_k)-
\mathbf{x}(t_{k-1})|\\[0.2cm]
=\sum ^n_{k=1}\sqrt{\{\mathbf{x}(t_k)-
\mathbf{x}(t_{k-1})\} \{\mathbf{x}(t_k)-
\mathbf{x}(t_{k-1})\}}\\[0.2cm]
t_k~と~t_{k-1}~の間に~\xi _k ~なる値があって、\\[0.2cm]
\mathbf{x}(t_k)-
\mathbf{x}(t_{k-1})=\dot{\mathbf{x}}(\xi_k)
(t_k-t_{k-1})~\\[0.2cm]
と出来るから（平均値の定理）、\\[0.2cm]
=\sum ^n_{k=1}\sqrt{\dot{\mathbf{x}}(\xi_k)・
\dot{\mathbf{x}}(\xi_k)}~~(t_k-t_{k-1}).\\[0.2cm]
\lim _{n\to \infty}\sum ^n_{k=1}\sqrt{\dot{\mathbf{x}}(\xi_k)・
\dot{\mathbf{x}}(\xi_k)}~~(t_k-t_{k-1})
=\int _a^b \sqrt
{\dot{\mathbf{x}}(t) ~\dot{\mathbf{x}}(t)} dt\\[0.2cm]
証明終り\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
定義~~~曲線~C: \mathbf{x}=\mathbf{x}(t)~~a \leq t \leq b\\[0.2cm]
~~~~~が与えられているとき、パラメター~t~が~a~から~t~
まで増すときの\\[0.2cm]
弧の長さ~s(t)~とは、\\[0.2cm]
~~~~~~~~s(t)=\int _a^t \sqrt{\dot{\mathbf{x}}~\dot{\mathbf{x}}}
dt\\[0.2cm]
をいう。\\[0.2cm]
また、線素（linear element）ds~とは\\[0.2cm]
~~~~~~~ds=\sqrt{\dot{\mathbf{x}}~\dot{\mathbf{x}}}dt\\[0.2cm]
~~\therefore~~~(ds)^2=(\dot{\mathbf{x}}~\dot{\mathbf{x}})
(dt)^2=(dx_1)^2+(dx_2)^2+(dx_3)^2\\[0.2cm]
この~ds~を曲線~C~の線素（linear element）という。\\[0.2cm]
命題~~~C:~\mathbf{x}=\mathbf{x}(t)\\
~~~~~~t~を~s~の関数と考えて、\mathbf{x}~を~s~で\\[0.2cm]
微分した導関数を\mathbf{x}'~と書くと\\[0.2cm]
~~~~~~~~~\mathbf{x}'・\mathbf{x}'=1\\[0.2cm]
証明~~~\\[0.2cm]
~~~~~\mathbf{x}'=\genfrac{}{}{0.5pt}
{}{d\mathbf{x}}{ds}
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d\mathbf{x}}{dt}
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dt}{ds}
=\dot{\mathbf{x}}\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dt}{ds}
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\dot{\mathbf{x}}}
{\sqrt{\dot{\mathbf{x}}\dot{\mathbf{x}}}}\\[0.2cm]
\therefore~~~\mathbf{x}'\mathbf{x}'=
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\dot{\mathbf{x}}}
{\sqrt{\dot{\mathbf{x}}\dot{\mathbf{x}}}}
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\dot{\mathbf{x}}}
{\sqrt{\dot{\mathbf{x}}\dot{\mathbf{x}}}}
=1\\[0.2cm]
証明終り\\[0.2cm]
\\
注意~~即ち~\mathbf{x}'~は単位ベクトル\\[0.2cm]
~~~~~~~これを単位接線ベクトル（unit tangent vector）
という。\\[0.2cm]
\\
例１~~~常螺旋~x_1=a \cos t, x_2=a \sin t, x_3=bt~~~
(a \geq 0, b \geq 0)\\[0.2cm]
の~t=0~から~t~(\geq0)~までの弧の長さ~s~を求めよ。\\[0.2cm]
また、~s~に対応する点における単位接線ベクトルを求めよ。\\[0.2cm]
解）~~~\dot{\mathbf{x}}=(-a \sin t, a \cos t, b)\\[0.2cm]
~~~~\dot{\mathbf{x}}\dot{\mathbf{x}}=
(-a \sin t)^2+(a \cos t)^2+b^2=a^2+b^2\\[0.2cm]
\therefore~~~s=\int _0^t \sqrt{a^2+b^2}dt
=\sqrt{a^2+b^2}t\\[0.2cm]
