\documentclass[a4j]{jarticle}
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%\documentclass{amsart}
\usepackage{amsthm}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{定理}
\newtheorem{definition}{定義}
\newtheorem{question}{問}
\title{ジョルダン標準形-（５）型の例}
\author{坪井道雄、能美武功}
\date{2001年9月25日} \begin{document}
\maketitle
\begin{math}
問１~~次の行列A のジョルダン標準形を求めよ。\\
A=\begin{pmatrix}
4.2& 4.8& -2.9& -0.3& 0.8\\
0.16& 4.44& -0.02& 1.06& 1.24\\
-0.92& -1.28& 4.24& 0.28& -0.38\\
3.88& 9.92& -5.36& 3.08& 2.82\\
-3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -0.96\\
\end{pmatrix}\\
\\
解~~まず、固有方程式を求める。\\
f(x)=(x-3)^5\\
固有値は3,3,3,3,3~~即ち、3の5重根。\\
A-3E=N~~~の階数を求めると4。従ってこれは（５）型。\\
以下、Nの階数を求めることを、具体的に基本変形でやってみる。\\
N=\begin{pmatrix}
1.2& 4.8& -2.9& -0.3& 0.8\\
0.16& 1.44& -0.02& 1.06& 1.24\\
-0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
-3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\
\end{pmatrix}\\
まづ、第１列を1にする。\\
\end{math}
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 4& -2.41666666667& -0.25& 0.666666666667\\
1& 9& -0.125& 6.625& 7.75\\
1& 1.39130434783& -1.34782608696& -0.304347826087& 0.413043478261\\
1& 2.55670103093& -1.38144329897& 0.020618556701& 0.726804123711\\
1& 2.95604395604& -1.3956043956& 0.340659340659& 1.08791208791\\\hline
\end{array} \]
2,3,4,5行から1,2,3,4行を引く。\\
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 4& -2.41666666667& -0.25& 0.666666666667\\
0& 5& 2.29166666667& 6.875& 7.08333333333\\
0& -7.60869565217& -1.22282608696& -6.92934782609& -7.33695652174\\
0& 1.1653966831& -0.033617212013& 0.324966382788& 0.31376064545\\
0& 0.399342925116& -0.014161096635& 0.320040783958& 0.361107964201\\\hline
\end{array} \]
第2列を1にする。\\
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 4& -2.41666666667& -0.25& 0.666666666667\\
&1& 0.458333333333& 1.375& 1.41666666667\\
&1& 0.160714285714& 0.910714285714& 0.964285714286\\
&1& -0.028846153846& 0.278846153846& 0.269230769231\\
&1& -0.035460992908& 0.801418439716& 0.904255319149\\\hline
\end{array} \]
3,4,5行から2,3,4行を引く。\\
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 4& -2.41666666667& -0.25& 0.666666666667\\
& 1& 0.458333333333& 1.375& 1.41666666667\\
& 0& -0.297619047619& -0.464285714286& -0.452380952381\\
& 0& -0.18956043956& -0.631868131868& -0.695054945055\\
& 0& -0.0066148390616& 0.52257228587& 0.635024549918\\\hline
\end{array} \]
第3列を1にする。\\
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 4& -2.41666666667& -0.25& 0.666666666667\\
& 1& 0.458333333333& 1.375& 1.41666666667\\
& & 1& 1.56& 1.52\\
& & 1& 3.33333333333& 3.66666666667\\
& & 1& -79& -96\\\hline
\end{array} \]
4,5行から3,4行を引く。\\
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 4& -2.41666666667& -0.25& 0.666666666667\\
& 1& 0.458333333333& 1.375& 1.41666666667\\
& & 1& 1.56& 1.52\\
& & 0& 1.77333333333& 2.14666666667\\
& & 0& -82.3333333333& -99.6666666667\\\hline
\end{array} \]
第4列を1にする。\\
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 4& -2.41666666667& -0.25& 0.666666666667\\
& 1& 0.458333333333& 1.375& 1.41666666667\\
& & 1& 1.56& 1.52\\
& & & 1& 1.21052631579\\
& & & 1& 1.21052631579\\\hline
\end{array} \]
5行から4行を引く。\\
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 4& -2.41666666667& -0.25& 0.666666666667\\
& 1& 0.458333333333& 1.375& 1.41666666667\\
& & 1& 1.56& 1.52\\
& & & 1& 1.21052631579\\
& & & 0& 0\\\hline
\end{array} \]
即ち、Nの階数は4。従って、ジョルダン標準形は(5)型。\\
\begin{math}
従って、\\
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
3& 1& 0& 0& 0\\
0& 3& 1& 0& 0\\
0& 0& 3& 1& 0\\
0& 0& 0& 3& 1\\
0& 0& 0& 0& 3\\
\end{pmatrix}\\
ならしめる正則行列 P が存在する。 Pを\\
P=\begin{pmatrix}
x_1&x_2&x_3&x_4& x_5\\
y_1&y_2&y_3&y_4& y_5\\
z_1&z_2&z_3&z_4& z_5\\
u_1&u_2&u_3&u_4& u_5\\
v_1&v_2&v_3&v_4& v_5\\
\end{pmatrix}\\
とおけば、次の連立方程式が出来る。これを解けばよい。\\
1.2x_1+ 4.8y_1+ (-2.9)z_1+ (-0.3)u_1+ 0.8v_1=0\cdots(1)\\
0.16x_1+ 1.44y_1+ (-0.02)z_1+ 1.06u_1+ 1.24v_1=0\cdots(2)\\
-0.92x_1+ (-1.28)y_1+ 1.24z_1+ 0.28u_1+ (-0.38)v_1=0\cdots(3)\\
3.88x_1+ 9.92y_1+ (-5.36)z_1+ 0.08u_1+ 2.82v_1=0\cdots(4)\\
-3.64x_1+ (-10.76)y_1+ 5.08z_1+ (-1.24)u_1+ (-3.96)v_1=0\cdots(5)\\
(-1)x_1+ 1.2x_2+ 4.8y_2+ (-2.9)z_2+ (-0.3)u_2+ 0.8v_2=0\cdots(6)\\
(-1)y_1+0.16x_2+ 1.44y_2+ (-0.02)z_2+ 1.06u_2+ 1.24v_2=0\cdots(7)\\
(-1)z_1+-0.92x_2+ (-1.28)y_2+ 1.24z_2+ 0.28u_2+ (-0.38)v_2=0\cdots(8)\\
(-1)u_1+3.88x_2+ 9.92y_2+ (-5.36)z_2+ 0.08u_2+ 2.82v_2=0\cdots(9)\\
(-1)v_1+-3.64x_2+ (-10.76)y_2+ 5.08z_2+ (-1.24)u_2+ (-3.96)v_2=0\cdots(10)\\
(-1)x_2+ 1.2x_3+ 4.8y_3+ (-2.9)z_3+ (-0.3)u_3+ 0.8v_3=0\cdots(11)\\
(-1)y_2+0.16x_3+ 1.44y_3+ (-0.02)z_3+ 1.06u_3+ 1.24v_3=0\cdots(12)\\
(-1)z_2+-0.92x_3+ (-1.28)y_3+ 1.24z_3+ 0.28u_3+ (-0.38)v_3=0\cdots(13)\\
(-1)u_2+3.88x_3+ 9.92y_3+ (-5.36)z_3+ 0.08u_3+ 2.82v_3=0\cdots(14)\\
(-1)v_2+-3.64x_3+ (-10.76)y_3+ 5.08z_3+ (-1.24)u_3+ (-3.96)v_3=0\cdots(15)\\
(-1)x_3+ 1.2x_4+ 4.8y_4+ (-2.9)z_4+ (-0.3)u_4+ 0.8v_4=0\cdots(16)\\
(-1)y_3+0.16x_4+ 1.44y_4+ (-0.02)z_4+ 1.06u_4+ 1.24v_4=0\cdots(17)\\
(-1)z_3+-0.92x_4+ (-1.28)y_4+ 1.24z_4+ 0.28u_4+ (-0.38)v_4=0\cdots(18)\\
(-1)u_3+3.88x_4+ 9.92y_4+ (-5.36)z_4+ 0.08u_4+ 2.82v_4=0\cdots(19)\\
