\documentclass{jarticle}
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%\documentclass{amsart}
\usepackage{amsthm}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{定理}
\newtheorem{definition}{定義}
\newtheorem{question}{問}
\title{ジョルダン標準形}
\author{坪井道雄、能美武功}
\begin{document}
\maketitle
\begin{math}
~~~アブストラクト\\
~~ジョルダン標準形を「冪零行列の標準化」の方針により求める場合、ジョルダン標準形は、
固有値とその重複度がわかれば、固有値をひいた行列の冪乗のランクをしらべることに
よって決定することが出来る。例えば、５重根になる場合、（５）型、(4,1)型、(3,2)型、
（３,1,1）型、(2,2,1)型、(2,1,1,1)型、(1,1,1,1,1)型の７通りであるから、
その各場合に冪零行列の冪乗のランクの分布表を作る。その分布により各型が決まる
ことを述べる。さらに、異なる固有値を持つ場合についても述べる。\\
\\
~~~ジョルダン標準形の求め方は、\\
~~~~~　　　１）古屋茂　行列と行列式（培風館）\\
~~~~~　　　２）佐武一郎　線型代数学（裳華房）\\
に詳しい。１）は単因子論、２）は冪零行列の標準化によるものである。
以下の話の要点は、特に行列のランクの計算が出来るときには、それを用いて
ジョルダン標準形が決定されることを解説する。\\
~~ 内容は、本質的には２）に述べられていることであるが、
２）では説明が、ジョルダン標準形の存在と変換行列の作り方をあわせて
示す、言わば｢構成的な作り｣になっている。そのため、見通しはよくなく、
利用には不便である。\\
~~ 行列Ａのジョルダン標準形を求めるには、固有値の重複度と
の分布を知ればよい。ここではこの分布により標準形が決定される状況を、(3,3), (4,4),
(5,5)行列の場合に説明する。これをサイズのより大きなものに拡張することは
容易である。\\
~~ さらに基礎的な計算により、ジョルダン標準形を実現する変換行列が求められる
ことも例示する。\\
\\
問１~~次の行列A_1 のジョルダン標準形を求めよ。\\
A_1=\begin{pmatrix}
-11& 33 & -5\\
11 & -25 &4\\
108 & -268 & 42\\
\end{pmatrix}\\
\\
解~~まず、固有方程式を求める。そのために主座行列式の和を求める。\\
1次の主座行列式は対角成分、-11, -25, 42 であるからこれらの和をとって、\\
~~~~-11-25+42=6\\
即ち、x の2乗の係数は-6\\
2次の主座行列式を求める。まず、(1,2) の主座行列式\\
(1,2)=\begin{vmatrix}
-11& 33 \\
11 & -25\\
\end{vmatrix}
=-88\\
次に、(1,3) の主座行列式\\
(1,3)=\begin{vmatrix}
-11& -5 \\
108 & 42\\
\end{vmatrix}
=78\\
次に、(2,3) の主座行列式\\
(2,3)=\begin{vmatrix}
-25& 4 \\
-268 & 42\\
\end{vmatrix}
=22\\
\therefore (1,2)+(1,3)+(2,3)=12\\
即ち、x の1乗の係数は12\\
3次の主座行列式は、\\
(1,2,3)=\begin{vmatrix}
-11& 33 & -5\\
11 & -25 &4\\
108 & -268 & 42\\
\end{vmatrix}\\
=8\\
即ち、定数項は-8\\
よって、固有方程式f(x)は、\\
f(x)=x^3-6x^2+12x-8\\
因数分解して、\\
f(x)=(x-2)^3\\
固有値は2,2,2~~即ち、2の3重根。\\
ジョルダン標準形の大定理により、\\
「ある正則行列P があって、次の３通りの場合のどれかになる」\\
case~1)~~3次のJordan block が1個の場合。これを(3)型という。\\
P^{-1}A_1P=\begin{pmatrix}
2& 1 & 0\\
0 & 2 &1\\
0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix}=P^{-1}2EP+
\begin{pmatrix}
0& 1 & 0\\
0 & 0 &1\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} \\
case~2)~~2次のJordan block が1個と1次のものが1個の場合。これを(2,1)型という。\\
P^{-1}A_1P=\begin{pmatrix}
2& 1 & 0\\
0 & 2 &0\\
0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix}=P^{-1}2EP+
\begin{pmatrix}
0& 1 & 0\\
