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\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{定理}
\newtheorem{definition}{定義}
\newtheorem{question}{問}
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\title{3次、4次方程式の解法}
\author{能美武功}
\date{平成12年５月5日}
\begin{document}
\maketitle
\section{２次方程式の解法}\label{２次方程式の解法}
~~まず最初に、2次方程式の根の公式を復習する。\\
\begin{equation}\label{2次方程式}
ax^2+bx+c=0
\end{equation}
（ここで係数は一般に複素数であると仮定する。）\\
$x_1, x_2 $を上式の２根とすると、$a(x-x_1)(x-x_2)=0$より、\\
\begin{equation}\label{2次方程式展開}
ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2=0.
\end{equation}
両式を比較して、
\begin{equation}\label{根と係数の関係1}
x_1+x_2=-b/a
\end{equation}
\begin{equation}\label{根と係数の関係2}
x_1x_2=c/a
\end{equation}
従って、もし何かの方法で、\\
\begin{equation}\label{2根の差1}
x_1-x_2
\end{equation}
が係数$a,b,c $で表されれば、式(\ref{根と係数の関係1})と式(\ref{2根の差1})により、$x_1, x_2 $が求まる。\\
幸いなことに式(\ref{2根の差1})の2乗を計算すれば、\\
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-b/a)^2-4(c/a)=(b^2-4ac)/a^2$ \\
この分子を$D$ と書き、式(\ref{2次方程式})の判別式ということにする。\\
\begin{equation}\label{判別式}
D=b^2-4ac,
\end{equation}
これを使うと式(\ref{2根の差1})は、次のように書け、\\
\begin{equation}\label{2根の差2}
x_1-x_2=\sqrt{D}/a
\end{equation}
$（a,b,c は複素数であるから、\sqrt{D}は一般に2個の値を持つことに注意。）$\\
式(\ref{根と係数の関係1})と式(\ref{2根の差2})により、\\
\begin{equation}\label{2次方程式の根の公式}
x_1=(-b+\sqrt{D})/2a
\end{equation}
\\
\begin{question}
次の2次方程式の2根を求めよ。\\
\begin{equation}\label{2次方程式例1}
(2+9i)x^2+(17-51i)+(-145+240i)=0
\end{equation}
\end{question}
\begin{math}
解\\
D=7488+1566i\\
D の平方根を求めるために、絶対値と偏角を求める。\\
D の絶対値=7650\\
D の偏角=0.206163217045 (rad) \\
\sqrt{D} を求めるために、D の絶対値の2乗根とD の偏角の2分の1 を求める。\\
D の絶対値の2乗根=87.4642784227 \\
D の偏角の2分の1=0.1030816085 \\
故に、\\
~~~\sqrt{D}=87.4642784227(cos(0.1030816085)+sin(0.1030816085))=87+9i \\
または、\\
~~~\sqrt{D}=87.4642784227(-cos(0.1030816085)-sin(0.1030816085))=-87-9i\\
\therefore~~~x=(-b+\sqrt{D})/2a=4-3i~~~ or ~~~1+6i~~~（解おわり）\\
\end{math}
\\
\section{3次方程式の解法}\label{3次方程式の解法}
\begin{equation}\label{3次方程式一般}
a_0'x^3+a_1'x^2+a_2'x+a_3'=0
\end{equation}
両辺を $a_0'$ で割って、\\
\begin{equation}\label{3次方程式3次の係数1}
x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0
\end{equation}
3根を$x_1, x_2, x_3 とすると、(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$ となるから、これを展開して、\\
\begin{equation}\label{3次方程式3次の係数1}
x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3=0
\end{equation}
これと式\ref{3次方程式3次の係数1}を比較して、3次方程式の「根と係数の関係」、\\
\begin{equation}\label{3次ー根と係数の関係1}
x_1+x_2+x_3=-a_1
\end{equation}
\begin{equation}\label{3次ー根と係数の関係2}
x_1x_2+x_1x_2+x_2x_3=a_2
\end{equation}
\begin{equation}\label{3次ー根と係数の関係3}
x_1x_2x_3=-a_3
\end{equation}
が出てくる。\\
$ここで \omega を1の虚3乗根 (-1+i\sqrt{3})/2 として、x_1, x_2, x_3 と\omega の関数u, v
を次のように定義する。$\\
\begin{equation}\label{uの定義}
u=x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3
\end{equation}
\begin{equation}\label{vの定義}
v=x_1+\omega^2 x_2+\omega x_3
