\documentclass{jarticle}
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%\documentclass{amsart}
\usepackage{amsthm}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{定理}
\newtheorem{definition}{定義}
\newtheorem{question}{問}
\title{5次方程式の代数解の不可能性~~（要約）}
\author{能美武功}
\begin{document}
\maketitle
\begin{math}
「5次方程式の代数解の不可能性~~by ~Abel」の骨組みを以下に書く。\\
\\
まず、2次方程式。\\
~~~~係数のなす体R_1 は、\\
~~~~~~~a=x_1+x_2,\\
~~~~~~~ b=x_1x_2 \\
で出来ている。a,b に四則を施しても、x_1 は分離出来ない。
R_1 の元を動かさない群G_1 は、G_1=\{(1),(12)\}\\
（即ち、(12)a=a, (12)b=b。 ）\\
R_1 を拡大して\sqrt{b^2-4ac}=x_1-x_2 を添加すると、x_1 なる元が含まれる。
すると、R(\sqrt{b^2-4ac}) の元を動かさない置換は(1) のみとなる。（(12) をx_1 に
施すと、(12)x_1=x_2 となって、「動かさない」に反する。即ち、「x_1 がx_2 に動いて
しまう。」）\\
~~~~体とその元を動かさない置換の集合（つまり群）を表にすると、\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|cc}
体の説明 &係数から出来る体 &$R_1$の2次拡大 \\ \hline
体 &$ R_1$& $R_1$($\sqrt{b^2-4ac}$)\\
対応する群 &$\{(1),(12)\}$ & $\{(1)\}$\\
\end{tabular} \]
\\
\begin{math}
次に3次方程式。\\
~~~~R_1 の元は\\
~~~~~~~~~~-a_1=x_1+x_2+x_3, \\
~~~~~~~~~~a_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3, \\
~~~~~~~~~~-a_3=x_1x_2x_3\\
これを動かさない置換の集合G_1 は、\\
~~~~~~~~G_1=\{(1), (1,2), (1,3), (2,3), (1,2,3), (1,3,2)\}\\
~~~~R_1 を拡大してR_2=R_1(\sqrt{D}) とすると、\\
~~~~~R_1(\sqrt{D})の元は、例えば、\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~u^3=(x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3)^3\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~v^3=(x_1+\omega^2 x_2+\omega x_3)^3\\
~~~~であり、これに例えば(123) を施すと、\\
~~~~~~~~~~~~~~~(123)u^3=(x_2+\omega x_3+\omega^2 x_1)^3\\
~~~~~~~~~~~~~~=[\omega^2(x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3)]^3\\
~~~~~~~~~~~~~~=(x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3)^3, etc. \\
で、R_1(\sqrt{D})の元を動かさない置換の集合G_2は、\\
~~~~~~~G_2=\{(1),(123),(132)\} \\
となる。\\
~~~~次に、R_2 にu^3 の3乗根、即ちu を添加した体R_3=R_2(u) を作ると、R_3 はx_1 を含む。
つまり、3次方程式が解けたということであるが、
このR_3に対応する群G_3 を作ると、(1) しかない。（(123) はG_3 に含まれない。
例えばx_1 に(123) を施すと、(123)x_1=x_2 となり、x_1 がx_2 に動いてしまう。）\\
~~~~体とその元を動かさない置換の集合（つまり群）を表にすると、\\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|ccc}
体の説明 &係数から出来る体 &$R_1$の2次拡大 &$R_2$の3次拡大\\ \hline
体 &$ R_1$& $R_2=R_1$($\sqrt{D}$) &$R_3=R_2(\sqrt[3]{u^3})$\\
対応する群 &$G_1=\{(1),(12),(13),(23),(123),(132)\}$ & $G_2=\{(1),(123),(132)\}$ &$G_3=\{(1)\}$\\
\end{tabular} \]
\\
4次方程式も同様にして、\\
\[ \begin{tabular}{c|cccc}
体の説明 &係数から出来る体 &$R_1$の2次拡大 &$R_2$の3次拡大\\ \hline
体 &$ R_1$& $R_2=R_1$($\sqrt{D}$) &$R_3=R_2(\sqrt[3]{u^3})$\\
対応する群 &$G_1=S_4$ & $G_2=A_4$ &$G_3=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$\\
\end{tabular} \]
\[ \begin{tabular}{c|ccc}
体の説明 &$R_3$の2次拡大 &$R_4$の2次拡大 \\ \hline
体 &$ R_4=R_3(u_1)$& $R_2=R_1$($\sqrt{D}$) \\
対応する群 &$G_4=\{(1),(12)(34)\}$ & $G_5=\{(1)\}$ \\
\end{tabular} \]
\begin{math}
ここでS_4, A_4 は以下の通り。\\
S_4=\{(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(124),(134),(234),(132),\\
(142),(143),(243)(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),\\
(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}\\
24 個の元。\\
A_4=\{(1),(123),(124),(134),(234),(132),(142),(143),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}\\
12個の元。\\
\\
~~~~上の例で気がつくことは、いずれの場合でも、R_1 から次の拡大体R_2 を作るときには、