\therefore~~~t=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.2cm]
故に、もとの曲線の方程式を~s~で表せば、\\[0.2cm]
x_1=a \cos {\genfrac{}{}{0.5pt}{}{s}{\sqrt{a^2+b^2}}},~~
x_2=a \sin {\genfrac{}{}{0.5pt}{}{s}{\sqrt{a^2+b^2}}},~~
x_3=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{bs}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[0.2cm]
\therefore~~~\mathbf{t}=
\left(-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
\sin{\genfrac{}{}{0.5pt}{}{s}{\sqrt{a^2+b^2}}},~~
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
\cos {\genfrac{}{}{0.5pt}{}{s}{\sqrt{a^2+b^2}}},~~
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)
\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
フルネ（Frenet）標構\\[0.2cm]
命題~~~C:~\mathbf{x}=\mathbf{x}(s)~が与えられているとき、\\[0.2cm]
~~~ここで~\mathbf{x}″~を作れば、これは次のことを満たす\\[0.2cm]
~~~~~1)~~\mathbf{x}' \bot \mathbf{x}″\\[0.2cm]
~~~~~2)~~\mathbf{x}″~は主法線ベクトル\\[0.2cm]
証明\\[0.2cm]
~~~1)~~\mathbf{x}'\mathbf{x}'=1\\[0.2cm]
~~~両辺を~s~で微分して、\\[0.2cm]
~~~~\mathbf{x}″\mathbf{x}'+\mathbf{x}'\mathbf{x}″=0\\[0.2cm]
~~\therefore~~~\mathbf{x}″\mathbf{x}'=0\\[0.2cm]
~~\therefore~~~\mathbf{x}' \bot \mathbf{x}″\\[0.2cm]
~~~2)~~まづ~1)~の結果から、~\mathbf{x}″~が法平面内にある。\\[0.2cm]
~~~あとは、~\mathbf{x}″~が接触平面内にあることを言えばよい。\\[0.2cm]
~~~接触平面の方程式は\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~\left|\mathbf{X}-\mathbf{x}, ~
\dot{\mathbf{x}}, ~\ddot{\mathbf{x}} \right|=0\\[0.2cm]
ここでパラメターは何であってもよい。パラメターを~s~にとって\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~\left|\mathbf{X}-\mathbf{x}, ~
\mathbf{x}', ~\mathbf{x}″ \right|=0\\[0.2cm]
即ち、~\mathbf{x}″~は接触平面内にある。\\[0.2cm]
証明終り\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
定義~~~\mathbf{x}″~の長さを曲率といい、~\kappa~と書く。\\[0.2cm]
即ち\\[0.2cm]
~~~~~\kappa=\sqrt{\mathbf{x}″\mathbf{x}″}\\[0.2cm]
定義~~~長さが~1~の主法線ベクトルを、単位主法線ベクトルとい
い~\mathbf{n}~と書く。\\[0.2cm]
即ち、\\[0.2cm]
~~~~~\mathbf{n}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\mathbf{x}″}
{\kappa}\\[0.2cm]
定義~~~長さが~1~の従法線ベクトル（主法線ベクトルと
接線ベクトルの両方に\\[0.2cm]
垂直なベクトル）を、単位従法線ベクトルとい
い~\mathbf{b}~と書く。\\[0.2cm]
即ち、\\[0.2cm]
~~~~~\mathbf{b}=\mathbf{t} \times \mathbf{n}\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
定義~~~曲線~~C: \mathbf{x}=\mathbf{x}(s)\\[0.2cm]
~~~~~~のフルネ標構とは、直交座標系\\[0.2cm]
~~~~~~\{\mathbf{x}(s); \mathbf{t},\mathbf{n},\mathbf{b}\}
\\[0.2cm]
~~~~~~をいう。\\[0.2cm]
定義終り\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
§４~~フルネ・セレの公式\\[0.2cm]
命題~~~（Frenet-Serret~~の公式）\\[0.2cm]
~~~~~\mathbf{x}'=\mathbf{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~..... (1)\\[0.2cm]