(-1)v_3+-3.64x_4+ (-10.76)y_4+ 5.08z_4+ (-1.24)u_4+ (-3.96)v_4=0\cdots(20)\\
(-1)x_4+ 1.2x_5+ 4.8y_5+ (-2.9)z_5+ (-0.3)u_5+ 0.8v_5=0\cdots(21)\\
(-1)y_4+0.16x_5+ 1.44y_5+ (-0.02)z_5+ 1.06u_5+ 1.24v_5=0\cdots(22)\\
(-1)z_4+-0.92x_5+ (-1.28)y_5+ 1.24z_5+ 0.28u_5+ (-0.38)v_5=0\cdots(23)\\
(-1)u_4+3.88x_5+ 9.92y_5+ (-5.36)z_5+ 0.08u_5+ 2.82v_5=0\cdots(24)\\
(-1)v_4+-3.64x_5+ (-10.76)y_5+ 5.08z_5+ (-1.24)u_5+ (-3.96)v_5=0\cdots(25)\\
\\
(5)式は、その上の４個の式の１次結合であることは、階数の計算の結果から分る。\\
従って、この(5)式を取り除いた24個の式に基本変形を施し、解くことにする。\\
まづ、(1)式から(10)式までの9個の式に基本変形を施す。\\
\end{math}
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& x1& y1& z1& u1& v1& x2& y2& z2& u2& v2\\\hline
1& 1.2& 4.8& -2.9& -0.3& 0.8& & & & & \\
2& 0.16& 1.44& -0.02& 1.06& 1.24& & & & & \\
3& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38& & & & & \\
4& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82& & & & & \\
6& -1& 0& 0& 0& 0& 1.2& 4.8& -2.9& -0.3& 0.8\\
7& 0& -1& 0& 0& 0& 0.16& 1.44& -0.02& 1.06& 1.24\\
8& 0& 0& -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
9& 0& 0& 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
10& 0& 0& 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$x_1$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& x1& y1& z1& u1& v1& x2& y2& z2& u2& v2\\\hline
1& 1& 4& -2.41666& -0.25& 0.666666& 0& 0& 0& 0& 0\\
2& 1& 9& -0.125& 6.625& 7.75& 0& 0& 0& 0& 0\\
3& 1& 1.39130& -1.34782& -0.304347& 0.413043& 0& 0& 0& 0& 0\\
4& 1& 2.55670& -1.38144& 0.020618& 0.726804& 0& 0& 0& 0& 0\\
6& 1& 0& 0& 0& 0& -1.2& -4.8& 2.9& 0.3& -0.8\\
7& & -1& 0& 0& 0& 0.16& 1.44& -0.02& 1.06& 1.24\\
8& & 0& -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
9& & 0& 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
10& & 0& 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
2、3、4、6行から1、2、3、4行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& x1& y1& z1& u1& v1& x2& y2& z2& u2& v2\\\hline
1& 1& 4& -2.41666& -0.25& 0.666666& 0& 0& 0& 0& 0\\
2& 0& 5& 2.29166& 6.875& 7.08333& 0& 0& 0& 0& 0\\
3& 0& -7.60869& -1.22282& -6.92934& -7.33695& 0& 0& 0& 0& 0\\
4& 0& 1.1653& -0.033617& 0.324966& 0.31376& 0& 0& 0& 0& 0\\
6& 0& -2.55670& 1.38144& -0.020618& -0.726804& -1.2& -4.8& 2.9& 0.3& -0.8\\
7& & -1& 0& 0& 0& 0.16& 1.44& -0.02& 1.06& 1.24\\
8& & 0& -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
9& & 0& 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
10& & 0& 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$y_1$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& x1& y1& z1& u1& v1& x2& y2& z2& u2& v2\\\hline
1& 1& 4& -2.41666& -0.25& 0.666666& 0& 0& 0& 0& 0\\
2& & 1& 0.45833& 1.375& 1.41666& 0& 0& 0& 0& 0\\
3& & 1& 0.160714& 0.910714& 0.964285& 0& 0& 0& 0& 0\\
4& & 1& -0.028846& 0.278846& 0.269230& 0& 0& 0& 0& 0\\
6& & 1& -0.540322& 0.008064& 0.284274& 0.46935& 1.87741& -1.13427& -0.117338& 0.312903\\
7& & 1& 0& 0& 0& -0.16& -1.44& 0.02& -1.06& -1.24\\
8& & & -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
9& & & 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
10& & & 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
3、4、6、7行から2、3、4、6行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 1& 4& -2.41666& -0.25& 0.666666& 0& 0& 0& 0& 0\\
2& & 1& 0.458333& 1.375& 1.41666& 0& 0& 0& 0& 0\\
3& & 0& -0.297619& -0.464285& -0.452380& 0& 0& 0& 0& 0\\
4& & 0& -0.18956& -0.631868& -0.695054& 0& 0& 0& 0& 0\\
6& & 0& -0.511476& -0.270781& 0.015043& 0.46935& 1.87741& -1.13427& -0.117338& 0.312903\\
7& & 0& 0.540322& -0.008064& -0.284274& -0.62935& -3.31741& 1.15427& -0.942661& -1.55290\\
8& & & -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
9& & & 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
10& & & 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$z_1$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 1& 4& -2.41666& -0.25& 0.666666& 0& 0& 0& 0& 0\\
2& & 1& 0.458333& 1.375& 1.41666& 0& 0& 0& 0& 0\\
3& & & 1& 1.56& 1.52& 0& 0& 0& 0& 0\\
4& & & 1& 3.33333& 3.66666& 0& 0& 0& 0& 0\\
6& & & 1& 0.529411& -0.029411& -0.917647& -3.67058& 2.21764& 0.229411& -0.611764\\
7& & & 1& -0.014925& -0.526119& -1.1647& -6.13970& 2.13626& -1.74462& -2.87402\\
8& & & 1& 0& 0& 0.92& 1.28& -1.24& -0.28& 0.38\\
9& & & & -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
10& & & & 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
4、6、7、8行から3、4、6、7行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 1& 4& -2.41666& -0.25& 0.666666& 0& 0& 0& 0& 0\\
2& & 1& 0.458333& 1.375& 1.41666& 0& 0& 0& 0& 0\\
3& & & 1& 1.56& 1.52& 0& 0& 0& 0& 0\\
4& & & 0& 1.77333& 2.14666& 0& 0& 0& 0& 0\\
6& & & 0& -2.80392& -3.69607& -0.917647& -3.67058& 2.21764& 0.229411& -0.611764\\
7& & & 0& -0.54433& -0.496707& -0.247129& -2.46911& -0.081378& -1.97403& -2.26226\\
8& & & 0& 0.014925& 0.526119& 2.0847& 7.41970& -3.37626& 1.46462& 3.25402\\
9& & & & -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
10& & & & 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$u_1$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1&1& 4& -2.41666& -0.25& 0.666666& 0& 0& 0& 0& 0\\
2& & 1& 0.458333& 1.375& 1.41666& 0& 0& 0& 0& 0\\
