\documentclass{jarticle}
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\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{定理}
\newtheorem{definition}{定義}
\newtheorem{question}{問}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\parindent = 1 zw
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{群の表現論―誘導表現について}
\author{能美武功}
\begin{document}
\maketitle
\begin{math}
~~弥永昌吉、杉浦光夫共著、「応用数学者のための代数学」（岩波書店、1960年）
は非常に良心的に書けている。全く冗長でない。そのため、自分で補って読まねばならない。
以下に上げるものは、同著（第４版~~195頁）「35節~~誘導表現」を解説したものである。\\
\\
問~~~~* S_4 において、部分群 H \\
~~~~~H=\{(1), (12), (13), (23), (123), (132) \} \\
に、次の表現が与えられている。\\
(1)=\begin{pmatrix}1& 0 \\0 & 1 \end{pmatrix}, (12)=\begin{pmatrix}0& -1 \\0 & -1 \end{pmatrix}
(13)=\begin{pmatrix}0& 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}, (23)=\begin{pmatrix}-1& 0 \\-1 & 1 \end{pmatrix}\\
(123)=\begin{pmatrix}0& -1 \\1 & -1 \end{pmatrix}, (132)=\begin{pmatrix}-1& 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix}\\
今、
a_1=(1), a_2=(14), a_3=(24), a_4=(34)\\
S_4=Ha_1+Ha_2+Ha_3+Ha_4 \\
と左剰余類に分解したとき、次のものの誘導表現を求めよ。\\
1)~~(12)\\
2)~~(123)\\
3)~~(12)(34)\\
4)~~(1234)\\
\end{math}
\\
解~~~~以下に行う計算により、$f_{ij}$が次のように求まる。\\
\[ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
& $f_{11}$ & $f_{12}$ & $f_{21}$& $f_{22}$& $f_{31}$& $f_{32}$& $f_{41}$& $f_{42}$\\ \hline
(1) & (1,0) & (0,1) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(12) & (1,0) & (-1,-1) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(13) & (0,1) & (1,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(23) & (-1,-1) & (0,1) & (0,0) &(0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(123) & (0,1) & (-1,-1) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(132) & (-1,-1) & (1,0) &(0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\ \hline
(14) & (0,0) & (0,0) &(1,0) & (0,1) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(142) & (0,0) & (0,0) & (1,0) & (-1,-1) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(143) & (0,0) & (0,0) &(0,1) &(1,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(14) (23) & (0,0)& (0,0) & (-1,-1) &(0,1) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(1423) & (0,0) & (0,0) &(0,1) & (-1,-1) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(1432) & (0,0)& (0,0) & (-1,-1) & (1,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\ \hline
(24) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(1,0) & (0,1) &(0,0) &(0,0) \\
(124) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(1,0) & (-1,-1) &(0,0) &(0,0) \\
(13)(24) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,1) &(1,0) &(0,0) &(0,0) \\
(243) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(-1,-1) &(0,1) &(0,0) &(0,0) \\
(1243) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,1) & (-1,-1) &(0,0) &(0,0) \\
(1324) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(-1,-1) & (1,0) &(0,0) &(0,0) \\ \hline
(34) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(1,0) & (0,1) \\
(12)(34) & (0,0)& (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(1,0) & (-1,-1) \\
(134) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,1) &(1,0) \\