~~~~~\mathbf{t}'=~~~~~~~\kappa \mathbf{n} ~~~~~~~~
..... (2)\\[0.2cm]
~~~~~\mathbf{n}'=-\kappa \mathbf{t}~~~~~~~+\tau \mathbf{b}
~~~ ...(3)\\[0.2cm]
~~~~~\mathbf{b}'=~~~~~-\tau \mathbf{n}~~~~~~~~... (4)\\[0.2cm]
但し、~\kappa~は既に定義したもの。また、~\tau~は、~
|\tau|=|\mathbf{b}'|。\\[0.2cm]
ここで、~\tau~自体は符号を持っている。\\[0.2cm]
\\
証明~~~\mathbf{x}'=\mathbf{t},~\mathbf{t}'=\kappa \mathbf{n}~~
は定義から。\\[0.2cm]
次に~(4)~を示す。\\[0.2cm]
~~~~~\mathbf{b}=\mathbf{t} \times \mathbf{n}\\[0.2cm]
\therefore~~~\mathbf{b}'=\mathbf{t}' \times \mathbf{n}
+\mathbf{t} \times \mathbf{n}'=\kappa \mathbf{n}
\times \mathbf{n}+\mathbf{t} \times \mathbf{n}'
=\mathbf{t} \times \mathbf{n}'\\[0.2cm]
\therefore~~\mathbf{b}'・\mathbf{t}=
(\mathbf{t} \times \mathbf{n}')・\mathbf{t}
=|\mathbf{t},~\mathbf{n}',~\mathbf{t}|=0\\[0.2cm]
\therefore~~\mathbf{b}' \bot \mathbf{t}\\[0.2cm]
~~かつ、~\mathbf{b}' \bot \mathbf{b}~~~
(~\because~~|\mathbf{b}|=1)\\[0.2cm]
\therefore~~~\mathbf{b}' \parallel \mathbf{n}\\[0.2cm]
~~~~~|\mathbf{b}'|=|\tau|,~~~|\mathbf{n}|=1,~~より、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~\mathbf{b}'=-\tau \mathbf{n}\\[0.2cm]
~~~~~~と書ける。\\[0.2cm]
~~~~（\mathbf{b}',~\mathbf{n},~\tau~を計算し、
符号をあわせればよい。）\\[0.2cm]
次に~(3)~を示す。\\[0.2cm]
~~~まづ、~\mathbf{n} \bot \mathbf{n}'~~~
(~\because |\mathbf{n}|=1~)\\[0.2cm]
従って、~\mathbf{n}'~は、~\mathbf{t}~と~\mathbf{b}~
の一次結合。即ち、\\[0.2cm]
~~~~\mathbf{n}'=p\mathbf{t}+q\mathbf{b}\\[0.2cm]
と書ける。~\mathbf{t}~をかけて、\\[0.2cm]
~~~~\mathbf{n}'\mathbf{t}=p\mathbf{t}\mathbf{t}
+q\mathbf{b}\mathbf{t}\\[0.2cm]
\therefore~~~p=\mathbf{n}'\mathbf{t}=
-\mathbf{n}\mathbf{t}'~~(~\because~~\mathbf{n}
\mathbf{t}=0~)\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~=-\mathbf{n}\kappa \mathbf{n}=-\kappa\\[0.2cm]
~~~また~\mathbf{b}~をかけて、\\[0.2cm]
~~~~~~\mathbf{n}'\mathbf{b}=q\mathbf{b}\mathbf{b}\\[0.2cm]
~~~\therefore~~~q=\mathbf{n}'\mathbf{b}=-\mathbf{n}\mathbf{b}'
=-\mathbf{n}(-\tau \mathbf{n})=\tau\\[0.2cm]
~~~\therefore~~\mathbf{n}'=-\kappa \mathbf{t}+
\tau \mathbf{b}~~~~~~~~~~~~~~QED\\[0.2cm]
\\
§５~~曲率と捻率（れいりつ）\\[0.2cm]
命題~~曲率~\kappa~は、「接線の方向~\theta~の、弧長~s~に対する
変化率」である。\\[0.2cm]
証明~~\\[0.2cm]
原点を中心とする半径~1~の球面上に長さ~1~のベクトル
~\mathbf{t}(s)~の軌跡を作る。\\[0.2cm]
弧長~s~をパラメターとする曲線が出来る。
これを~\Gamma~とする。\\[0.2cm]
~~~~~~\Gamma: \mathbf{y}=\mathbf{t}(s)\\[0.2cm]
\Gamma~の線素を~d\sigma~とすると\\[0.2cm]
~~~~~d\sigma^2=d\mathbf{y}・d\mathbf{y}=
d\mathbf{t}・d\mathbf{t}=(\mathbf{t}'・\mathbf{t}')ds^2
=(\kappa\mathbf{n}・\kappa \mathbf{n})ds^2