3& & & 1& 1.56& 1.52& 0& 0& 0& 0& 0\\
4& & & & 1& 1.21052& 0& 0& 0& 0& 0\\
6& & & & 1& 1.31818& 0.327272& 1.30909& -0.790909& -0.081818& 0.218181\\
7& & & & 1& 0.9125& 0.454& 4.536& 0.1495& 3.6265& 4.156\\
8& & & & 1& 35.25& 139.68& 497.12& -226.21& 98.13& 218.02\\
9& & & & 1& 0& -3.88& -9.92& 5.36& -0.08& -2.82\\
10& & & && -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
6、7、8、9行から4、6、7、8行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 1& 4& -2.41666& -0.25& 0.666666& 0& 0& 0& 0& 0\\
2& & 1& 0.458333& 1.375& 1.41666& 0& 0& 0& 0& 0\\
3& & & 1& 1.56& 1.52& 0& 0& 0& 0& 0\\
4& & & & 1& 1.21052& 0& 0& 0& 0& 0\\
6& & & & 0& 0.107655& 0.327272& 1.30909& -0.790909& -0.081818& 0.218181\\
7& & & & 0& -0.405681& 0.126727& 3.22690& 0.940409& 3.70831& 3.93781\\
8& & & & 0& 34.3375& 139.226& 492.584& -226.3595& 94.5035& 213.864\\
9& & & & 0& -35.25& -143.56& -507.04& 231.57& -98.21& -220.84\\
10& & & & & -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$v_1$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 1& 4& -2.41666& -0.25& 0.666666& 0& 0& 0& 0& 0\\
2& & 1& 0.458333& 1.375& 1.41666& 0& 0& 0& 0& 0\\
3& & & 1& 1.56& 1.52& 0& 0& 0& 0& 0\\
4& & & & 1& 1.21052& 0& 0& 0& 0& 0\\
6& & & & & 1& 3.04& 12.16& -7.34666& -0.76& 2.02666\\
7& & & & & 1& -0.312380& -7.95428& -2.3180& -9.14095& -9.70666\\
8& & & & & 1& 4.05463& 14.3453& -6.59219& 2.75219& 6.22829\\
9& & & & & 1& 4.07262& 14.3841& -6.56936& 2.78609& 6.26496\\
10& & & & & 1& 3.64& 10.76& -5.08& 1.24& 3.96\\\hline
\end{array} \]
7、8、9、10行から6、7、8、9行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 1& 4& -2.41666& -0.25& 0.666666& 0& 0& 0& 0& 0\\
2& & 1& 0.458333& 1.375& 1.41666& 0& 0& 0& 0& 0\\
3& & & 1& 1.56& 1.52& 0& 0& 0& 0& 0\\
4& & & & 1& 1.21052& 0& 0& 0& 0& 0\\
6& & & & & 1& 3.04& 12.16& -7.34666& -0.76& 2.02666\\
7& & & & & 0& -3.35238& -20.1142& 5.02857& -8.38095& -11.7333\\
8& & & & & 0& 4.36701& 22.2996& -4.27409& 11.8931& 15.9349\\
9& & & & & 0& 0.017989& 0.038747& 0.022833& 0.033904& 0.036671\\
10& & & & & 0& -0.432624& -3.62411& 1.48936& -1.54609& -2.30496\\\hline
\end{array} \]
7、8、9、10行に11、12、13、14、15行をつけ加える
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& x2& y2& z2& u2& v2& x3& y3& z3& u3& v3\\\hline
7& -3.35238& -20.1142& 5.02857& -8.38095& -11.7333&0&0&0&0&0\\
8& 4.36701& 22.2996& -4.27409& 11.8931& 15.9349&0&0&0&0&0\\
9& 0.017989& 0.038747& 0.022833& 0.033904& 0.03667&0&0&0&0&0\\
10& -0.432624& -3.62411& 1.48936& -1.54609& -2.30496&0&0&0&0&0\\
11& -1& 0& 0& 0& 0& 1.2& 4.8& -2.9& -0.3& 0.8\\
12& 0& -1& 0& 0& 0& 0.16& 1.44& -0.02& 1.06& 1.24\\
13& 0& 0& -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
14& 0& 0& 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
15& 0& 0& 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$x_2$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
7& 1& 6& -1.5& 2.5& 3.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
8& 1& 5.10638& -0.978723& 2.72340& 3.64893& 0& 0& 0& 0& 0\\
9& 1& 2.15384& 1.26923& 1.88461& 2.03846& 0& 0& 0& 0& 0\\
10& 1& 8.37704& -3.44262& 3.5737& 5.32786& 0& 0& 0& 0& 0\\
11& 1& 0& 0& 0& 0& -1.2& -4.8& 2.9& 0.3& -0.8\\
12& 0& -1& 0& 0& 0& 0.16& 1.44& -0.02& 1.06& 1.24\\
13& 0& 0& -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
14& 0& 0& 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
15& 0& 0& 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
8、9、10、11行から7、8、9、10行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
7& 1& 6& -1.5& 2.5& 3.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
8& 0& -0.893617& 0.521276& 0.223404& 0.148936& 0& 0& 0& 0& 0\\
9& 0& -2.95253& 2.24795& -0.838788& -1.61047& 0& 0& 0& 0& 0\\
10& 0& 6.22320& -4.71185& 1.68915& 3.289& 0& 0& 0& 0& 0\\
11& 0& -8.37704& 3.44262& -3.5737& -5.32786& -1.2& -4.8& 2.9& 0.3& -0.8\\
12& 0& -1& 0& 0& 0& 0.16& 1.44& -0.02& 1.06& 1.24\\
13& 0& 0& -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
14& 0& 0& 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
15& 0& 0& 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$y_2$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
7& 1& 6& -1.5& 2.5& 3.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
8& & 1& -0.583333& -0.25& -0.166666& 0& 0& 0& 0& 0\\
9& & 1& -0.761363& 0.284090& 0.545454& 0& 0& 0& 0& 0\\
10& & 1& -0.757142& 0.271428& 0.528571& 0& 0& 0& 0& 0\\
11& & 1& -0.41095& 0.426614& 0.636007& 0.14324& 0.572994& -0.346183& -0.035812& 0.095499\\
12& & 1& 0& 0& 0& -0.16& -1.44& 0.02& -1.06& -1.24\\
13& & & -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
14& & & 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
15& & & 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
9、10、11、12行から8、9、10、11行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
7& 1& 6& -1.5& 2.5& 3.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
8& & 1& -0.583333& -0.25& -0.166666& 0& 0& 0& 0& 0\\
9& & 0& -0.17803& 0.534090& 0.712121& 0& 0& 0& 0& 0\\
10& & 0& 0.0042207& -0.012662& -0.016883& 0& 0& 0& 0& 0\\
11& & 0& 0.346183& 0.15518& 0.107436& 0.14324& 0.572994& -0.346183& -0.035812& 0.095499\\