0 & 0 &0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} \\
case~3)~~ 1次のJordan block が3個の場合。これを(1,1,1)型という。\\
P^{-1}A_1P=\begin{pmatrix}
2& 0 & 0\\
0 & 2 &0\\
0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix}=P^{-1}2EP\\
\\
case~1)~は、P^{-1}(A_1-2E)P=
\begin{pmatrix}
0& 1 & 0\\
0 & 0 &1\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} ~~~~
即ち、A_1-2E=P \begin{pmatrix}
0& 1 & 0\\
0 & 0 &1\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} P^{-1}~~~~つまり、A_1-2Eの階数は2。\\
case~2)~は、P^{-1}(A_1-2E)P=
\begin{pmatrix}
0& 1 & 0\\
0 & 0 &0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} ~~~~
即ち、A_1-2E=P \begin{pmatrix}
0& 1 & 0\\
0 & 0 &0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} P^{-1}~~~~つまり、A_1-2Eの階数は1。\\
case~3)~は、P^{-1}(A_1-2E)P=
\begin{pmatrix}
0& 0& 0\\
0 & 0 &0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} ~~~~
即ち、A_1-2E= \begin{pmatrix}
0& 0 & 0\\
0 & 0 &0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}~~~~つまり、A_1-2Eの階数は0。\\
これにより、case~1)~~2)~~3)~~のどれになるかは、N=A_1-2Eの階数を求めればよい。
これを表にしておく。\\
\end{math}
\[\begin{tabular}{c|c}
型& Nの階数\\ \hline
(3)&2\\
(2,1)&1\\
(1,1,1)&0\\
\end{tabular} \]
\begin{math}
即ち、N の階数が分れば、型が分る。\\
実際にN=A_1-2Eを作ると、\\
A_1-2E=\begin{pmatrix}
-13&33&-5\\
11&-27&4\\
108&-268&40\\
\end{pmatrix}\\
この行列の階数は2~~（行列式を作ると0となり、階数は3未満。また左上の(2,2)行列は0でない
から。）だから、Jordan 標準形は(3) 型となる。\\
つまり、適当な正則行列P があって、P^{-1}A_1P=P^{-1}A_1P=\begin{pmatrix}
2& 1 & 0\\
0 & 2 &1\\
0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix}
となる。これを具体的に解く。\\
A_1P=P\begin{pmatrix}
2& 1 & 0\\
0 & 2 &1\\
0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix}\\
\therefore~~
\begin{pmatrix}
-11& 33 & -5\\
11 & -25 &4\\
108 & -268 & 42\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1& x_2 & x_3\\
y_1 & y_2&y_3\\
z_1 & z_2 & z_3\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
x_1& x_2 & x_3\\
y_1 & y_2&y_3\\
z_1 & z_2 & z_3\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2& 1 & 0\\
0 & 2 &1\\
0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix}\\
\\
(1,1)成分を比較して、-11x_1+33y_1+(-5)z_1=2x_1\\
(2,1)成分を比較して、11x_1+(-25)y_1+4z_1=2y_1\\
(3,1)成分を比較して、108x_1+(-268)y_1+42z_1=2z_1\\
(1,2)成分を比較して、-11x_2+33y_2+(-5)z_2=x_1+2x_2\\
(2,2)成分を比較して、11x_2+(-25)y_2+4z_2=y_1+2y_2\\
(3,2)成分を比較して、108x_2+(-268)y_2+42z_2=z_1+2z_2\\
(1,3)成分を比較して、-11x_3+33y_3+(-5)z_3=x_2+2x_3\\
