\documentclass[b5paper,10pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\begin{document}
\begin{math}
~~~~ \displaystyle \\[0.2cm]
%\genfrac{}{}{0.5pt}{}{(x-1)(2x-3)}{x}\, dx\\[0.2cm]
問（円筒1）~~~半径~1~の円筒の側面の半分\\[0.2cm]
~~~~~~y^2+z^2=1~~~(z \geq 0)~~(x~は任意）\\[0.2cm]
~~を、半径~1~の円筒の側面\\[0.2cm]
~~~~~~x^2+y^2=1~~~(z~は任意）\\[0.2cm]
で切り取った面積~S~を求めよ。\\[0.2cm]
解1~~~x-y~平面の第１象限上の面積を~S_1~とし、これを求める。\\[0.2cm]
~~~~面分~dS=\sqrt{\left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\partial z}{\partial x}\right)^2
+\left(\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\partial z}{\partial y}\right)^2+1}~dxdy\\[0.2cm]
ここで、\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\partial z}{\partial x}=0,
~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{\partial z}{\partial y}
=-\genfrac{}{}{0.5pt}{}{y}{\sqrt{1-y^2}}\\[0.2cm]
であるから、これを代入して面分を求めると、\\[0.2cm]
dS=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{dxdy}{\sqrt{1-y^2}}\\[0.2cm]
積分区間（半径~1~の円の四分の一）に変換\\[0.2cm]
~~~x=r\cos \theta,~~~y=r\sin \theta\\[0.2cm]
を施す。ヤコビアンは~r~であるから、\\[0.2cm]
S_1=\int _0^{\pi/2} \int _0^1
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{rdrd\theta}{\sqrt{1-r^2 \sin^2 \theta}}\,
=\int _0^{\pi/2}\left [\int _0^1
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{rdr}{\sqrt{1-r^2 \sin^2 \theta}}
\right]d\theta\,\\[0.2cm]
=\int _0^{\pi/2}\left [
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{-\sqrt{1-r^2 \sin^2 \theta}}{\sin^2 \theta}
\right] _0^1 d\theta\,
=\int _0^{\pi/2}\left [
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1-\cos \theta}{\sin^2 \theta}
\right] d\theta\,
=\int _0^{\pi/2}
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{d\theta}{1+\cos \theta} \,\\[0.2cm]
~~~\tan \theta/2=t~~とおいて、\\[0.2cm]
d \theta =\genfrac{}{}{0.5pt}{}{2dt}{1+t^2},~~
\cos \theta=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{1-t^2}{1+t^2}\\[0.2cm]
\begin{tabular}{c|c}
$\theta$ & 0 $\longrightarrow \pi/2 $ \\ \hline
t & 0 $\longrightarrow$ ~~1 \\
\end{tabular} \\
\therefore~~S_1=\int _0^1 \genfrac{}{}{0.5pt}{}{1+t^2}{2}
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{2}{1+t^2}\, dt=1\\[0.2cm]
\therefore S=4S_1=4\\[0.2cm]
解2~~~上は律義に面分の公式を用いて解を作ったが、円筒の側面であるから、\\[0.2cm]
展開図を作ることが出来る。以下はこの方法による解答。解1~と同様に\\[0.2cm]
第１象限上の面積~S_1~を求める。\\[0.2cm]
~~~~~~y^2+z^2=1~~であるから、\\[0.2cm]
~~~~~~~y=\sin \theta,~~z=\cos \theta\\[0.2cm]
とおくことが出来る。\\[0.2cm]
~~~~~~~x^2+y^2=1~~の~y~に上の式を代入して、\\[0.2cm]
~~~~~~~~~x=\sqrt{1-\sin^2 \theta}=\cos \theta\\[0.2cm]
~~~x~を縦軸、\theta~を横軸にとれば、切り取られた側面の展開図が出来る。\\[0.2cm]
~~~\theta~の範囲は0~から\pi/2~まで。即ち、\\[0.2cm]
S_1=\int _0^{\pi/2} \cos \theta \,d\theta=[\sin \theta]_0^{\pi/2}=1\\[0.2cm]
\therefore S=4S_1=4\\[0.2cm]
\end{math}
\end{document}