12& & 0& 0.41095& -0.426614& -0.636007& -0.30324& -2.01299& 0.366183& -1.02418& -1.33549\\
13& & & -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
14& & & 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
15& & & 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$z_2$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
7& 1& 6& -1.5& 2.5& 3.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
8& & 1& -0.583333& -0.25& -0.166666& 0& 0& 0& 0& 0\\
9& & & 1& -3& -4& 0& 0& 0& 0& 0\\
10& & & 1& -3& -4& 0& 0& 0& 0& 0\\
11& & & 1& 0.448275& 0.310344& 0.413793& 1.65517& -1& -0.103448& 0.275862\\
12& & & 1& -1.0380& -1.54761& -0.737904& -4.89828& 0.891047& -2.49219& -3.24971\\
13& & & 1& 0& 0& 0.92& 1.28& -1.24& -0.28& 0.38\\
14& & & & -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
15& & & & 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
10、11、12、13行から9、10、11、12行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
7& 1& 6& -1.5& 2.5& 3.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
8& & 1& -0.583333& -0.25& -0.166666& 0& 0& 0& 0& 0\\
9& & & 1& -3& -4& 0& 0& 0& 0& 0\\
10& & & 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
11& & & 0& 3.44827& 4.31034& 0.413793& 1.65517& -1& -0.103448& 0.275862\\
12& & & 0& -1.48637& -1.85796& -1.15169& -6.55345& 1.89104& -2.38874& -3.52557\\
13& & & 0& 1.0380& 1.54761& 1.6579& 6.17828& -2.13104& 2.21219& 3.62971\\
14& & & & -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
15& & & & 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
式（10）は取り除く。$u_2$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
7& 1& 6& -1.5& 2.5& 3.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
8& & 1& -0.583333& -0.25& -0.166666& 0& 0& 0& 0& 0\\
9& & & 1& -3& -4& 0& 0& 0& 0& 0\\
11& & & & 1& 1.25& 0.12& 0.48& -0.29& -0.03& 0.08\\
12& & & & 1& 1.25& 0.774838& 4.40903& -1.27225& 1.60709& 2.37193\\
13& & & & 1& 1.49082& 1.59706& 5.95155& -2.0528& 2.13100& 3.49651\\
14& & & & 1& 0& -3.88& -9.92& 5.36& -0.08& -2.82\\
15& & & & 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
12、13、14行から11、12、13行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
7& 1& 6& -1.5& 2.5& 3.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
8& & 1& -0.583333& -0.25& -0.166666& 0& 0& 0& 0& 0\\
9& & & 1& -3& -4& 0& 0& 0& 0& 0\\
11& & & & 1& 1.25& 0.12& 0.48& -0.29& -0.03& 0.08\\
12& & & & 0& 0& 0.654838& 3.92903& -0.982258& 1.63709& 2.29193\\
13& & & & 0& 0.240825& 0.822225& 1.54252& -0.780585& 0.523912& 1.1245\\
14& & & & 0& -1.49082& -5.47706& -15.871& 7.4128& -2.21100& -6.31651\\
15& & & & & -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
12行を15行に持って行く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
7& 1& 6& -1.5& 2.5& 3.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
8& & 1& -0.583333& -0.25& -0.166666& 0& 0& 0& 0& 0\\
9& & & 1& -3& -4& 0& 0& 0& 0& 0\\
11& & & & 1& 1.25& 0.12& 0.48& -0.29& -0.03& 0.08\\
13& & & & 0& 0.240825& 0.822225& 1.54252& -0.780585& 0.523912& 1.1245\\
14& & & & 0& -1.49082& -5.47706& -15.871& 7.4128& -2.21100& -6.31651\\
15& & & & & -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\
12& & & & 0& 0& 0.654838& 3.92903& -0.982258& 1.63709& 2.29193\\\hline
\end{array} \]
$v_2$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
7& 1& 6& -1.5& 2.5& 3.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
8& & 1& -0.583333& -0.25& -0.166666& 0& 0& 0& 0& 0\\
9& & & 1& -3& -4& 0& 0& 0& 0& 0\\
11& & & & 1& 1.25& 0.12& 0.48& -0.29& -0.03& 0.08\\
13& & & & & 1& 3.41419& 6.40516& -3.24129& 2.17548& 4.66967\\
14& & & & & 1& 3.673846& 10.64615& -4.972307& 1.483076& 4.236923\\
15& & & & & 1& 3.64& 10.76& -5.08& 1.24& 3.96\\
12& & & & & & 0.654838& 3.92903& -0.982258& 1.63709& 2.29193\\\hline
\end{array} \]
14、15行から13、14行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
7& 1& 6& -1.5& 2.5& 3.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
8& & 1& -0.583333& -0.25& -0.166666& 0& 0& 0& 0& 0\\
9& & & 1& -3& -4& 0& 0& 0& 0& 0\\
11& & & & 1& 1.25& 0.12& 0.48& -0.29& -0.03& 0.08\\
13& & & & & 1& 3.41419& 6.40516& -3.24129& 2.17548& 4.66967\\
14& & & & & 0& 0.259652& 4.24099& -1.73101& -0.692406& -0.432754\\
15& & & & & 0& -0.033846& 0.113846& -0.107692& -0.243076& -0.276923\\
12& & & & & & 0.654838& 3.92903& -0.982258& 1.63709& 2.29193\\\hline
\end{array} \]
14、15、12行に16、17、18、19、20行をつけ加える
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& x3& y3& z3& u3& v3& x4& y4& z4& u4& v4\\\hline
14& 0.259652& 4.24099& -1.73101& -0.692406& -0.432754&&&&&\\
15& -0.033846& 0.113846& -0.107692& -0.243076& -0.276923&&&&&\\
12& 0.6548387& 3.929032& -0.9822580& 1.637096& 2.291935&&&&&\\
16& -1& 0& 0& 0& 0& 1.2& 4.8& -2.9& -0.3& 0.8\\
17& 0& -1& 0& 0& 0& 0.16& 1.44& -0.02& 1.06& 1.24\\
18& 0& 0& -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
19& 0& 0& 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
20& 0& 0& 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$x_3$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
14& 1& 16.3333& -6.66666& -2.66666& -1.66666& 0& 0& 0& 0& 0\\
15& 1& -3.36363& 3.18181& 7.18181& 8.18181& 0& 0& 0& 0& 0\\