(2,2)成分を比較して、11x_3+(-25)y_3+4z_3=y_2+2y_3\\
(3,2)成分を比較して、108x_3+(-268)y_3+42z_3=z_2+2z_3\\
\end{math}
この連立方程式を基本変形で解く。\\
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&x_2&y_2&z_2&x_3&y_3&z_3\\ \hline
-13&33&-5&&&&&&\\ \hline
11&-27&4&&&&&&\\ \hline
108&-268&40&&&&&&\\ \hline
-1&0&0&-13&33&-5&&& \\ \hline
&-1&0&11&-27&4&&&\\ \hline
&&-1&108&-268&40&&&\\ \hline
&&&-1&&&-13&33&-5\\ \hline
&&&&-1&&11&-27&4\\ \hline
&&&&&-1&108&-268&40\\ \hline
\end{array} \]
1列目を1にする。
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&x_2&y_2&z_2&x_3&y_3&z_3\\ \hline
1&-2.53846153846&0.384615384615&&&&&&\\ \hline
1&-2.45454545455&0.363636363636&&&&&&\\ \hline
1&-2.48148148148&0.37037037037&&&&&&\\ \hline
1&0&0&13&-33&5&&&\\ \hline
&-1&0&11&-27&4&&&\\ \hline
&&-1&108&-268&40&&&\\ \hline
&&&-1&&&-13&33&-5\\ \hline
&&&&-1&&11&-27&4\\ \hline
&&&&&-1&108&-268&40\\ \hline
\end{array} \]
2、3、4行から1行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&x_2&y_2&z_2&x_3&y_3&z_3\\ \hline
1&-2.53846153846&0.384615384615&&&&&&\\ \hline
0&0.083916083916&-0.020979020979&&&&&&\\ \hline
0&-0.026936026936&0.006734006734&&&&&&\\ \hline
0&2.48148148148&-0.37037037037&13&-33&5&&&\\ \hline
&-1&0&11&-27&4&&&\\ \hline
&&-1&108&-268&40&&&\\ \hline
&&&-1&&&-13&33&-5\\ \hline
&&&&-1&&11&-27&4\\ \hline
&&&&&-1&108&-268&40\\ \hline
\end{array} \]
2列を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&x_2&y_2&z_2&x_3&y_3&z_3\\ \hline
1&-2.53846153846&0.384615384615&&&&&&\\ \hline
&1&-0.25&&&&&&\\ \hline
&1&-0.25&&&&&&\\ \hline
&1&-0.149253&5.23880&-13.2985&2.01492&&&\\ \hline
&1&0&-11&27&-4&&&\\ \hline
&&-1&108&-268&40&&&\\ \hline
&&&-1&&&-13&33&-5\\ \hline
&&&&-1&&11&-27&4\\ \hline
&&&&&-1&108&-268&40\\ \hline
\end{array} \]
3行目は不要なので抜き、4、5行から2行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&x_2&y_2&z_2&x_3&y_3&z_3\\ \hline
1&-2.53846153846&0.384615384615&&&&&&\\ \hline
&1&-0.25&&&&&&\\ \hline
&0&0.100746&5.23880&-13.2985&2.01492&&&\\ \hline
&0&0.25&-11&27&-4&&&\\ \hline
&&-1&108&-268&40&&&\\ \hline
&&&-1&&&-13&33&-5\\ \hline
&&&&-1&&11&-27&4\\ \hline
&&&&&-1&108&-268&40\\ \hline
\end{array} \]
3列目を1にする。
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&x_2&y_2&z_2&x_3&y_3&z_3\\ \hline
1&-2.53846153846&0.384615384615&&&&&&\\ \hline
&1&-0.25&&&&&&\\ \hline
&&1&52&-132&20&&&\\ \hline
&&1&-44&108&-16&&&\\ \hline