=\kappa^2 ds^2\\[0.2cm]
~~~\therefore~~\left| \genfrac{}{}{0.5pt}
{}{d\sigma}{ds}\right|=|\kappa|\\[0.2cm]
~~~球面の半径は~1~であるから、\\[0.2cm]
~~~~~\lim _{\triangle s \rightarrow 0}
\left| \genfrac{}{}{0.5pt}{}{\triangle\theta}
{\triangle \sigma}\right|=1\\[0.2cm]
~~~\therefore~~\lim _{\triangle s \rightarrow 0}
\left| \genfrac{}{}{0.5pt}{}{\triangle\theta}
{\triangle s}\right|
=\lim _{\triangle s \rightarrow 0}
\left| \genfrac{}{}{0.5pt}{}{\triangle\sigma}
{\triangle s}\right|=
\left| \genfrac{}{}{0.5pt}{}{d\theta}
{ds}\right|=|\kappa|=\kappa~~(\because~~\kappa>0)\\[0.2cm]
即ち~~~
\left| \genfrac{}{}{0.5pt}{}{d\theta}
{ds}\right|=\kappa.~~~~~~~（証明終）\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
定義~~~\kappa(s) >0~~のとき、（つまり~\ne 0~~のとき）\\[0.2cm]
~~~~~~~~\rho(s)= \genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{\kappa(s)}\\[0.2cm]
と定義し、~\rho(s)~を、「曲線~C~の、点~\mathbf{x}=
\mathbf{x}(s)~における曲率半径」という。\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
曲率半径の幾何学的な意味\\[0.2cm]
\\
命題~~曲線上の一致した３点を通る円は、その点における\\[0.2cm]
~~~~曲線の接触平面内にあって、その中心~\mathbf{a}~は、\\[0.2cm]
~~~~その点の法線方向に~\rho(s)~行ったところ、即ち、\\[0.2cm]
~~~~~~~\mathbf{a}=\mathbf{x}(s)+\rho(s)\mathbf{n}(s)\\[0.2cm]
にあり、半径は~\rho(s)~である。\\[0.2cm]
証明~~C:\mathbf{x}=\mathbf{x}(s)\\[0.2cm]
~~~~~~ ３点~\mathbf{x}(s),~\mathbf{x}(s_1),~\mathbf{x}(s_2)~
を通る円の方程式を、\\[0.2cm]
~~~~~~~(\mathbf{x}-\mathbf{a})(\mathbf{x}-\mathbf{a})
=r^2~~~....~~(1)\\[0.2cm]
とおく。（s_1,~s_2 \longrightarrow s~としたときの~\mathbf{a},~r~
を求めればよい。）\\[0.2cm]
~~~~~f(s)=(\mathbf{x}-\mathbf{a})(\mathbf{x}-\mathbf{a})
-r^2\\[0.2cm]
とおくと、\\[0.2cm]
\mathbf{x}(s),~\mathbf{x}(s_1),~\mathbf{x}(s_2)~はこの
円上にあるから、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~f(s)=f(s_1)=f(s_2)=0\\[0.2cm]
故に~Rolle~により、\\[0.2cm]
~~~~~f'(s_3)=f'(s_4)=0~~~~\\[0.2cm]
ならしめる~ s_3~が~s~とs_1~の間に、
また、~s_4~が~s_1~と~s_2~の間に存在する。\\[0.2cm]
更に~Rolle~により、\\[0.2cm]
~~~~~f"(s_5)=0\\[0.2cm]
ならしめる~s_5~が~s_3~と~s_4~の間に存在する。\\[0.2cm]
s_1~と~s_2~が~s~に近づくとき、~s_3,~s_4,~s_5~は
いづれも~s~に近づくから、\\[0.2cm]
~~~f(s)=f'(s)=f"(s)=0\\[0.2cm]
~~~f(s)~を~s~で微分して、\\[0.2cm]
~~~f'(s)=2(\mathbf{x}-\mathbf{a})\mathbf{x}'\\[0.2cm]
これが~0~だから、\\[0.2cm]
~~~\mathbf{x}'(\mathbf{x}-\mathbf{a})=0\\[0.2cm]
\therefore~~~\mathbf{t}(\mathbf{x}-\mathbf{a})=0\\[0.2cm]
\therefore~~~\mathbf{t}\perp (\mathbf{x}-\mathbf{a})\\[0.2cm]
~~~次に、f'(s)~を~s~で微分して、\\[0.2cm]
~~~\mathbf{x}"(\mathbf{x}-\mathbf{a})
-\mathbf{x}'\mathbf{x}'=0\\[0.2cm]
\therefore~~~\kappa \mathbf{n}(\mathbf{x}