12& 1& 6& -1.5& 2.5& 3.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
16& 1& 0& 0& 0& 0& -1.2& -4.8& 2.9& 0.3& -0.8\\
17& & -1& 0& 0& 0& 0.16& 1.44& -0.02& 1.06& 1.24\\
18& & 0& -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
19& & 0& 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
20& & 0& 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
15、12、16行から14、15、12行をひく
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
14& 1& 16.3333& -6.66666& -2.66666& -1.66666& 0& 0& 0& 0& 0\\
15& 0& -19.696& 9.84848& 9.84848& 9.84848& 0& 0& 0& 0& 0\\
12& 0& 9.36363& -4.68181& -4.68181& -4.68181& 0& 0& 0& 0& 0\\
16& 0& -6& 1.5& -2.5& -3.5& -1.2& -4.8& 2.9& 0.3& -0.8\\
17& & -1& 0& 0& 0& 0.16& 1.44& -0.02& 1.06& 1.24\\
18& & 0& -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
19& & 0& 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
20& & 0& 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$y_3$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
14& 1& 16.3333& -6.66666& -2.66666& -1.66666& 0& 0& 0& 0& 0\\
15& & 1& -0.5& -0.5& -0.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
12& & 1& -0.5& -0.5& -0.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
16& & 1& -0.25& 0.416666& 0.583333& 0.2& 0.8& -0.483333& -0.05& 0.133333\\
17& & 1& 0& 0& 0& -0.16& -1.44& 0.02& -1.06& -1.24\\
18& & & -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
19& & & 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
20& & & 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
12、16、17行から15、12、16行をひく
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
14& 1& 16.3333& -6.66666& -2.66666& -1.66666& 0& 0& 0& 0& 0\\
15& & 1& -0.5& -0.5& -0.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
12& & 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
16& & 0& 0.25& 0.916666& 1.08333& 0.2& 0.8& -0.483333& -0.05& 0.133333\\
17& & 0& 0.25& -0.416666& -0.583333& -0.36& -2.24& 0.503333& -1.01& -1.37333\\
18& & & -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
19& & & 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
20& & & 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
12行を取り除く。$z_3$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
14& 1& 16.3333& -6.66666& -2.66666& -1.66666& 0& 0& 0& 0& 0\\
15& & 1& -0.5& -0.5& -0.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
16& & & 1& 3.66666& 4.33333& 0.8& 3.2& -1.93333& -0.2& 0.533333\\
17& & & 1& -1.66666& -2.33333& -1.44& -8.96& 2.01333& -4.04& -5.49333\\
18& & & 1& 0& 0& 0.92& 1.28& -1.24& -0.28& 0.38\\
19& & & & -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
20& & & & 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
17、18行から16、17行をひく
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
14& 1& 16.3333& -6.66666& -2.66666& -1.66666& 0& 0& 0& 0& 0\\
15& & 1& -0.5& -0.5& -0.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
16& & & 1& 3.66666& 4.33333& 0.8& 3.2& -1.93333& -0.2& 0.533333\\
17& & & 0& -5.33333& -6.66666& -2.24& -12.16& 3.94666& -3.84& -6.02666\\
18& & & 0& 1.66666& 2.33333& 2.36& 10.24& -3.25333& 3.76& 5.87333\\
19& & & & -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
20& & & & 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$u_3$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
14& 1& 16.3333& -6.66666& -2.66666& -1.66666& 0& 0& 0& 0& 0\\
15& & 1& -0.5& -0.5& -0.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
16& & & 1& 3.66666& 4.33333& 0.8& 3.2& -1.93333& -0.2& 0.533333\\
17& & & & 1& 1.25& 0.42& 2.28& -0.74& 0.72& 1.13\\
18& & & & 1& 1.4& 1.416& 6.144& -1.952& 2.256& 3.524\\
19& & & & 1& 0& -3.88& -9.92& 5.36& -0.08& -2.82\\
20& & & & & -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
18、19行から17、18行をひく
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
14& 1& 16.3333& -6.66666& -2.66666& -1.66666& 0& 0& 0& 0& 0\\
15& & 1& -0.5& -0.5& -0.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
16& & & 1& 3.66666& 4.33333& 0.8& 3.2& -1.93333& -0.2& 0.533333\\
17& & & & 1& 1.25& 0.42& 2.28& -0.74& 0.72& 1.13\\
18& & & & 0& 0.15& 0.996& 3.864& -1.212& 1.536& 2.394\\
19& & & & 0& -1.4& -5.296& -16.064& 7.312& -2.336& -6.344\\
20& & & & & -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$v_3$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
14& 1& 16.3333& -6.66666& -2.66666& -1.66666& 0& 0& 0& 0& 0\\
15& & 1& -0.5& -0.5& -0.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
16& & & 1& 3.66666& 4.33333& 0.8& 3.2& -1.93333& -0.2& 0.533333\\
17& & & & 1& 1.25& 0.42& 2.28& -0.74& 0.72& 1.13\\
18& & & & & 1& 6.64& 25.76& -8.08& 10.24& 15.96\\
19& & & & & 1& 3.78285& 11.4742& -5.22285& 1.66857& 4.53142\\
20& & & & & 1& 3.64& 10.76& -5.08& 1.24& 3.96\\\hline
\end{array} \]
19、20行から18、19行をひく
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
14& 1& 16.3333& -6.66666& -2.66666& -1.66666& 0& 0& 0& 0& 0\\
15& & 1& -0.5& -0.5& -0.5& 0& 0& 0& 0& 0\\
16& & & 1& 3.66666& 4.33333& 0.8& 3.2& -1.93333& -0.2& 0.533333\\
17& & & & 1& 1.25& 0.42& 2.28& -0.74& 0.72& 1.13\\
18& & & & & 1& 6.64& 25.76& -8.08& 10.24& 15.96\\
19& & & & & 0& -2.85714& -14.2857& 2.85714& -8.57142& -11.4285\\