(234) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(-1,-1) &(0,1) \\
(1234) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,1) & (-1,-1) \\
(1342) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(-1,-1) & (1,0) \\ \hline
\end{tabular} \]
\\
\begin{math}
f_{11} を求める。\\
f_{11}(1)=f_{11}(a_1)= \delta_{11}u_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(12)=f_{11}((12)(1))= \sigma (12)u_1=\begin{pmatrix}1 & -1 \\0 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(13)=f_{11}((13)(1))= \sigma (13)u_1=\begin{pmatrix}0& 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
f_{11}(23)=f_{11}((23)(1))= \sigma (23)u_1=\begin{pmatrix}-1& 0 \\-1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\\
f_{11}(123)=f_{11}((123)(1))= \sigma (123)u_1=\begin{pmatrix}0& -1 \\1 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
f_{11}(132)=f_{11}((132)(1))= \sigma (132)u_1=\begin{pmatrix}-1& 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\\
f_{11}(14)=f_{11}(a_2)= \delta_{12}u_1=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(142)=f_{11}((12)a_2)= \sigma (12)f_{11}(a_2)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(143)=f_{11}((13)a_2)= \sigma (13)f_{11}(a_2)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(14)(23)=f_{11}((23)a_2)= \sigma (23)f_{11}(a_2)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(1423)=f_{11}((123)a_2)= \sigma (123)f_{11}(a_2)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(1432)=f_{11}((132)a_2)= \sigma (132)f_{11}(a_2)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(24)=f_{11}(a_3)= \delta_{13}u_1=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(124)=f_{11}((12)a_3)= \sigma (12)f_{11}(a_3)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(13)(24)=f_{11}((13)a_3)= \sigma (13)f_{11}(a_3)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(243)=f_{11}((23)a_3)= \sigma (23)f_{11}(a_3)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(1243)=f_{11}((123)a_3)= \sigma (123)f_{11}(a_3)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(1324)=f_{11}((132)a_3)= \sigma (132)f_{11}(a_3)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(34)=f_{11}(a_4)= \delta_{14}u_1=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(12)(34)=f_{11}((12)a_4)= \sigma (12)f_{11}(a_4)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(134)=f_{11}((13)a_4)= \sigma (13)f_{11}(a_4)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(234)=f_{11}((23)a_4)= \sigma (23)f_{11}(a_4)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(1234)=f_{11}((123)a_4)= \sigma (123)f_{11}(a_4)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
f_{11}(1342)=f_{11}((132)a_4)= \sigma (132)f_{11}(a_4)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
\\
f_{12} を求める。\\
f_{12}(1)=f_{12}(a_1)= \delta_{11}u_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
f_{12}(12)=f_{12}((12)(1))= \sigma (12)f_{12}(a_1)=\sigma (12)u_2
=\begin{pmatrix}1 & -1 \\0 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\\
f_{12}(13)=f_{12}((13)(1))= \sigma (13)f_{12}(a_1)=\sigma (13)u_2
=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