&&1&-108&268&-40&&&\\ \hline
&&&-1&&&-13&33&-5\\ \hline
&&&&-1&&11&-27&4\\ \hline
&&&&&-1&108&-268&40\\ \hline
\end{array} \]
4,5行から3行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&x_2&y_2&z_2&x_3&y_3&z_3\\ \hline
1&-2.53846153846&0.384615384615&&&&&&\\ \hline
&1&-0.25&&&&&&\\ \hline
&&1&52&-132&20&&&\\ \hline
&&0&-96&240&-36&&&\\ \hline
&&0&-160&400&-60&&&\\ \hline
&&&-1&&&-13&33&-5\\ \hline
&&&&-1&&11&-27&4\\ \hline
&&&&&-1&108&-268&40\\ \hline
\end{array} \]
4列目を1にする。
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&x_2&y_2&z_2&x_3&y_3&z_3\\ \hline
1&-2.53846153846&0.384615384615&&&&&&\\ \hline
&1&-0.25&&&&&&\\ \hline
&&1&52&-132&20&&&\\ \hline
&&&1&-2.5&0.375&&&\\ \hline
&&&1&-2.5&0.375&&&\\ \hline
&&&1&&&13&-33&5\\ \hline
&&&&-1&&11&-27&4\\ \hline
&&&&&-1&108&-268&40\\ \hline
\end{array} \]
5行目は不要なので抜き、6行から4行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&x_2&y_2&z_2&x_3&y_3&z_3\\ \hline
1&-2.53846153846&0.384615384615&&&&&&\\ \hline
&1&-0.25&&&&&&\\ \hline
&&1&52&-132&20&&&\\ \hline
&&&1&-2.5&0.375&&&\\ \hline
&&&0&2.5&-0.375&13&-33&5\\ \hline
&&&&-1&&11&-27&4\\ \hline
&&&&&-1&108&-268&40\\ \hline
\end{array} \]
5列目を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&x_2&y_2&z_2&x_3&y_3&z_3\\ \hline
1&-2.53846153846&0.384615384615&&&&&&\\ \hline
&1&-0.25&&&&&&\\ \hline
&&1&52&-132&20&&&\\ \hline
&&&1&-2.5&0.375&&&\\ \hline
&&&&1&-0.15&5.2&-13.2&2\\ \hline
&&&&1&&-11&27&-4\\ \hline
&&&&&-1&108&-268&40\\ \hline
\end{array} \]
6行から5行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&x_2&y_2&z_2&x_3&y_3&z_3\\ \hline
1&-2.53846153846&0.384615384615&&&&&&\\ \hline
&1&-0.25&&&&&&\\ \hline
&&1&52&-132&20&&&\\ \hline
&&&1&-2.5&0.375&&&\\ \hline
&&&&1&-0.15&5.2&-13.2&2\\ \hline
&&&&0&0.15&-16.2&40.2&-6\\ \hline
&&&&&-1&108&-268&40\\ \hline
\end{array} \]
6列を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&x_2&y_2&z_2&x_3&y_3&z_3\\ \hline
1&-2.53846153846&0.384615384615&&&&&&\\ \hline
&1&-0.25&&&&&&\\ \hline
&&1&52&-132&20&&&\\ \hline
&&&1&-2.5&0.375&&&\\ \hline
&&&&1&-0.15&5.2&-13.2&2\\ \hline
&&&&&1&-108&268&-40\\ \hline
&&&&&1&-108&268&-40\\ \hline
\end{array} \]
\begin{math}
6式に、x_3=0,y_3=0,z_3=1 を代入してz2 を求める。 z_2= 40 \\
5式にこれらの結果 を代入してy_2 を求める。 y_2= 4 \\
4式にこれらの結果を代入してx_2 を求める。 x_2= -5 \\
3式にこれらの結果を代入してz_1 を求める。 z_1= -12 \\
2式にこれらの結果を代入してy_1 を求める。 y_1= -3 \\