20& & & & & 0& -0.142857& -0.714285& 0.142857& -0.428571& -0.571428\\\hline
\end{array} \]
19、20行に21、22、23、24、25行をつけ加える
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& x4& y4& z4& u4& v4& x5& y5& z5& u5& v5\\\hline
19& -2.85714& -14.2857& 2.85714& -8.57142& -11.4285&&&&&\\
20& -0.142857& -0.714285& 0.142857& -0.428571& -0.571428&&&&&\\
21& -1& 0& 0& 0& 0& 1.2& 4.8& -2.9& -0.3& 0.8\\
22& 0& -1& 0& 0& 0& 0.16& 1.44& -0.02& 1.06& 1.24\\
23& 0& 0& -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
24& 0& 0& 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
25& 0& 0& 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$x_4$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& x4& y4& z4& u4& v4& x5& y5& z5& u5& v5\\\hline
19& 1& 5& -1& 3& 4& 0& 0& 0& 0& 0\\
20& 1& 5& -1& 3& 4& 0& 0& 0& 0& 0\\
21& 1& 0& 0& 0& 0& -1.2& -4.8& 2.9& 0.3& -0.8\\
22& & -1& 0& 0& 0& 0.16& 1.44& -0.02& 1.06& 1.24\\
23& & 0& -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
24& & 0& 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
25& & 0& 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
20、21行から19、20行をひく
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
19& 1& 5& -1& 3& 4& 0& 0& 0& 0& 0\\
20& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
21& 0& -5& 1& -3& -4& -1.2& -4.8& 2.9& 0.3& -0.8\\
22& & -1& 0& 0& 0& 0.16& 1.44& -0.02& 1.06& 1.24\\
23& & 0& -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
24& & 0& 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
25& & 0& 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
20行を取り除く。$y_4$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& x4& y4& z4& u4& v4& x5& y5& z5& u5& v5\\\hline
19& 1& 5& -1& 3& 4& 0& 0& 0& 0& 0\\
21& & 1& -0.2& 0.6& 0.8& 0.24& 0.96& -0.58& -0.06& 0.16\\
22& & 1& 0& 0& 0& -0.16& -1.44& 0.02& -1.06& -1.24\\
23& & 0& -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
24& & 0& 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
25& & 0& 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
22行から21行をひく
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
19& 1& 5& -1& 3& 4& 0& 0& 0& 0& 0\\
21& & 1& -0.2& 0.6& 0.8& 0.24& 0.96& -0.58& -0.06& 0.16\\
22& & 0& 0.2& -0.6& -0.8& -0.4& -2.4& 0.6& -1& -1.4\\
23& & 0& -1& 0& 0& -0.92& -1.28& 1.24& 0.28& -0.38\\
24& & 0& 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
25& & 0& 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$z_4$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
19& 1& 5& -1& 3& 4& 0& 0& 0& 0& 0\\
21& & 1& -0.2& 0.6& 0.8& 0.24& 0.96& -0.58& -0.06& 0.16\\
22& & & 1& -3& -4& -2& -12& 3& -5& -7\\
23& & & 1& 0& 0& 0.92& 1.28& -1.24& -0.28& 0.38\\
24& & & 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
25& & & 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
23行から22行をひく
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
19& 1& 5& -1& 3& 4& 0& 0& 0& 0& 0\\
21& & 1& -0.2& 0.6& 0.8& 0.24& 0.96& -0.58& -0.06& 0.16\\
22& & & 1& -3& -4& -2& -12& 3& -5& -7\\
23& & & 0& 3& 4& 2.92& 13.28& -4.24& 4.72& 7.38\\
24& & & 0& -1& 0& 3.88& 9.92& -5.36& 0.08& 2.82\\
25& & & 0& 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$u_4$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
19& 1& 5& -1& 3& 4& 0& 0& 0& 0& 0\\
21& & 1& -0.2& 0.6& 0.8& 0.24& 0.96& -0.58& -0.06& 0.16\\
22& & & 1& -3& -4& -2& -12& 3& -5& -7\\
23& & & & 1& 1.33333& 0.973333& 4.42666& -1.41333& 1.57333& 2.46\\
24& & & & 1& 0& -3.88& -9.92& 5.36& -0.08& -2.82\\
25& & & & 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
24行から23行をひく
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& x4& y4& z4& u4& v4& x5& y5& z5& u5& v5\\\hline
19& 1& 5& -1& 3& 4& 0& 0& 0& 0& 0\\
21& & 1& -0.2& 0.6& 0.8& 0.24& 0.96& -0.58& -0.06& 0.16\\
22& & & 1& -3& -4& -2& -12& 3& -5& -7\\
23& & & & 1& 1.33333& 0.973333& 4.42666& -1.41333& 1.57333& 2.46\\
24& & & & 0& -1.33333& -4.85333& -14.3466& 6.77333& -1.65333& -5.28\\
25& & & & 0& -1& -3.64& -10.76& 5.08& -1.24& -3.96\\\hline
\end{array} \]
$v_4$の係数を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
19& 1& 5& -1& 3& 4& 0& 0& 0& 0& 0\\
21& & 1& -0.2& 0.6& 0.8& 0.24& 0.96& -0.58& -0.06& 0.16\\
22& & & 1& -3& -4& -2& -12& 3& -5& -7\\
23& & & & 1& 1.33333& 0.973333& 4.42666& -1.41333& 1.57333& 2.46\\
24& & & & & 1& 3.64& 10.76& -5.08& 1.24& 3.96\\
25& & & & & 1& 3.64& 10.76& -5.08& 1.24& 3.96\\\hline
\end{array} \]
25行から24行をひく
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
19& 1& 5& -1& 3& 4& 0& 0& 0& 0& 0\\
21& & 1& -0.2& 0.6& 0.8& 0.24& 0.96& -0.58& -0.06& 0.16\\
22& & & 1& -3& -4& -2& -12& 3& -5& -7\\
23& & & & 1& 1.33333& 0.973333& 4.42666& -1.41333& 1.57333& 2.46\\
24& & & & & 1& 3.64& 10.76& -5.08& 1.24& 3.96\\
25& & & & & 0& 0& 0& 0& 0& 0\\\hline
\end{array} \]
(24)式に$x_5=y_5=z_5=u_5=0, v_5=1 を代入して、v_4 を求める$
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&v4& x5& y5& z5& u5& v5&\\\hline
24& 1& 3.64& 10.76& -5.08& 1.24& 3.96&\\
&?& 0& 0& 0& 0&1& -3.96\\\hline
\end{array} \]
これらを(23)式に代入して、$u_4 $を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&u4&v4& x5& y5& z5& u5& v5&\\\hline