f_{12}(23)=f_{12}((23)(1))= \sigma (23)f_{12}(a_1)=\sigma (23)u_2
=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\-1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
f_{12}(123)=f_{12}((123)(1))= \sigma (123)f_{12}(a_1)=\sigma (123)u_2
=\begin{pmatrix}0 & -1 \\1 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\\
f_{12}(132)=f_{12}((132)(1))= \sigma (132)f_{12}(a_1)=\sigma (132)u_2
=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
f_{12}(14)=f_{12}(a_2)= \delta_{12}u_2=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
以下、０ベクトルになる。\\
f_{21} を求める。\\
f_{21}(1)=f_{21}(a_1)= \delta_{21}u_1=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
以下、5個は０ベクトルになる。\\
f_{21}(14)=f_{21}(a_2)= \delta_{22}u_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
f_{21}(142)=f_{21}((12)(14))= \sigma (12)f_{21}(a_2)=\sigma (12)u_1
=\begin{pmatrix}1 & -1 \\0 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
f_{21}(143)=f_{21}((13)(14))= \sigma (13)f_{21}(a_2)=\sigma (13)u_1
=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
あと３個０ベクトルでないものが出てきて、あとは０ベクトルとなる。\\
以下同様で最初に上げた表が出来る。\\
\\
~~次に、\rho (12) を求める。\\
そのためにまず、\rho (12)f_{11}を求める。\\
\rho(12)f_{11}((1))=f_{11}((1)(12))=f_{11}((12)(1))=\sigma (12)f_{11}(a_1)
=\begin{pmatrix}1 & -1 \\0 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
\rho(12)f_{11}((12))=f_{11}((1)) = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
\rho(12)f_{11}((13))=f_{11}((13)(12))=f_{11}((123)(1))=\sigma (123)f_{11}(a_1)
=\begin{pmatrix}0 & -1 \\1 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
\rho(12)f_{11}((23))=f_{11}((23)(12))=f_{11}((132)(1))=\sigma (132)f_{11}(a_1)
=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\\
\rho(12)f_{11}((123))=f_{11}((123)(12))=f_{11}((13)(1))=\sigma (13)f_{11}(a_1)
=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
\rho(12)f_{11}((132))=f_{11}((132)(12))=f_{11}((23)(1))=\sigma (23)f_{11}(a_1)
=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\-1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\\
\rho(12)f_{11}((14))=f_{11}((14)(12))=f_{11}((124)(1))=f_{11}((12)(24))
=\sigma (12)f_{11}(a_3)=\sigma (12) \delta_{13} u_1
= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
以下、全て０ベクトル。従って次の表の第１列のようになる。\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
& $\rho(12)f_{11}$ & $\rho(12)f_{12}$ & $\rho(12)f_{21}$& $\rho(12)f_{22}$&
$\rho(12)f_{31}$& $\rho(12)f_{32}$& $\rho(12)f_{41}$& $\rho(12)f_{42}$\\ \hline
(1) & (1,0) & (-1,-1) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(12) & (1,0) & (0,1) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(13) & (0,1) & (-1,-1) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(23) & (-1,-1) & (1,0) & (0,0) &(0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(123) & (0,1) & (1,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(132) & (-1,-1) & (0,1) &(0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\ \hline
(14) & (0,0) & (0,0) &(0,0) & (0,0) &(1,0) &(-1,-1) &(0,0) &(0,0) \\
(142) & (0,0) & (0,0) & (0,0) & (0,0) &(1,0) &(0,1) &(0,0) &(0,0) \\
