\documentclass[b5paper,10pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\setcounter{page}{1}
\begin{document}
\begin{math}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~人工衛星の軌道\\[0.2cm]
次の問題を解くことが目標である。\\[0.2cm]
「地球表面で水平方向に、初速度~v_0~で質点を投げるとき、\\[0.2cm]
その後の質点の軌道が、~v_0~の値に対してどのようになるかを調べよ。\\[0.2cm]
ただし、空気の抵抗、および、地球の自転の影響を無視する。」\\[0.2cm]
\\
予備工作１~~~\sin x~の逆関数~\sin^{-1}x~の微分\\[0.2cm]
x=\sin y~として、この関数の逆関数を~y=\sin^{-1}x~と書き、\\[0.2cm]
アークサイン　エックスと読む。\\[0.2cm]
（例えば、~\sin(\pi/6)=1/2~であるから、
\sin^{-1}(1/2)=\pi/6~である。）\\[0.2cm]
\sin^{-1}x~の定義域は勿論~-1<x<1~であるが、\\[0.2cm]
値域は通常、上の「例えば」で
書いたように、~-\pi/2~から\pi/2~とする。\\[0.2cm]
（例えば、~\sin(5\pi/6)=1/2~であるが、\sin^{-1}(1/2)=5\pi/6~
とはしない。）\\[0.2cm]
こう定義すると~y=\sin^{-1}x~は増加関数となる。\\[0.2cm]
これで関数アークサインは定義できた。ここでこの関数の微分を求める。\\[0.2cm]
\displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dy}{dx}~を求めるのだが、
\displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx}{dy}~が分っているので、
これはすぐ求められる。\\[0.2cm]
やってみる。\\[0.2cm]
x=\sin y\\[0.2cm]
\displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx}{dy}=\cos y =
\pm \sqrt{1-\sin^2 y}=\pm \sqrt{1-x^2}\\[0.2cm]
\therefore~~~\displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dy}{dx}=
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx}{dy}}=
\pm \displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[0.2cm]
ここで~y~は増加関数であるから、微分した関数はプラス。\\[0.2cm]
即ち、~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d(\sin^{-1}x)}{dx}
=\displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[0.2cm]
即ち、~\int \displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx}{\sqrt{1-x^2}}
=\sin^{-1}x+C\\[0.2cm]
ということも分る。\\[0.2cm]
勿論この不定積分は、いったん~\sin^{-1}x~が定義されていれば、\\[0.2cm]
置換積分により、次のようにしても求められる。\\[0.2cm]
I=\int \displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx}{\sqrt{1-x^2}}\\
x=\sin u~~(u=\sin^{-1}x)~~とおく。\\[0.2cm]
dx=\cos u du\\[0.2cm]
\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2 u}=\cos u\\[0.2cm]
\therefore~~~I=\int \displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}
{\cos u du}{\cos u}=\int du =u+C=\sin^{-1}x+C\\[0.2cm]
予備工作１、おわり\\[0.2cm]
\\
予備工作２~~単振動が解になる微分方程式\\[0.2cm]
一次元の運動で、常に力が中心に向いている場合の微分方程式は、\\[0.2cm]
f=m\alpha~~より、（時間~t~による微分をドットで表す。）\\[0.2cm]
-l^2x=m\ddot{x}\\[0.2cm]
l^2/m=k~とおいて、\\[0.2cm]
\ddot{x}+k^2x=0\\[0.2cm]
両辺に~2\dot{x}~をかけて、\\[0.2cm]
2\dot{x}\ddot{x}+2k^2x\dot{x}=0\\[0.2cm]
両辺を~t~で積分して、\\[0.2cm]
\dot{x}^2+k^2x^2=C^2\\[0.2cm]
\dot{x}^2=C^2-k^2x^2\\[0.2cm]
\displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx}{dt}
=\sqrt{C^2-k^2x^2}\\[0.2cm]
\displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx}
{\sqrt{C^2-k^2x^2}}=dt\\[0.2cm]
\displaystyle\int\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dx}
{C\sqrt{1-(k/C)^2x^2}}=\int dt\\[0.2cm]
左辺の積分を実行するために~y=(k/c)x~とおき、\\[0.2cm]
\displaystyle\int\genfrac{}{}{0.5pt}{}{(C/k)dy}
{C\sqrt{1-y^2}}=t+B\\[0.2cm]
(1/k)\sin^{-1}y=t+C\\[0.2cm]
y~を元に戻して、\\[0.2cm]
(1/k)\sin^{-1}(kx/C)=t+B\\[0.2cm]
\sin^{-1}(kx/C)=k(t+B)\\[0.2cm]
kx/C=\sin k(t+B)\\[0.2cm]
x=(C/k)\sin (kt+kB)\\[0.2cm]
x=(C/k)(\sin kt \cos kB +\cos kt \sin kB)\\[0.2cm]
(C/k)\sin kB=A_0,~(C/k)\cos kB=B_0~とおき、\\[0.2cm]
x=A_0\cos kt+B_0\sin kt \\[0.2cm]
この式が、微分方程式~\ddot{x}=-k^2x~の解。\\[0.2cm]
予備工作２、おわり\\[0.2cm]
\\
予備工作３~~~微分方程式~\ddot{x}+k^2x=D~（D~は定数）を解く。\\[0.2cm]
実はこれは、微分方程式の一般理論を知らなければならないが、\\[0.2cm]
ここでは、「上の微分方程式を満たす解で、二個の自由項があれば、\\[0.2cm]
それが一般解となる」という事実を信じて貰うことにする。\\[0.2cm]
さて、予備工作２で作った解、x=A_0\cos kt+B_0\sin kt~に
定数項~D/k^2~を\\[0.2cm]
加えた~x=A_0\cos kt+B_0\sin kt+D/k^2~が一般解となる。\\[0.2cm]
この解は二個の自由項~A_0~と~B_0~があるから、上の式に代入して\\[0.2cm]
満たすことを見ればよい。やってみる。\\[0.2cm]