必ず2乗根を添加する。そして、R_2 から次の拡大体を作るときには、必ず3乗根を添加する。
従って、それに対応する群の方でも、G_1 からG_2 に縮小するときは、必ず数が二分の一になり、
G_2 からG_3 に縮小するときは必ず数が三分の一になる。そしてこれは一般的に証明される。\\
~~~~さて、5次方程式の場合にはどうなるかと言うと、R_1 は勿論方程式の係数からなる体で、
これに対応する置換の集合はS_5、即ち120個からなる置換。\\
~~~~次の拡大、即ち2次拡大は実行出来て、\\
~~~~~~~~~~~~~R_2=R_1(D) \\
\end{math}
\[ \begin{tabular}{c|cc}
体の説明 &係数から出来る体 &$R_1$の2次拡大 \\ \hline
体 &$ R_1$& $R_2=R_1$($\sqrt{D}$)\\
対応する群 &$G_1$ & $G_2$\\
\end{tabular} \]

\begin{math}
ここで、G_1 とG_2 は次の群。\\
G_1=\{(1),(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234),(235),(245),(345),\\
~~~~~~~~(132),(142),(152),(143),(153),(154),(243),(253),(254),(354),\\
~~~~~~~~(12)(34),(13)(24),(14)(23),\\
~~~~~~~~(12)(35),(13)(25),(15)(23),\\
~~~~~~~~(12)(45),(14)(25),(15)(24),\\
~~~~~~~~(13)(45),(14)(35),(15)(34),\\
~~~~~~~~(23)(45),(24)(35),(25)(34),\\
~~~~~~~~(12345),(12354),(12435),(12453),(12534),(12543),\\
~~~~~~~~(13245),(13254),(13245),(13254),(13524),(13542),\\
~~~~~~~~(14235),(14253),(14325),(14352),(14523),(14532),\\
~~~~~~~~(15234),(15243),(15324),(15342),(15423),(15432)\}\\
~~~~~~~~(12),(13),(14),(15),(23),(24),(25),(34),(35),(45)\\
~~~~~~~~(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)\\
~~~~~~~~(1235),(1253),(1325),(1352),(1523),(1532)\\
~~~~~~~~(1245),(1254),(1425),(1452),(1524),(1542)\\
~~~~~~~~(1345),(1354),(1435),(1453),(1534),(1543)\\
~~~~~~~~(2345),(2354),(2435),(2453),(2534),(2543)\\
~~~~~~~~(12)(345),(12)(354),(13)(245),(13)(254),(14)(235),(14)(253),\\
~~~~~~~~(15)(234),(15)(243),(23)(145),(23)(154),(24)(135),(24)(153),\\
~~~~~~~~(25)(134),(25)(143),(34)(125),(34)(152),(35)(124),(35)(142),\\
~~~~~~~~(45)(123),(45)(132)\\
の120個の置換。G_2 はこのうちの偶置換、即ち、次の60個。\\
G_2=\{(1),(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234),(235),(245),(345),\\
~~~~~~~~(132),(142),(152),(143),(153),(154),(243),(253),(254),(354),\\
~~~~~~~~(12)(34),(13)(24),(14)(23),\\
~~~~~~~~(12)(35),(13)(25),(15)(23),\\
~~~~~~~~(12)(45),(14)(25),(15)(24),\\
~~~~~~~~(13)(45),(14)(35),(15)(34),\\
~~~~~~~~(23)(45),(24)(35),(25)(34),\\
~~~~~~~~(12345),(12354),(12435),(12453),(12534),(12543),\\
~~~~~~~~(13245),(13254),(13245),(13254),(13524),(13542),\\
~~~~~~~~(14235),(14253),(14325),(14352),(14523),(14532),\\
~~~~~~~~(15234),(15243),(15324),(15342),(15423),(15432)\}\\
\\
~~~~次の拡大は3次でなければならない。また、それに対応する群G_3 は、三分の一の数、
即ち、20個で構成しなければならない。\\
~~~~ところが、G_2 の部分群で、位数20のものは存在しない。つまりこの60個の中から
20個の元を選んできて、掛け算で閉じるようにしようとしても、それは無理。\\
~~~~やってみようとして、例えば、(123) と(124) を入れることにすると、\\
(123)(123)=(132)\\
(132)(124)=(243)\\
(243)(243=(234)\\
(132)(234)=(134)\\
(123)(124)=(13)(24)\\
(132)(134)=(12)(34)\\
(124)(123)=(14)(23)\\
(123)(132)=(1)\\
これで、A_4=\{(1),(123),(124),(134),(234),(132),(142),(143),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}
ができ、これ以上は増えない。つまり20個にならない。\\
~~~~それで、増やすために、(125) を加えることにすると、\\
(125)(125)=(152)\\
(123)(152)=(153)\\
(153)(153)=(135)\\
同様にして、(145) も(235) も(245) も(345) も入り。\\
(135)(234)=(13425)\\
(135)(245)=(13245)\\
等々、により、上の60個が全部入ってしまう。つまり20個の部分群を作ることは出来ない。\\
~~~~つまり、体の拡大によりx_1 をR_n の中に含まることが、「根号による解法」であり、
この方向で考えると、根号を作ってみるべき数式の数は無限にあり、すべてを試すことは不可能。
しかし、群の縮小という観点から考えると、位数60の中から20個を選んで部分群ができない
ことを言えばよいのだから、試すのは容易ということになる。\\
\end{math}



\end{document}