1式にこれらの結果を代入してx_1 を求める。 x_1= -3 \\
求める行列P は、\\
P=\begin{pmatrix}
-3&-5&0\\
-3&4&0\\
-12&40&1\\
\end{pmatrix}\\
P の逆行列を求めると、\\
P^{-1}=(-1/27)\begin{pmatrix}
4&5&0\\
3&-3&0\\
-72&180&-27\\
\end{pmatrix}\\
P^{-1}A_1P を計算すると、確かに\begin{pmatrix}
2& 1 & 0\\
0 & 2 &1\\
0 & 0 & 2\\
\end{pmatrix}
になる。~~~~（解おわり）\\
\\
問２~~次の行列A_2 のジョルダン標準形を求めよ。\\
A_2=\begin{pmatrix}
5& -7 & 1\\
3 & -5 &1\\
12 & -28 & 6\\
\end{pmatrix}\\
\\
解~~固有値を求めると2の3重根。N=A_2-2E の階数を求めると1。従って(2,1)型である。\\
~~~~以下P を求めることは省略する。~~~~（解おわり）\\
\\
次に、4次の行列で、固有値が4重根を持つ場合を考える。\\
この時は、(4)型、(3,1)型、(2,2)型、(2,1,1)型、(1,1,1,1)型の4通りである。\\
簡単のために、その固有値を2とすると、Jordan 標準形は、\\
(4)型~~~\begin{pmatrix}
2&1&0&0\\
0&2&1&0\\
0&0&2&1\\
0&0&0&2\\
\end{pmatrix}~~~~
(3,1)型~~~\begin{pmatrix}
2&1&0&0\\
0&2&1&0\\
0&0&2&0\\
0&0&0&2\\
\end{pmatrix}~~~~
(2,2)型~~~\begin{pmatrix}
2&1&0&0\\
0&2&0&0\\
0&0&2&1\\
0&0&0&2\\
\end{pmatrix}\\
(2,1,1)型~~~\begin{pmatrix}
2&1&0&0\\
0&2&0&0\\
0&0&2&0\\
0&0&0&2\\
\end{pmatrix}~~~~
(1,1,1,1)型~~~\begin{pmatrix}
2&0&0&0\\
0&2&0&0\\
0&0&2&0\\
0&0&0&2\\
\end{pmatrix}\\
N=A-2E の階数の表を作ると、\\
\end{math}
\[\begin{tabular}{c|c}
型& Nの階数\\ \hline
(4)&3\\
(3,1)&2\\
(2,2)&2\\
(2,1,1)&1\\
(1,1,1,1)&0\\
\end{tabular} \]
\begin{math}
となり、(3,1)型と(2,2)型の区別がつかない。しかしここでN^2の階数を作ると\\
\end{math}
\[\begin{array}{c|c|c}
型& Nの階数&N^2の階数\\ \hline
(4)&3&2\\
(3,1)&2&1\\
(2,2)&2&0\\
(2,1,1)&1&0\\
(1,1,1,1)&0&0\\
\end{array} \]
\begin{math}
(3,1)と(2,2)の区別をつけることが出来る。\\
\\
問3~~~次の行列A_3 のJordan 標準形を求めよ。\\
A_3=\begin{pmatrix}
10&31&-7&13\\
-4&-15&5&-7\\
-3&-12&5&-5\\
3&15&-6&8\\
\end{pmatrix}\\
\\
解~~~~固有方程式を求めると(x-2)^4=0*となり、2の4重根。\\
N=A_3-2Eを求めると、\\
N=\begin{pmatrix}
8&31&-7&13\\
-4&-17&5&-7\\
-3&-12&3&-5\\
3&15&-6&6\\
\end{pmatrix}\\
N の階数を求める。\\
\end{math}
\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
8&31&-7&13\\ \hline
-4&-17&5&-7\\ \hline
-3&-12&3&-5\\ \hline
3&15&-6&6\\ \hline
\end{array} \]
1列を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
1&3.875&-0.875&1.625\\ \hline
1&4.25&-1.25&1.75\\ \hline
1&4&-1&1.66666666667\\ \hline
1&5&-2&2\\ \hline
\end{array} \]
2,3,4 行から1行を引く。\\
\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
1&3.875&-0.875&1.625\\ \hline
0&0.375&-0.375&0.125\\ \hline
0&0.125&-0.125&0.041666666667\\ \hline
0&1.125&-1.125&0.375\\ \hline
\end{array} \]
2列を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
1&3.875&-0.875&1.625\\ \hline