\dot{x}=-kA_0\sin kt+kB_0\cos kt\\[0.2cm]
\ddot{x}=-k^2A_0\cos kt-k^2B_0\sin kt\\[0.2cm]
これを上の微分方程式の左辺に代入して、\\[0.2cm]
左辺=-k^2A_0\cos kt-k^2B_0\sin kt+k^2
(A_0\cos kt+B_0\sin kt+D/k^2)\\[0.2cm]
=D=右辺\\[0.2cm]
予備工作３、おわり\\[0.2cm]
\\
これで準備が出来たので、最初の問題を解く。\\[0.2cm]
打ち上げられる質点（人口衛星）は力としては地球の引力のみを受ける。\\[0.2cm]
即ち、~f=m\alpha~において、中心方向のみに力があるので、\\[0.2cm]
運動方程式を極座標表示する。\\[0.2cm]
x=r\cos \theta\\[0.2cm]
y=r\sin \theta\\[0.2cm]
\dot{x}=\dot{r}\cos \theta-r\sin \theta \dot{\theta}\\[0.2cm]
\dot{y}=\dot{r}\sin \theta+r\cos \theta \dot{\theta}\\[0.2cm]
\ddot{x}=\ddot{r}\cos \theta-2\dot{r}\sin \theta \dot{\theta}
-r\cos \theta \dot{\theta}^2-r \sin \theta \ddot{\theta}\\[0.2cm]
\ddot{y}=\ddot{r} \sin \theta+2\dot{r}\cos \theta \dot{\theta}
-r\sin \theta \dot{\theta}^2+r \cos \theta \ddot{\theta}\\[0.2cm]
\therefore~~~
\begin{pmatrix}
\ddot{x} \\
\ddot{y} \\
\end{pmatrix}
=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)
\begin{pmatrix}
\cos \theta \\
\sin \theta \\
\end{pmatrix}
+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})
\begin{pmatrix}
-\sin \theta \\
\cos \theta \\
\end{pmatrix}\\[0.2cm]
ここで、極座標上の任意の点~(r\cos \theta, r\sin \theta)~
から見ると、中心からこの点へ向うベクトルが、\\[0.2cm]
\begin{pmatrix}
\cos \theta \\
\sin \theta \\
\end{pmatrix}\\[0.2cm]
であり、このベクトルを正の方向に~90゜回転したベクトルが、\\[0.2cm]
\begin{pmatrix}
-\sin \theta \\
\cos \theta \\
\end{pmatrix}\\[0.2cm]
である。従って運動方程式は、\\[0.2cm]
質点（人口衛星）の質量を~m,~地球の質量を~M,~万有引力係数を~
\gamma~\\[0.2cm]
とすると、まづ中心方向の力から、\\[0.2cm]
m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=-\gamma\genfrac{}{}
{0.5pt}{}{Mm}{r^2}\\[0.2cm]
\therefore~~~
\ddot{r}-r\dot{\theta}^2=-\genfrac{}{}
{0.5pt}{}{\gamma M}{r^2}~.........................(1)\\[0.2cm]
次に、中心に直角の方向には力が働いていないから、\\[0.2cm]
2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0~...................(2)\\[0.2cm]
(2)~の両辺に~r~を掛けて、\\[0.2cm]
2r\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0\\[0.2cm]
t~で積分して、\\[0.2cm]
r^2\dot{\theta}=h=const\\[0.2cm]
ここで、~h~は、面積速度の二倍で、これが中心力のみの運動の\\[0.2cm]
時はこのように一定となる。\\[0.2cm]
\therefore~~~\dot{\theta}=\genfrac{}{}{0.5pt}
{}{h}{r^2}~........(3)\\[0.2cm]
(3)~により~\dot{\theta}~が~r~で表されているので、\\[0.2cm]
~t~を~\theta~で次のように変数変換することができる。\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dr}{dt}=
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dr}{d\theta}
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d\theta}{dt}
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dr}{d\theta}
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{h}{r^2}\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d^2r}{dt^2}
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d}{d\theta}
\left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dr}{d\theta}
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{h}{r^2}\right)
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d\theta}{dt}
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d}{d\theta}
\left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dr}{d\theta}
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{h}{r^2}\right)
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{h}{r^2}\\[0.2cm]
これを~(1)~式に代入して、\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d}{d\theta}
\left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dr}{d\theta}
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{h}{r^2}\right)
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{h}{r^2}
-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{h^2}{r^3}
=-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\gamma M}{r^2}\\[0.2cm]