(143) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,1) &(-1,-1) &(0,0) &(0,0) \\
(14) (23) & (0,0)& (0,0) & (0,0) &(0,0) & (-1,-1) &(1,0) &(0,0) &(0,0) \\
(1423) & (0,0) & (0,0) &(0,0) & (0,0) &(0,1) &(1,0) &(0,0) &(0,0) \\
(1432) & (0,0)& (0,0) & (0,0) & (0,0) &(-1,-1) &(0,1) &(0,0) &(0,0) \\ \hline
(24) & (0,0) & (0,0) &(1,0) &(-1,-1) &(0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(124) & (0,0) & (0,0) &(1,0) &(0,1) &(0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(13)(24) & (0,0) & (0,0) &(0,1) &(-1,-1) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(243) & (0,0) & (0,0) &(-1,-1) &(1,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(1243) & (0,0) & (0,0) &(0,1) &(1,0) &(0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) \\
(1324) & (0,0) & (0,0) &(-1,-1) &(0,1) &(0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) \\ \hline
(34) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(1,0) & (-1,-1) \\
(12)(34) & (0,0)& (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(1,0) & (0,1) \\
(134) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,1) &(-1,-1) \\
(234) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(-1,-1) &(1,0) \\
(1234) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,1) & (1,0) \\
(1342) & (0,0) & (0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(0,0) &(-1,-1) & (0,1) \\ \hline
\end{tabular} \]
\begin{math}
\rho (12)f_{12}を求める。\\
\rho (12)f_{12}((1))=f_{12}((1)(12))=f_{12}((12)(1))=\sigma(12)f_{12}((1))
=\sigma (12)f_{12}(a_1)=\sigma (12) \delta_{11} u_2
=\begin{pmatrix}1 & -1 \\0 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{12}((12))=f_{12}((1)) =\delta_{11} u_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{12}((13))=f_{12}((13)(12))=f_{12}((123)(1))=\sigma(123)f_{12}((1))
=\sigma (123)f_{12}(a_1)=\sigma (12) \delta_{11} u_2
=\begin{pmatrix}0 & -1 \\1 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{12}((23))=f_{12}((23)(12))=f_{12}((132)(1))=\sigma(132)f_{12}((1))
=\sigma (132)f_{12}(a_1)=\sigma (132) \delta_{11} u_2
=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{12}((123))=f_{12}((13))=f_{12}((13)(1))=\sigma(13)f_{12}((1))
=\sigma (13)f_{12}(a_1)=\sigma (12) \delta_{11} u_2
=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{12}((132))=f_{12}((23))=f_{12}((23)(1))=\sigma(23)f_{12}((1))
=\sigma (23)f_{12}(a_1)=\sigma (23) \delta_{11} u_2
=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\-1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{12}((14))=f_{12}((124))=f_{12}((12)(24))
=\sigma (12)f_{12}(a_3)=\sigma (12) \delta_{13} u_2
= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
以下、全て０ベクトルとなる。故に上の表の通りとなる。\\
最初の表と見比べて、\\
\rho(12) f_{12}=-f_{11}-f_{12}\\
が分かる。\\
\rho (12)f_{21}を求める。\\
\rho (12)f_{21}((14))=f_{21}((124))=f_{12}((12)(24))
=\sigma (12)f_{21}(a_3)=\sigma (12) \delta_{23} u_1
= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
以下５個０ベクトル。\\
\rho (12)f_{21}((24))=f_{21}((142))=f_{21}((12)(14))=\sigma(12)f_{21}((a_2))
=\sigma (12) \delta_{22} u_1
=\begin{pmatrix}1 & -1 \\0 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{21}((124))=f_{21}((14))=f_{21}(a_2)