23& 1& 1.33333& 0.973333& 4.42666& -1.41333& 1.57333& 2.46&\\
& ?&-3.96& 0& 0& 0& 0& 1& 2.82\\\hline
\end{array} \]
これらを(22)式に代入して、$z_4 $を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&z4&u4&v4& x5& y5& z5& u5& v5&\\\hline
22& 1& -3& -4& -2& -12& 3& -5& -7&\\
& ?&2.82& -3.96& 0& 0& 0& 0& 1& -0.38\\\hline
\end{array} \]
これらを(21)式に代入して、$y_4$ を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&y4&z4&u4&v4& x5& y5& z5& u5& v5&\\\hline
21& 1& -0.2& 0.6& 0.8& 0.24& 0.96& -0.58& -0.06& 0.16&\\
& ?&-0.38& 2.82& -3.96& 0& 0& 0& 0& 1& 1.24\\\hline
\end{array} \]
これらを(19)式に代入して、$x_4$ を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&x_4&y4&z4&u4&v4&\\\hline
19& 1& 5& -1& 3& 4&\\
& ?&1.24& -0.38& 2.82& -3.96&0.8\\\hline
\end{array} \]
これらを(18)式に代入して、$v_3$を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&v3&x4&y4&z4&u4&v4&\\\hline
18& 1& 6.64& 25.76& -8.08& 10.24& 15.96&\\
& ?&0.8& 1.24& -0.38& 2.82& -3.96& -6\\\hline
\end{array} \]
これらを(17)式に代入して、$u_3$を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&u_3&v3&x4&y4&z4&u4&v4&\\\hline
17& 1& 1.25& 0.42& 2.28& -0.74& 0.72& 1.13&\\
& ?&-6& 0.8& 1.24& -0.38& 2.82& -3.96& 6.5\\\hline
\end{array} \]
これらを(16)式に代入して、$z_3$を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&z_3&u_3&v3&x4&y4&z4&u4&v4&\\\hline
16& 1& 3.6666& 4.3333& 0.8& 3.2& -1.9333& -0.2& 0.53333&\\
& ?&6.5& -6& 0.8& 1.24& -0.38& 2.82& -3.96& -0.5\\\hline
\end{array} \]
これらを(15)式に代入して、$y_3$を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&y_3&z_3&u_3&v3&\\\hline
15& 1& -0.5& -0.5& -0.5&\\
& ?&-0.5& 6.5& -6& 0\\\hline
\end{array} \]
これらを(14)式に代入して、$x_3$を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&x_3&y_3&z_3&u_3&v3&\\\hline
14& 1& 16.3333& -6.66666& -2.66666& -1.66666&\\
& ?&0& -0.5& 6.5& -6& 4\\\hline
\end{array} \]
これらを(13)式に代入して、$v_2$を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&v_2&x_3&y_3&z_3&u_3&v3&\\\hline
13& 1& 3.41419& 6.40516& -3.24129& 2.17548& 4.66967&\\
& ?&4& 0& -0.5& 6.5& -6& -1.4\\\hline
\end{array} \]
これらを(11)式に代入して、$u_2$を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&u_2&v_2&x_3&y_3&z_3&u_3&v3&\\\hline
11& 1& 1.25& 0.12& 0.48& -0.29& -0.03& 0.08&\\
& ?&-1.4& 4& 0& -0.5& 6.5& -6& 1.8\\\hline
\end{array} \]
これらを(9)式に代入して、$z_2$を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&z_2&u_2&v_2&\\\hline
9& 1& -3& -4&\\
& ?&1.8& -1.4& -0.2\\\hline
\end{array} \]
これらを(8)式に代入して、$y_2$を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&y_2&z_2&u_2&v_2&\\\hline
8& 1& -0.583333& -0.25& -0.166666&\\
& ?&-0.2& 1.8& -1.4& 0.1\\\hline
\end{array} \]
これらを(7)式に代入して、$x_2$を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&x_2&y_2&z_2&u_2&v_2&\\\hline
7& 1& 6& -1.5& 2.5& 3.5&\\
& ?&0.1& -0.2& 1.8& -1.4& -0.5\\\hline
\end{array} \]
これらを(6)式に代入して、$v_1$を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&v_1&x_2&y_2&z_2&u_2&v_2&\\\hline
6& 1& 3.04& 12.16& -7.34666& -0.76& 2.02666&\\
& ?&-0.5& 0.1& -0.2& 1.8& -1.4& 3.04\\\hline
\end{array} \]
これらを(4)式に代入して、$u_1$を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&u_1&v_1&\\\hline
4& 1& 1.21052&\\
& ?&3.04& -3.68\\\hline
\end{array} \]
これらを(3)式に代入して、$z_1$を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&z_1&u_1&v_1&\\\hline
3& 1& 1.56& 1.52&\\
& ?&-3.68& 3.04& 1.12\\\hline
\end{array} \]
これらを(2)式に代入して、$y_1$を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&y_1&z_1&u_1&v_1&\\\hline
2& 1& 0.458333& 1.375& 1.41666&\\
& ?&1.12& -3.68& 3.04& 0.24\\\hline
\end{array} \]
これらを(1)式に代入して、$x_1$を求める
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&x_1&y_1&z_1&u_1&v_1&\\\hline
1& 1& 4& -2.41666& -0.25& 0.666666&\\
& ?&0.24& 1.12& -3.68& 3.04& -1.2\\\hline
\end{array} \]
従って求める行列Pは（勿論これには限らない。そのうちの一つは）
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
-1.2& -0.5& 4& 0.8& 0\\
0.24& 0.1& 0& 1.24& 0\\
1.12& -0.2& -0.5& -0.38& 0\\
-3.68& 1.8& 6.5& 2.82& 0\\
3.04& -1.4& -6& -3.96& 1\\\hline
\end{array} \]
$この逆行列P^{-1}を求め、P^{-1}AP が本当に最初に上げた(5) 型になるかどうか
試してみる。まず逆行列P^{-1}を求める。そのため、$
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
-1.2& -0.5& 4& 0.8& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\
0.24& 0.1& 0& 1.24& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
1.12& -0.2& -0.5& -0.38& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\
-3.68& 1.8& 6.5& 2.82& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\
3.04& -1.4& -6& -3.96& 1& 0& 0& 0& 0& 1\\\hline
\end{array} \]
に、基本変形を施す。1列を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 0.416666& -3.33333& -0.666666& 0& -0.833333& 0& 0& 0& 0\\
1& 0.416666& 0& 5.16666& 0& 0& 4.16666& 0& 0& 0\\
1& -0.178571& -0.446428& -0.339285& 0& 0& 0& 0.892857& 0& 0\\
1& -0.489130& -1.76630& -0.766304& 0& 0& 0& 0& -0.271739& 0\\
1& -0.460526& -1.97368& -1.30263& 0.328947& 0& 0& 0& 0& 0.328947\\\hline
\end{array} \]
2,3,4,5行から1,2,3,4行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 0.416666& -3.33333& -0.666666& 0& -0.833333& 0& 0& 0& 0\\
0& 0& 3.33333& 5.83333& 0& 0.833333& 4.16666& 0& 0& 0\\
0& -0.59523& -0.44642& -5.50595& 0& 0& -4.1666& 0.892857& 0& 0\\
0& -0.31055& -1.3198& -0.42701& 0& 0& 0& -0.89285& -0.27173& 0\\