-\mathbf{a})+1=0~~~~~......~~(2)\\[0.2cm]
円の作り方から、この円が接触平面内にあることは自明。\\[0.2cm]
\therefore~~~(\mathbf{x}-\mathbf{a})
\parallel \mathbf{n}\\ [0.2cm]
故に、\\[0.2cm]
~~~\mathbf{x}-\mathbf{a}=-\lambda \mathbf{n}\\[0.2cm]
とおける。\\[0.2cm]
これを上の~(2)~に代入して、\\[0.2cm]
~~~\kappa \mathbf{n}(-\lambda \mathbf{n})+1=0\\[0.2cm]
\therefore~~~-\kappa \lambda +1=0\\[0.2cm]
\therefore~~~\lambda=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{\kappa}=
\rho\\[0.2cm]
即ち、\\[0.2cm]
~~~\mathbf{x}-\mathbf{a}=-\rho \mathbf{n}\\[0.2cm]
これを~(1)~に代入して、\\[0.2cm]
~~~~(-\rho \mathbf{n})(-\rho \mathbf{n})=r^2\\[0.2cm]
~~~~~\rho^2=r^2\\[0.2cm]
\therefore~~~r=\rho\\[0.2cm]
証明終り\\[0.2cm]
\\
曲線の捩率\\[0.2cm]
\\
命題~~捩率は、従法線の方向~\phi~の、弧長~s~に対する
変化率である。\\[0.2cm]
証明~~\\[0.2cm]
原点を中心とする半径~1~の球面上に長さ~1~のベクトル
~\mathbf{b}(s)~の軌跡を作る。\\[0.2cm]
弧長~s~をパラメターとする曲線が出来る。
これを~\Gamma _1~とする。\\[0.2cm]
~~~~~\Gamma _1:~~\mathbf{y}=\mathbf{b}(s)~~~
新しく作った曲線。~\Gamma _1~の線素を~\sigma_1~
とすると、\\[0.2cm]
~~~d\sigma _1^2=d\mathbf{y} d\mathbf{y}
=(\mathbf{b}',~ \mathbf{b}')ds^2=
(-\tau \mathbf{n},~-\tau \mathbf{n})ds^2
=\tau^2 ds^2\\[0.2cm]
\therefore~~~\left|\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d\sigma _1}{ds}\right|
=|\tau|\\[0.2cm]
曲率の場合と同様に、球面の半径は~1~だから\\[0.2cm]
~~~~~\lim _{\triangle s \rightarrow 0}
\left| \genfrac{}{}{0.5pt}{}{\triangle\phi}
{\triangle \sigma _1}\right|=1\\[0.2cm]
~~~\therefore~~\lim _{\triangle s \rightarrow 0}
\left| \genfrac{}{}{0.5pt}{}{\triangle\phi}
{\triangle s}\right|
=\lim _{\triangle s \rightarrow 0}
\left| \genfrac{}{}{0.5pt}{}{\triangle\phi}
{\triangle \sigma _1}\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\triangle\sigma _1}
{\triangle s} \right|=\lim _{\triangle s \rightarrow 0}
\left| \genfrac{}{}{0.5pt}{}{\triangle \sigma _1}
{\triangle s}\right|=
\left|\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d \sigma _1}{ds}\right|=|\tau|\\[0.2cm]
\therefore~~~\tau=\\pm \lim_{\triangle s \rightarrow 0}
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\triangle \phi}{\triangle s}\\[0.2cm]
証明終り\\[0.2cm]
\\
定義~~\tau \ne 0~~のとき、\\[0.2cm]
~~~~~~~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{\tau}~~を捩率半径と
いう。\\[0.2cm]
\\[0.2cm]
命題~~~\tau=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{|\mathbf{x}', \mathbf{x}",
\mathbf{x}^{(3)}|}{\mathbf{x}"・\mathbf{x}"}\\[0.2cm]
証明~~\\[0.2cm]
~~~~~\mathbf{n}'=-\kappa \mathbf{t} +\tau \mathbf{b}\\[0.2cm]
両辺に~\mathbf{b}~をかけて、\\[0.2cm]
~~~~~\mathbf{b}・\mathbf{n}'=\tau \\[0.2cm]