= \delta_{22} u_1= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{21}((13)(24))=f_{21}((1423))=f_{21}((123)(14))=\sigma(123)f_{21}((a_2))
=\begin{pmatrix}0 & -1 \\1 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{21}((243))=f_{21}((1432))=f_{21}((132)(14))=\sigma(123)f_{21}((a_2))
=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{21}(1243)=f_{21}((143))=f_{21}((13)(14))=\sigma(13)f_{21}((a_2))
=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{21}((1324))=f_{21}((14)(23))=f_{21}((23)(14))=\sigma(23)f_{21}((a_2))
=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\-1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\\
以下、６個０ベクトル。\\
\rho (12)f_{21}=f_{31}\\
となる。\\
\rho (12)f_{22}を求める。\\
\rho (12)f_{22}((24))=f_{22}((142))=f_{22}((12)(14))=\sigma(12)f_{22}((a_2))
=\sigma (12) \delta_{22} u_2
=\begin{pmatrix}1 & -1 \\0 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{22}((124))=f_{22}((14))=f_{22}(a_2)
= \delta_{22} u_2= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{22}((13)(24))=f_{22}((1423))=f_{22}((123)(14))=\sigma(123)f_{22}((a_2))
=\begin{pmatrix}0 & -1 \\1 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{22}((243))=f_{22}((1432))=f_{22}((132)(14))=\sigma(123)f_{22}((a_2))
=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{22}(1243)=f_{22}((143))=f_{22}((13)(14))=\sigma(13)f_{22}((a_2))
=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{22}((1324))=f_{22}((14)(23))=f_{22}((23)(14))=\sigma(23)f_{22}((a_2))
=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\-1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
\rho (12)f_{22}=-f_{31}-f_{32}\\
以下同様の計算により、上の表の結果がでる。\\
従って、\rho (12) の行列表示は、\\
\rho (12)\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}&f_{21}&f_{22}&f_{31}&f_{32}&f_{41}&f_{42}\end{pmatrix}\\
=\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}&f_{21}&f_{22}&f_{31}&f_{32}&f_{41}&f_{42}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&-1&0&0&0&0&0&0\\
0&-1&0&0&0&0&0&0\\
0&0 &0&0&1&-1&0&0\\
0&0 &0&0&0&-1&0&0\\
0&0 &1&-1&0&0&0&0\\
0&0 &0&-1&0&0&0&0\\
0&0 &0&0&0&0&1&-1\\
0&0 &0&0&0&0&0&-1
\end{pmatrix}\\
~~これが 1)~の答。\\
\\
同様の計算により、2)~は、\\
\rho (123)=
\begin{pmatrix}0&-1&0&0&0&0&0&0\\
1&-1&0&0&0&0&0&0\\
0&0 &0&0&0&0&0&-1\\
0&0 &0&0&0&0&1&-1\\
0&0 &0&-1&0&0&0&0\\
0&0 &1&-1&0&0&0&0\\
0&0 &0&0&0&-1&0&0\\
0&0 &0&0&1&-1&0&0
\end{pmatrix}
\\
3)~は、\\
\rho (12)(34)=
\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0&1&-1\\
0&0&0&0&0&0&0&-1\\
0&0 &0&0&1&-1&0&0\\
0&0 &0&0&0&-1&0&0\\
0&0 &1&-1&0&0&0&0\\
0&0 &0&-1&0&0&0&0\\
1&-1&0&0&0&0&0&0\\
0&-1&0&0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\\
4)~は、\\
\rho (1234)=
\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0&0&-1\\
0&0&0&0&0&0&1&-1\\
0&-1 &0&0&0&0&0&0\\
1&-1 &0&0&0&0&0&0\\
0&0 &-1&0&0&0&0&0\\
0&0 &-1&1&0&0&0&0\\
0&0&0&0&1&-1&0&0\\
0&0&0&0&0&-1&0&0
\end{pmatrix}\\
\\
~~これで問の解答を終るが、これではいくらなんでも大変。簡便な計算方法を見つける。\\
\\
~~\rho (1234) の行列表現を例にとって、簡便な計算方法がないかを調べる。\\
~~まず、(8,8) 行列になっているが、0が多い。(2,2) 行列ごとに一つの成分と考えると、
(4,4) 行列となって、0でない成分は、(1,4), (2,1), (3,2), (4,3)~である。\\
~~~~~~a_1=(1), a_2=(1,4), a_3=(2,4), a_4=(3,4) \\