ここで、~r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{u}~とおくと、\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d}{d\theta}
\left(-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{u^2}
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{du}{d\theta}
u^2h\right)u^2h-u^3h^2=-u^2\gamma M\\[0.2cm]
\therefore~~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d^2u}{d\theta^2}
u^2h^2-u^3h^2=-u^2\gamma M\\[0.2cm]
\therefore~~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d^2u}{d\theta^2}
+u=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\gamma M}{h^2}\\[0.2cm]
予備工作３で~k=1~の場合であるから、一般解~u~は、\\[0.2cm]
u=A\cos\theta +B\sin\theta+
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\gamma M}{h^2}~...........(4)\\[0.2cm]
ここで、地球の中心を原点に、人口衛星を打ち上げる地球上の地点を\\[0.2cm]
x~軸上に、打ち上げる方向を~y~軸の正の方向にとる。\\[0.2cm]
さて、~(4)~に~t=0~を代入すると、~\theta=0~であるから、\\[0.2cm]
（地球の半径を~R~として）\\[0.2cm]
左辺=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{R}\\[0.2cm]
右辺=A+\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\gamma M}{h_0^2}\\[0.2cm]
ここで打ち上げの初速度を~v_0~とすると、~h^2=R^2v_0^2\\[0.2cm]
また質点の質量~1~の時の重力加速度は~g~(=9.8m/sec^2)\\[0.2cm]
であるから、\gamma \genfrac{}{}{0.5pt}{}{M\times 1}{R^2}=g\\[0.2cm]
即ち、~\gamma M=gR^2、より、\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{R}=A+\genfrac{}{}{0.5pt}{}{gR^2}{R^2v_0^2}
=A+\genfrac{}{}{0.5pt}{}{g}{v_0^2}\\[0.2cm]
\therefore~~~A=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{R}-
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{g}{v_0^2}\\[0.2cm]
また~(4)~の両辺を~\theta~で微分し、~t=0~を代入すると、
~\theta=0,~\\[0.2cm]
x~軸に直角に打ち上げられるのだから、~r~の増分はなく、
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dr}{d\theta}=0。故に、\\[0.2cm]
左辺=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d}{d\theta}
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{r}
=-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{r^2}
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dr}{d\theta}=0\\[0.2cm]
右辺=-A\sin 0+B\cos 0=B\\[0.2cm]
\therefore~~~B=0\\[0.2cm]
上で計算した~h~は初速度のときに限らず一定であるから、\\[0.2cm]
これで微分方程式は解けて、\\[0.2cm]
u=\left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{R}-
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{g}{v_0^2}\right)
\cos\theta +
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{g}{v_0^2}\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{r}=u~であるから、\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}
{\genfrac{}{}{0.5pt}{}{g}{v_0^2}
+\left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1}{R}
-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{g}{v_0^2}
\right)\cos\theta}
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\genfrac{}{}{0.5pt}{}{v_0^2}{g}}
{1+\left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}{v_0^2}{Rg}
-1\right)\cos\theta}\\[0.2cm]
この答を、このホームページにある「二次曲線の極座標表示」
の結果にあて\\[0.2cm]
はめると、初速度の違いにより、下記のような分類となる。\\[0.2cm]
1)~~-1<\genfrac{}{}{0.5pt}{}{v_0^2}{Rg}-1<0~のとき、\\[0.2cm]
楕円軌道を描く。但し、左の焦点が地球の中心にあるため、途中で\\[0.2cm]
地球表面に落下し、楕円軌道のすべてが実現されることはない。\\[0.2cm]
2)~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{v_0^2}{Rg}-1=0~のとき、\\[0.2cm]
円軌道を描く。\\[0.2cm]
3)~~0<\genfrac{}{}{0.5pt}{}{v_0^2}{Rg}-1<1~のとき、\\[0.2cm]
楕円軌道を描く。右の焦点が地球の中心にあるので、これは実現する。\\[0.2cm]
4)~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{v_0^2}{Rg}-1=1~のとき、\\[0.2cm]
放物線を描く。\\[0.2cm]
5)~~1<\genfrac{}{}{0.5pt}{}{v_0^2}{Rg}-1~のとき、\\[0.2cm]
双曲線軌道を描く。\\[0.2cm]
実際に円軌道を描くための初速度を求めると、地球の半径が\\[0.2cm]
6,371,000m~であるから、\\[0.2cm]
\sqrt{Rg}=\sqrt{6371,000 \times 9.8}=7,901m/sec\\[0.2cm]
となる。また、放物線を描く（脱出する）ためには、\\[0.2cm]
\sqrt{2Rg}=\sqrt{2 \times 6371,000 \times 9.8}=
11,174.596m/sec\\[0.2cm]
解おわり。\\[0.2cm]
\end{math}
\end{document}