\documentclass[b5paper,10pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\begin{document}
\begin{math}
Gー1~~~複素平面上に０，Ｃ，Ａ，Ｂの三点がある。\\[0.2cm]
０の座標は~0+0i,~Ｃの座標は
~\displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\sqrt{3}+i}{6},
~Ａの座標は~0+i，Ｂの座標は~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{-\sqrt{3}+i}{3}~\\[0.2cm]
である。この時、次のことを示せ。\\[0.2cm]
1)~~~<BAC=60゜、<COB=120゜\\[0.2cm]
（これにより四辺形OCABは円に内接する。）\\[0.2cm]
2)~~~<OAC=<OBC~~を示せ。\\[0.2cm]
（これは円に内接する四辺形なのであるから自明であるが、\\[0.2cm]
複素数の偏角が等しいことを示し、その事実を確かめよ。）\\[0.2cm]
\\
解~~~\\[0.2cm]
G-1-1)\\[0.2cm]
<BAC~を求める。\\[0.2cm]
\gamma - \alpha=\displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}
{\sqrt{3}+i}{6}-i=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\sqrt{3}-5i}{6}\\[0.2cm]
\beta- \alpha=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{-\sqrt{3}+i}{3}
-i=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{-\sqrt{3}-2i}{3}\\[0.2cm]
\therefore~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\gamma - \alpha}
{\beta- \alpha}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1+\sqrt{3}i}{2}
=\cos{60゜}+i \sin{60゜}=e^{i60゜}\\[0.2cm]
即ち、<BAC=60゜\\[0.2cm]
<COB~を求める。\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\beta}{\gamma}
=-1+\sqrt{3}i=2\left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}{-1}{2}
+\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\sqrt{3}}{2}\right)
=2e^{i120゜}\\[0.2cm]
即ち、<COB=120゜\\[0.2cm]
G-1-2)\\[0.2cm]
<OAC~を求める。\\[0.2cm]
\gamma - \alpha=\displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}
{\sqrt{3}+i}{6}-i=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\sqrt{3}-5i}{6}\\[0.2cm]
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\sqrt{28}}{6} \left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}
{\sqrt{3}}{\sqrt{28}}-i\genfrac{}{}{0.5pt}{}{5}{\sqrt{28}}\right)\\[0.2cm]
0-\alpha=-i\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\gamma - \alpha}{0-\alpha}
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\sqrt{28}}{6}
\left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}{5}{\sqrt{28}}
+i\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\sqrt{3}}{\sqrt{28}}\right)\\[0.2cm]
即ち、<OAC~は、cos~が\genfrac{}{}{0.5pt}{}{5}{\sqrt{28}}、
sin~が\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\sqrt{3}}{\sqrt{28}}~
となるような角。\\[0.2cm]
<OBC~を求める。\\[0.2cm]
\gamma- \beta=\genfrac{}{}{0.5pt}{}
{3\sqrt{3}-i}{6}
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\sqrt{28}}{6}
\left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}{3\sqrt{3}}{\sqrt{28}}
-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{i}{\sqrt{28}}\right)\\[0.2cm]
0- \beta=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{2}{3}
\left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\sqrt{3}}{2}
-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{i}{2}\right)\\[0.2cm]
偏角のところだけを計算する。\\[0.2cm]
\left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}{3\sqrt{3}}{\sqrt{28}}
-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{i
}{\sqrt{28}}\right)/
\left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\sqrt{3}}{2}
-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{i}{2}\right)
=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{5}{\sqrt{28}}
+i\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\sqrt{3}}{\sqrt{28}}\\[0.2cm]
即ち、<OBC~は、cos~が\genfrac{}{}{0.5pt}{}{5}{\sqrt{28}}、
sin~が\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\sqrt{3}}{\sqrt{28}}~
となるような角。\\[0.2cm]
即ち、<OAC=<OBC~~~~~~解終り。
\end{math}
\end{document}