を、(1234) の左からかけて、それぞれどの剰余類に入るかを調べると、\\
~~~~a_1(1234)=(1234)=(123)(34)=(123)a_4~~~これはH_4 の元。\\
~~~~a_2(1234)=(1234)=(123)(1)=(123)a_1~~~これはH_1 の元。\\
~~~~a_3(1234)=(1234)=(23)(14)=(23)a_2~~~これはH_2 の元。\\
~~~~a_4(1234)=(1234)=(124)=(12)(24)=(12)a_3~~~これはH_3 の元。\\
上から順番に、(1,4), (2,1), (3,2), (4,3)~となり、上で調べた0でない成分と一致している。\\
また、(2,2) 行列ごとの(4,4)行列と見なしたとき、上の表現の(1,4)成分は、\\
~~~~\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1 \end{pmatrix}~~~~で、これは
予め与えられていた(123)の表現。\\
上の表現の(2,1)成分は、\\
~~~~\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1 \end{pmatrix}~~~~で、これは
予め与えられていた(123)の表現。\\
上の表現の(3,2)成分は、\\
~~~~\begin{pmatrix}-1&0\\-1&1 \end{pmatrix}~~~~で、これは
予め与えられていた(23)の表現。\\
上の表現の(4,3)成分は、\\
~~~~\begin{pmatrix}1&-1\\0&-1 \end{pmatrix}~~~~で、これは
予め与えられていた(12)の表現。\\
~~これにより、\rho(x)の行列の作り方は次のようになるらしいことが分かる。\\
「a_l かけるx を作り、これがどの剰余類に入るかを見る。H_l' に入るとする。
a_lx~は、H のある元b_l とa_l' の積として書ける。即ち、\\
~~~~~~a_lx=b_l a_l'\\
\rho(x)の行列の0でない成分は、(l,l')。そしてこの所をb_l （=a_lx(a_l')^{-1}）
の行列で置き換える。」\\
このことを再び\rho (1234) の行列表現を例にとって証明する。次元が上っても
同じであることは容易に推測出来る筈である。\\
~~まず、f_{ij}にa_l を代入したものの表を作る。\\
1)~~最初にf_{11}\\
~~~~~~f_{11}(a_1)=\delta_{11}u_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
~~~~~~f_{11}(a_2)=\delta_{12}u_1=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
~~~~以下全部0ベクトル。\\
2)~~次ににf_{12}\\
~~~~~~f_{12}(a_1)=\delta_{11}u_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
~~~~~~f_{12}(a_2)=\delta_{12}u_2=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
~~~~以下全部0ベクトル。\\
3)~~次ににf_{21}\\
~~~~~~f_{21}(a_1)=\delta_{21}u_1=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
~~~~~~f_{21}(a_2)=\delta_{22}u_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\
~~~~以下全部0ベクトル。\\
結局、次の表が出来る。\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
& $f_{11}$ & $f_{12}$ & $f_{21}$& $f_{22}$& $f_{31}$& $f_{32}$& $f_{41}$& $f_{42}$\\ \hline
$a_1$ & 1 & 0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\
& 0 & 1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\ \hline
$a_2$ & 0 & 0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 \\
& 0 & 0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\ \hline
$a_3$ & 0 & 0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
& 0 & 0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\ \hline
$a_4$ & 0 & 0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 \\
& 0 & 0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 \\ \hline
\end{tabular} \]
\begin{math}
~~まず、\rho (1234)f_{ij}にa_l を代入したものの表を作る。\\
1)~~最初に\rho (1234)f_{11}\\
~~~~~\rho (1234)f_{11}(a_1)=f_{11}(1234)=f_{11}(123)(34)=f_{11}(123)(a_4)
~\delta_{14}u_1=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
~~~~~\rho (1234)f_{11}(a_2)=f_{11}(123)=f_{11}((123)(a_1))
=\sigma (123)f_{11}(a_1)=\sigma (123)\delta_{11}u_1
=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\\
~~~~以下全部0ベクトル。\\
2)~~次に\rho (1234)f_{12}\\
~~~~~\rho (1234)f_{12}(a_1)=f_{12}(1234)=f_{12}(123)(34)=f_{12}(123)(a_4)
~\delta_{14}u_2=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\\
~~~~~\rho (1234)f_{12}(a_2)=f_{12}(123)=f_{12}((123)(a_1))
=\sigma (123)f_{12}(a_1)=\sigma (123)\delta_{11}u_2