0& 0.028604& -0.2073& -0.53632& 0.328947& 0& 0& 0& 0.271739& 0.328947\\\hline
\end{array} \]
2行を5行に持って行く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 0.41666& -3.33333& -0.66666& 0& -0.83333& 0& 0& 0& 0\\
& -0.59523& -0.44642& -5.5059& 0& 0& -4.1666& 0.89285& 0& 0\\
& -0.31055& -1.3198& -0.42701& 0& 0& 0& -0.89285& -0.27173& 0\\
& 0.02860& -0.2073& -0.53632& 0.32894& 0& 0& 0& 0.27173& 0.32894\\
& & 3.3333& 5.8333& 0& 0.83333& 4.1666& 0& 0& 0\\\hline
\end{array} \]
2列を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 0.41666& -3.3333& -0.66666& 0& -0.83333& 0& 0& 0& 0\\
& 1& 0.75& 9.25& 0& 0& 7& -1.5& 0& 0\\
& 1& 4.25& 1.375& 0& 0& 0& 2.875& 0.875& 0\\
& 1& -7.25& -18.75& 11.5& 0& 0& 0& 9.5& 11.5\\
&& 3.3333& 5.8333& 0& 0.83333& 4.1666& 0& 0& 0\\\hline
\end{array} \]
4,5行から3,4行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 0.41666& -3.3333& -0.66666& 0& -0.83333& 0& 0& 0& 0\\
& 1& 0.75& 9.25& 0& 0& 7& -1.5& 0& 0\\
& 0& 3.5& -7.875& 0& 0& -7& 4.375& 0.875& 0\\
& 0& -11.5& -20.125& 11.5& 0& 0& -2.875& 8.625& 11.5\\
& & 3.3333& 5.83333& 0& 0.833333& 4.16666& 0& 0& 0\\\hline
\end{array} \]
3列を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 0.41666& -3.3333& -0.66666& 0& -0.83333& 0& 0& 0& 0\\
& 1& 0.75& 9.25& 0& 0& 7& -1.5& 0& 0\\
& & 1& -2.25& 0& 0& -2& 1.25& 0.25& 0\\
& & 1& 1.75& -1& 0& 0& 0.25& -0.75& -1\\
& & 1& 1.75& 0& 0.25& 1.25& 0& 0& 0\\\hline
\end{array} \]
4,5行から3,4行を引く
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 0.41666& -3.3333& -0.66666& 0& -0.83333& 0& 0& 0& 0\\
& 1& 0.75& 9.25& 0& 0& 7& -1.5& 0& 0\\
& & 1& -2.25& 0& 0& -2& 1.25& 0.25& 0\\
& & 0& 4& -1& 0& 2& -1& -1& -1\\
& & 0& 0& 1& 0.25& 1.25& -0.25& 0.75& 1\\\hline
\end{array} \]
4列を1にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
1& 0.41666& -3.3333& -0.66666& 0& -0.83333& 0& 0& 0& 0\\
& 1& 0.75& 9.25& 0& 0& 7& -1.5& 0& 0\\
& & 1& -2.25& 0& 0& -2& 1.25& 0.25& 0\\
& & & 1& -0.25& 0& 0.5& -0.25& -0.25& -0.25\\
& & 0& 0& 1& 0.25& 1.25& -0.25& 0.75& 1\\\hline
\end{array} \]
逆に並べる
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& & & & 1& 0.25& 1.25& -0.25& 0.75& 1\\
& & & 1& -0.25& 0& 0.5& -0.25& -0.25& -0.25\\
& & 1& -2.25& 0& 0& -2& 1.25& 0.25& 0\\
& 1& 0.75& 9.25& 0& 0& 7& -1.5& 0& 0\\
1& 0.41666& -3.3333& -0.66666& 0& -0.83333& 0& 0& 0& 0\\\hline
\end{array} \]
5列を0にする（2行-1行$\times (-0.25) $を実行する）
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& & & & 1& 0.25& 1.25& -0.25& 0.75& 1\\
& & & 1& 0& 0.0625& 0.8125& -0.3125& -0.0625& 0\\
& & 1& -2.25& 0& 0& -2& 1.25& 0.25& 0\\
& 1& 0.75& 9.25& 0& 0& 7& -1.5& 0& 0\\
1& 0.41666& -3.3333& -0.66666& 0& -0.83333& 0& 0& 0& 0\\\hline
\end{array} \]
4列を0にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& & & & 1& 0.25& 1.25& -0.25& 0.75& 1\\
& & & 1& 0& 0.0625& 0.8125& -0.3125& -0.0625& 0\\
& & 1& 0& 0& 0.140625& -0.171875& 0.546875& 0.109375& 0\\
& 1& 0.75& 0& 0& -0.578125& -0.515625& 1.390625& 0.578125& 0\\
1& 0.41666& -3.3333& 0& 0& -0.79166& 0.54166& -0.20833& -0.04166& 0\\\hline
\end{array} \]
3列を0にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& & & & 1& 0.25& 1.25& -0.25& 0.75& 1\\
& & & 1& 0& 0.0625& 0.8125& -0.3125& -0.0625& 0\\
& & 1& 0& 0& 0.140625& -0.171875& 0.546875& 0.109375& 0\\
& 1& 0& 0& 0& -0.68359375& -0.38671875& 0.98046875& 0.49609375& 0\\
1& 0.41666& 0& 0& 0& -0.322916& -0.03125& 1.614583& 0.3229166& 0\\\hline
\end{array} \]
2列を0にする
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& & & & 1& 0.25& 1.25& -0.25& 0.75& 1\\
& & & 1& 0& 0.0625& 0.8125& -0.3125& -0.0625& 0\\
& & 1& 0& 0& 0.140625& -0.171875& 0.546875& 0.109375& 0\\
& 1& 0& 0& 0& -0.68359375& -0.38671875& 0.98046875& 0.49609375& 0\\
1& 0& 0& 0& 0& -0.0380859375& 0.1298828125& 1.2060546875& 0.1162109375& 0\\\hline
\end{array} \]
従って、$P^{-1}$の候補は次の行列
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
0.25& 1.25& -0.25& 0.75& 1\\
0.0625& 0.8125& -0.3125& -0.0625& 0\\
0.140625& -0.171875& 0.546875& 0.109375& 0\\
-0.68359375& -0.38671875& 0.98046875& 0.49609375& 0\\
-0.0380859375& 0.1298828125& 1.2060546875& 0.1162109375& 0\\\hline
\end{array} \]
この行列に右からP をかけると、
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
0&0&0&0&1\\
0&0&0&1&0\\
0&0&1&0&0\\
0&1&0&0&0\\
1&0&0&0&0\\\hline
\end{array} \]
となるから、$P^{-1}$ は、$P^{-1}$の候補 の5行を1行に、4行を2行に、\\
3行を3行に、2行を4行に、1行を5行にした行列。即ち、次の行列である
$P^{-1}$
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
-0.0380859375& 0.1298828125& 1.2060546875& 0.1162109375& 0\\
-0.68359375& -0.38671875& 0.98046875& 0.49609375& 0\\
0.140625& -0.171875& 0.546875& 0.109375& 0\\
0.0625& 0.8125& -0.3125& -0.0625& 0\\
0.25& 1.25& -0.25& 0.75& 1\\\hline
\end{array} \]
$P^{-1}A$を実行すると、
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
-0.7978515625& 0.0029296875& 4.5986328125& 0.8447265625& 0\\
-1.91015625& -1.33203125& 3.48828125& 1.59765625& 0\\
0.484375& 0.296875& 1.328125& 0.265625& 0\\
0.4375& 3.6875& -1.1875& 0.5625& 1\\
0.75& 3.75& -0.75& 2.25& 3\\\hline
\end{array} \]
$P^{-1}AP$ を実行すると、
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
3&1&0&0&0\\
0&3&1&0&0\\
0&0&3&1&0\\
0&0&0&3&1\\
0&0&0&0&3\\\hline
\end{array} \]
となる。
\end{document}