~~~~~また、~\mathbf{b}=\mathbf{t} \times \mathbf{n}~より\\[0.2cm]
~~~~~これを上に代入して、\\[0.2cm]
~~~~~\tau=\mathbf{b}・\mathbf{n}'=|\mathbf{t},
\mathbf{n},\mathbf{n}'|=\left|\mathbf{x}',
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\mathbf{x}"}{\kappa},
\left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\mathbf{x}"}{\kappa}\right)' \right|=
\left|\mathbf{x}',
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\mathbf{x}"}{\kappa},
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\mathbf{x}^{(3)}}{\kappa}-
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\kappa'\mathbf{x}"}{\kappa^2}\right|\\[0.2cm]
~~~~~=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{\kappa^2}|\mathbf{x}',~\mathbf{x}",~
\mathbf{x}^{(3)}|=
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{|\mathbf{x}',~\mathbf{x}",~
\mathbf{x}^{(3)}|}{\mathbf{x}"・\mathbf{x}"}\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~証明終り\\[0.2cm]
命題~~~曲線~C~上の動点が~\mathbf{x}(s)~を通過するとき、\\[0.2cm]
~~~~~~~ \tau >0~ ならば、接触平面の負の側から正の側へ\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~（即ち、~\mathbf{b}~の反対側から\mathbf{b}~の側へ）\\[0.2cm]
~~~~~~ \tau <0~ ならば、接触平面の正の側から負の側へ\\[0.2cm]
移動する。\\[0.2cm]
証明~~~\mathbf{x}(s+h)~から~「\mathbf{x}~における接触平面」へ
下ろした垂線の長さ\\[0.2cm]
（符号を持った）を~p~とすれば、\\[0.2cm]
p=\mathbf{b}・(\mathbf{x}(s+h)-\mathbf{x}(s))
=\mathbf{b}(h\mathbf{x}'(s)+\genfrac{}{}{0.5pt}{}{h^2}{2!}
\mathbf{x}"(s) +\genfrac{}{}{0.5pt}{}{h^3}{3!}\mathbf{x}^{(3)}
(s+\theta h))~~~~~(0<\theta<1)\\[0.2cm]
ここで、~\mathbf{b}・\mathbf{x}'=\mathbf{b}・\mathbf{t}=0,~
\mathbf{b}・\mathbf{x}"=\mathbf{b}・(\kappa \mathbf{n})=0,~
であるから、\\[0.2cm]
p=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{h^3}{6}\mathbf{b}・
\mathbf{x}^{(3)}(s+\theta h)\\[0.2cm]
ここで、~\mathbf{b}=\mathbf{t} \times \mathbf{n}~で
あるから、\\[0.2cm]
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{h^3}{6}|\mathbf{t},~\mathbf{n},~
\mathbf{x}^{(3)}(s+\theta h)|=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{h^3}{6\kappa}
|\mathbf{x}',~\mathbf{x}",~
\mathbf{x}^{(3)}(s+\theta h)|
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{h^3}{6\kappa}\kappa^2 \tau
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{h^3}{6}\kappa(s) \tau(s)\\[0.2cm]
従って、\\
\tau>0 ならば、\\
~~~~~~1-1)~h<0~のとき~~p<0~~即ち、負の側から正の側へ\\
~~~~~~1-2)~h>0~のとき~~p>0~~即ち、負の側から正の側へ\\
\tau<0 ならば、\\
~~~~~~2-1)~h<0~のとき~~p>0~~即ち、正の側から負の側へ\\
~~~~~~2-2)~h>0~のとき~~p<0~~即ち、正の側から負の側へ\\
動く。\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~（証明終）
\end{math}
\end{document}