&1&-1&0.333333333333\\ \hline
&1&-1&0.333333333333\\ \hline
&1&-1&0.333333333333\\ \hline
\end{array} \]
故に、N の階数は2。ここまででは、(3,1)型か(2,2)型のどちらであるかは不明。\\
\begin{math}
そこでN^2 を作り、その階数を求める。作ってみると、ゼロ行列。
つまりN^2の階数は0。階数の表から、(2,2) 型であることが分る。\\
即ち、ある正則行列P があって、\\
P^{-1}A_3P=\begin{pmatrix}
2&1&0&0\\
0&2&0&0\\
0&0&2&1\\
0&0&0&2\\
\end{pmatrix}\\
と出来る。このP を求める。\\
P=\begin{pmatrix}
x_1&x_2&x_3&x_4\\
y_1&y_2&y_3&y_4\\
z_1&z_2&z_3&z_4\\
u_1&u_2&u_3&u_4\\
\end{pmatrix}\\
とおけば、次の連立方程式が出来る。\\
8x_1+31y_1+(-7)z_1+13u_1=0\\
(-4)x_1+(-17)y_1+5z_1+(-7)u_1=0\\
(-3)x_1+(-12)y_1+3z_1+(-5)u_1=0\\
3x_1+15y_1+(-6)z_1+6u_1=0\\
(-1)x_1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+8x_2+31y_2+(-7)z_2+13u_2=0\\
~~~~~~~(-1)y_1~~~~~~~~~~~~~~+(-4)x_2+(-17)y_2+5z_2+(-7)u_2=0\\
~~~~~~~~~~~~~~~(-1)z_1~~~~~~~+ (-3)x_2+(-12)y_2+3z_2+(-5)u_2=0\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (-1)u_1~~~+3x_2+15y_2+(-6)z_2+6u_2=0\\
もう1組の連立方程式が出来るが、それは上の添字の1,2を3,4に変えたものである。\\
これをまた基本変形によって解く。
\end{math}
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&u_1&x_2&y_2&z_2&u_2\\ \hline
8&31&-7&13&&&&\\ \hline
-4&-17&5&-7&&&&\\ \hline
-3&-12&3&-5&&&&\\ \hline
3&15&-6&6&&&&\\ \hline
-1&&&&8&31&-7&13\\ \hline
&-1&&&-4&-17&5&-7\\ \hline
&&-1&&-3&-12&3&-5\\ \hline
&&&-1&3&15&-6&6\\ \hline
\end{array} \]
1列を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&u_1&x_2&y_2&z_2&u_2\\ \hline
1&3.875&-0.875&1.625&&&&\\\hline
1&4.25&-1.25&1.75&&&&\\\hline
1&4&-1&1.66666666667&&&&\\\hline
1&5&-2&2&&&&\\\hline
1&0&0&0&-8&-31&7&-13\\\hline
&-1&&&-4&-17&5&-7\\ \hline
&&-1&&-3&-12&3&-5\\ \hline
&&&-1&3&15&-6&6\\ \hline
\end{array} \]
2,3,4,5行から1行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&u_1&x_2&y_2&z_2&u_2\\ \hline
1&3.875&-0.875&1.625&&&&\\\hline
0&0.375&-0.375&0.125&&&&\\\hline
0&0.125&-0.125&0.041666666667&&&&\\\hline
0&1.125&-1.125&0.375&&&&\\\hline
0&-3.875&0.875&-1.625&-8&-31&7&-13\\\hline
&-1&&&-4&-17&5&-7\\ \hline
&&-1&&-3&-12&3&-5\\ \hline
&&&-1&3&15&-6&6\\ \hline
\end{array} \]
2列を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&u_1&x_2&y_2&z_2&u_2\\ \hline
1&3.875&-0.875&1.625&&&&\\\hline
&1&-1&0.333333&&&&\\\hline
&1&-1&0.333333&&&&\\\hline
&1&-1&0.333333&&&&\\\hline
&1&-0.225806&0.41935&2.06451&8&-1.8064&3.35483\\\hline
&1&0&0&4&17&-5&7\\\hline
&&-1&&-3&-12&3&-5\\ \hline
&&&-1&3&15&-6&6\\ \hline