=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\\
~~~~以下全部0ベクトル。\\
同様の計算をして、以下の表が出来る。\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
& $\rho (1234)f_{11}$ & $\rho (1234)f_{12}$ & $\rho (1234)f_{21}$& $\rho (1234)f_{22}$
& $\rho (1234)f_{31}$& $\rho (1234)f_{32}$& $\rho (1234)f_{41}$& $\rho (1234)f_{42}$\\ \hline
$a_1$ & 0 & 0 &0 &0 &0 &0 &0 &-1 \\
& 0 & 0 &0 &0 &0 &0 &1 &-1 \\ \hline
$a_2$ & 0 & -1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\
& 1 & -1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\ \hline
$a_3$ & 0 & 0 &-1 &0 &0 &0 &0 &0 \\
& 0 & 0 &-1 &1 &0 &0 &0 &0 \\ \hline
$a_4$ & 0 & 0 &0 &0 &1 &-1 &0 &0 \\
& 0 & 0 &0 &0 &0 &-1 &0 &0 \\ \hline
\end{tabular} \]
\begin{math}
~~f_{ij}~の表と見比べて、\\
\rho (1234)f_{11}=f_{22},~~\rho (1234)f_{12}=-f_{21}-f_{22}~~etc.\\
となり、\rho (1234)~の行列が、次のように、上の表と全く同じ行列となる。
f_{ij}~の表が、対角線が1で残りは全部0となっているからである。\\
\rho (1234)\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}&f_{21}&f_{22}&f_{31}&
f_{32}&f_{41}&f_{42}\end{pmatrix}\\
=\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}&f_{21}&f_{22}&f_{31}&
f_{32}&f_{41}&f_{42}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 &0 &0 &0 &0 &0 &-1 \\
0 & 0 &0 &0 &0 &0 &1 &-1 \\
0 & -1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\
1 & -1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 & 0 &-1 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 & 0 &-1 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 & 0 &0 &0 &1 &-1 &0 &0 \\
0 & 0 &0 &0 &0 &-1 &0 &0 \\
\end{pmatrix}\\
\\
~~一般的には次のように示される。\\
~~~\rho(x) f_{ij}(a_l)=f_{ij}(b_la_{l'})=\sigma(b_l)\delta_{il'}u_j\\
=\delta_{il'}
\begin{pmatrix}s(1,1)(b_l) & s(1,2)(b_l) &\cdots &s(1,j)(b_l) &\cdots & s(1,m)(b_l)\\
s(2,1)(b_l) & s(2,2)(b_l) &\cdots &s(2,j)(b_l) &\cdots & s(2,m)(b_l)\\
\cdots & \cdots &\cdots &\cdots & \cdots & \cdots\\
s(m,1)(b_l) & s(m,2)(b_l) &\cdots &s(m,j)(b_l) &\cdots & s(m,m)(b_l)\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0\\0\\ \cdots \\1 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix}
(j 番目が1 であとは0)\\
=\delta_{il'}\begin{pmatrix}s(1,j)(b_l)\\s(2,j)(b_l)\\ \cdots \\ s(m,j)(b_l) \end{pmatrix}
\\
~~\delta_{il'} が分かり難く、どこで0でない値が出るのか見にくいが、\\
~~i=l'~~のところで。即ち、\\
~~a_lx=ba_i~~となるl のところで0 でない値が出る。\\
~~~~（しつこいが、さっきの例で例えば~~x=(1234), i=1~とすると、l=2。\\
~~~~~~何故なら~(14)(1234)=(123)~でこれはH_1。）\\
従って、\rho(x) f_{ij}の列は次のようになる。\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
& $\cdots$ & $\cdots$ & $\rho (x)f_{ij}$ & $\cdots$ & $\cdots$ \\ \hline
$a_1$ & 0 & 0 &0 &0 \\
& 0 & 0 &0 &0 \\
& $\cdots$ & $\cdots$ &$\cdots$ &$\cdots$ \\
& 0 & 0 &0 &0 \\ \hline
$\cdots$ & 0 & 0 &0 &0 \\
& $\cdots$ & $\cdots$ &$\cdots$ &$\cdots$ \\
& $\cdots$ & $\cdots$ &$\cdots$ &$\cdots$ \\
& 0 & 0 &0 &0 \\ \hline
$a_l$ & 0 & $\cdots$ & $s_{1,j} (b_l)$ &$\cdots$ \\
& 0 & $\cdots$ &$s_{2,j} (b_l)$ &$\cdots$ \\
& 0 & $\cdots$ &$\cdots$ &$\cdots$ \\
& 0 & $\cdots$ &$s_{m,j} (b_l)$ &$\cdots$ \\ \hline
$\cdots$ & 0 & 0 &0 &0 \\
& $\cdots$ & $\cdots$ &$\cdots$ &$\cdots$ \\
& $\cdots$ & $\cdots$ &$\cdots$ &$\cdots$ \\
& 0 & 0 &0 &0 \\ \hline
\end{tabular} \]
~~これで一般的に証明された。\\

\end{document}