\end{array} \]
3,4行は除く。5,6行から2行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&u_1&x_2&y_2&z_2&u_2\\ \hline
1&3.875&-0.875&1.625&&&&\\\hline
&1&-1&0.333333&&&&\\\hline
&0&0.7741935&0.086021&2.06451&8&-1.8064&3.35483\\\hline
&0&1&-0.333333&4&17&-5&7\\\hline
&&-1&&-3&-12&3&-5\\ \hline
&&&-1&3&15&-6&6\\ \hline
\end{array} \]
3列を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&u_1&x_2&y_2&z_2&u_2\\ \hline
1&3.875&-0.875&1.625&&&&\\\hline
&1&-1&0.333333&&&&\\\hline
&&1&0.111111&2.66666&10.3333&-2.33333&4.33333\\\hline
&&1&-0.333333&4&17&-5&7\\\hline
&&1&&3&12&-3&5\\\hline
&&&-1&3&15&-6&6\\ \hline
\end{array} \]
4,5行から3行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&u_1&x_2&y_2&z_2&u_2\\ \hline
1&3.875&-0.875&1.625&&&&\\\hline
&1&-1&0.333333&&&&\\\hline
&&1&0.111111&2.66666&10.3333&-2.33333&4.33333\\\hline
&&0&-0.444444&1.33333&6.66666&-2.66666&2.66666\\\hline
&&0&-0.111111&0.333333&1.66666&-0.6666666&0.666666\\\hline
&&&-1&3&15&-6&6\\ \hline
\end{array} \]
4列を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_1&y_1&z_1&u_1&x_2&y_2&z_2&u_2\\ \hline
1&3.875&-0.875&1.625&&&&\\\hline
&1&-1&0.333333&&&&\\\hline
&&1&0.111111&2.66666&10.3333&-2.33333&4.33333\\\hline
&&&1&-3&-15&6&-6\\\hline
&&&1&-3&-15&6&-6\\\hline
&&&1&-3&-15&6&-6\\\hline
\end{array} \]
\begin{math}
u_2=1とおく~~~~u_2= 1\\
z_2=0とおく~~~~z_2= 0\\
y_2=0 とおく~~~~y_2= 0\\
x_2=0とおく~~~~x_2= 0\\
これらを第4式に代入~~~~u_1= 6\\
これらを第3式に代入 ~~~~z_1= -5\\
これらを第2式に代入~~~~y_1= -7\\
これらを第1式に代入~~~~x_1= 13\\
x_3,y_3,･･･z_4,u_4 についても次の同じ連立方程式が出来るから\\
\end{math}
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x_3&y_3&z_3&u_3&x_4&y_4&z_4&u_4\\ \hline
1&3.875&-0.875&1.625&&&&\\\hline
&1&-1&0.333333&&&&\\\hline
&&1&0.111111&2.66666&10.3333&-2.33333&4.33333\\\hline
&&&1&-3&-15&6&-6\\\hline
\end{array} \]
\begin{math}
u4=0とおく~~~~ u4= 0\\
z4=1とおく~~~~ z4= 1\\
y4=0 とおく~~~~ y4= 0\\
x2=0とおく~~~~ x4= 0\\
これらを第4式に代入~~~~ u3= -6\\
これらを第3式に代入~~~~ z3= 3\\
これらを第2式に代入~~~~ y3= 5\\
これらを第1式に代入~~~~ x3= -7\\
故に、P は、\\
P=\begin{pmatrix}
13&0& -7& 0\\
-7& 0& 5& 0\\
-5& 0& 3& 1\\
6& 1& -6& 0\\
\end{pmatrix}\\
(3,3)小行列式の行列を求める\\
\begin{pmatrix}
5& -12& 7& -4\\
-7& 36& -13& -4\\
0& 0& 0& -16\\
0& 16& 0& 0\\
\end{pmatrix}\\
余因子行列は\\
\begin{pmatrix}
5& 7& 0& 0\\
12& 36& 0& 16\\
7& 13& 0& 0\\
4& -4& 16& 0\\
\end{pmatrix}\\
この行列式は16。即ちP^{-1}は、\\
P^{-1}=(1/16) \begin{pmatrix}
5& 7& 0& 0\\
12& 36& 0& 16\\
7& 13& 0& 0\\
4& -4& 16& 0\\
\end{pmatrix}\\
P^{-1}A_3Pを計算すると、確かに\\
P^{-1}A_3P=\begin{pmatrix}
2&1&0&0\\
0&2&0&0\\
0&0&2&1\\
0&0&0&2\\
\end{pmatrix}\\
となる。~~~（解おわり）
\\
次に、5次の行列で、固有値が5重根を持つ場合を考える。\\
この時は、(5)型、(4,1)型、(3,2)型、(3,1,1)型、(2,2,1)型、(2,1,1,1)型、
(1,1,1,1,1)型の7通りである。\\
Nの階数の表を作ると下記のようになる。\\
\end{math}
\[\begin{array}{c|c|c}
型& Nの階数&N^2の階数\\ \hline
(5)&4&3\\
(4,1)&3&2\\
(3,2)&3&1\\
(3,1,1)&2&1\\
(2,2,1)&2&0\\
(2,1,1,1)&1&0\\
(1,1,1,1,1)&0&0\\
\end{array} \]
\begin{math}
この場合も、N^{2} まで計算すれば、Jordan 標準形が何型になるかは判明する。\\
\\
最後に、5次の行列で、固有値が3の3重根、5の2重根を持つ場合を考えてみる。\\
固有値3に関してはJordan 標準形は(3)型、(2,1)型、(1,1,1)型の3種。\\
固有値5に関してはJordan標準形は(2)型、(1,1)型の2種。\\
従って、ありうる場合は次の6種類。\\
\end{math}
\[\begin{array}{c|c}
固有値3について& 固有値5について\\ \hline
(3)&(2)\\
(2,1)&(2)\\
(1,1,1)&(2)\\
(3)&(1,1)\\
(2,1)&(1,1)\\
(1,1,1)&(1,1)\\
\end{array} \]
\begin{math}
N=A-3E, M=A-5E とおいて、「固有値3について(3)型、
かつ固有値5について(2)型の場合」のN とM の階数を求めると、\\
N=\begin{pmatrix}
3&1&0&0&0\\
0&3&1&0&0\\
0&0&3&0&0\\
0&0&0&5&1\\
0& 0&0&0&5\\
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
3&0&0&0&0\\
0&3&0&0&0\\
0&0&3&0&0\\
0&0&0&3&0\\
0& 0&0&0&3\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&0&0\\
0&0&0&2&1\\
0& 0&0&0&2\\
\end{pmatrix}\\
となり、その階数は4。\\
M=\begin{pmatrix}
3&1&0&0&0\\
0&3&1&0&0\\
0&0&3&0&0\\
0&0&0&5&1\\
0& 0&0&0&5\\
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
5&0&0&0&0\\
0&5&0&0&0\\
0&0&5&0&0\\
0&0&0&5&0\\
0& 0&0&0&5\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-2&1&0&0&0\\
0&-2&1&0&0\\
0&0&-2&0&0\\
0&0&0&0&1\\
0& 0&0&0&0\\
\end{pmatrix}\\
となり、その階数は4。\\
型と階数の表を作ると\\
\end{math}
\[\begin{array}{c|c|c|c}
固有値3について& 固有値5について&N&M\\ \hline
(3)&(2)&4&4\\
(2,1)&(2)&3&4\\
(1,1,1)&(2)&2&4\\
(3)&(1,1)&4&3\\
(2,1)&(1,1)&3&3\\
(1,1,1)&(1,1)&2&3\\
\end{array} \]
\begin{math}
となり、N およびM の階数を調べることによりJordan 標準形が分る。\\
\\
問4~~~A_4=\begin{pmatrix}
0.9&2.3&-11.9&-1.3&1.8\\
-0.18&-0.46&1.98&1.46&1.24\\
0.16&0.52&6.24&1.48&0.62\\
-4.24&-0.28&-23.36&-3.72&-1.18\\
2.72&-2.16&20.08&0.16&-2.96\\
\end{pmatrix}\\
のJordan標準形を求めよ。\\
解~~~固有値を求めると-2の3重根、3の2重根。\\
N=A-(-2)E の階数を求めると3。\\
M=A-3E の階数を求めると4。\\
従って、固有値-2 については(2,1)型、固有値3については(2)型であることが分る。\\
つまり、ある正則行列P があって、\\
P^{-1}A_4P=\begin{pmatrix}
-2&1&0&0&0\\
0&-2&0&0&0\\
0&0&-2&0&0\\
0&0&0&3&1\\
0&0&0&0&3\\
\end{pmatrix}\\
となる。~~~（解おわり）
\end{math}


\end{document}