\end{equation}
$\omega$ に関する関係式、\\
\begin{equation}\label{オメガに関する関係式}
1+\omega+\omega^2=0
\end{equation}
を使って、(\ref{3次ー根と係数の関係1})+(\ref{uの定義})+(\ref{vの定義}) を計算すれば、\\
$-a_1+u+v=3x_1 $。即ち、
\begin{equation}\label{x1がuvで表される}
x_1=(-a_1+u+v)/3
\end{equation}
同様に、$(\ref{3次ー根と係数の関係1})+\omega^2(\ref{uの定義})+\omega(\ref{vの定義}) を計算すれば、\\
-a_1+\omega^2u+\omega v=3x_2 $。即ち、
\begin{equation}\label{x2がuvで表される}
x_2=(-a_1+\omega^2u+\omega v)/3
\end{equation}
同様に、$(\ref{3次ー根と係数の関係1})+\omega(\ref{uの定義})+\omega^2(\ref{vの定義}) を計算すれば、\\
-a_1+\omega u+\omega^2 v=3x_2 $。即ち、
\begin{equation}\label{x3がuvで表される}
x_3=(-a_1+\omega u+\omega^2 v)/3
\end{equation}
\begin{math}
従って、u, v が(\ref{3次方程式3次の係数1}) の係数 a_1, a_2, a_3 で表されれば x_1, x_2, x_3 は
求まる。ところ\\
が、後で練習問題として解くように、幸いなことに u^3+v^3 と u^3-v^3 が a_1, a_2, a_3
で表される。即ち、\\
\end{math}
\begin{equation}\label{Aの定義式}
A=9a_1a_2-2a_1^3-27a_3
\end{equation}
\begin{equation}\label{Dの定義式}
D=a_1^2a_2^2-4a_2^3-4a_1^3a_3-27a_3^2+18a_1a_2a_3
\end{equation}
とおくと、\\
\begin{equation}\label{Aとu,v の関係}
u^3+v^3=A
\end{equation}
\begin{equation}\label{Dとu,v の関係}
u^3-v^3=\sqrt{-27D}
\end{equation}
となるのである。従って、\\
\begin{equation}\label{u3乗をA,Dで表す}
u^3=(A+\sqrt{-27D})/2
\end{equation}
\begin{equation}\label{v3乗をA,Dで表す}
v^3=(A-\sqrt{-27D})/2
\end{equation}
\begin{math}
(\ref{u3乗をA,Dで表す}) を3乗根に開いてその一つの根を u_1 とすれば、他の2根は\\
u_2=\omega u_1, u_3=\omega^2 u_1 と表され、\\
(\ref{v3乗をA,Dで表す}) を3乗根に開いてその一つの根を v_1 とすれば、他の2根は\\
v_2=\omega v_1, v_3=\omega^2 v_1 と表される。\\
\end{math}
ところが、式(\ref{x1がuvで表される})に代入すべきu,v を上のどの組み合わせにすればよいか
は分からない。従って実際に問題を解く場合には全ての組み合わせを作って、
式(\ref{3次方程式3次の係数1})に代入して求める。即ち、泥臭いが、\\
\begin{math}
x_1=(-a_1+u_1+v_1)/3, \\
x_2=(-a_1+u_1+v_2)/3,\\
x_3=(-a_1+u_1+v_3)/3,\\
x_4=(-a_1+u_2+v_1)/3,\\
x_5=(-a_1+u_2+v_2)/3, \\
x_6=(-a_1+u_2+v_3)/3, \\
x_7=(-a_1+u_3+v_1)/3, \\
x_8=(-a_1+u_3+v_2)/3,\\
x_9=(-a_1+u_3+v_3)/3, \\
\end{math}
を作って式(\ref{3次方程式3次の係数1})に代入する。0になる組み合わせが解である。\\
\\
それでは、やり残した公式の証明をする。\\
\begin{question}\label{Aを導く}
次の公式を示せ。\\
\begin{equation}\label{A}
u^3+v^3=9a_1a_2-2a_1^3-27a_3
\end{equation}
\begin{math}
解~~u^3+v^3\\
=x_1^3+x_2^3+x_3^3+3\omega x_1^2x_2+3\omega^2x_1^2x_3+3\omega^2x_2^2x_1
+3\omega x_2^2x_3+3\omega x_3^2x_1+3\omega^2x_3^2x_2+6x_1x_2x_3\\
+x_1^3+x_2^3+x_3^3+3\omega^2 x_1^2x_2+3\omega x_1^2x_3+3\omega x_2^2x_1
+3\omega^2 x_2^2x_3+3\omega^2 x_3^2x_1+3\omega x_3^2x_2+6x_1x_2x_3\\
=2(x_1^3+x_2^3+x_3^3)-3(x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_2^2x_1+x_2^2x_3+x_3^2x_1+x_3^2x_2)+12x_1x_2x_3\\
ここで(~~,~~,~~) の記号を導入し、次の意味で使う。高い冪の順序になっていることに\\
注意。\\
(3,0,0)=x_1^3+x_2^3+x_3^3,\\
(2,1,0)=x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_2^2x_1+x_2^2x_3+x_3^2x_1+x_3^2x_2,\\
(1,1,1)=x_1x_2x_3,\\
(1,0,0)=x_1+x_2+x_3,\\
(1,1,0)=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,\\
(3,2,1)=x_1^3x_2^2x_3+x_1^3x_3^2x_2+x_2^3x_1^2x_3+x_2^3x_3^2x_1+x_3^3x_1^2x_2+x_3^3x_2^2x_1,\\
(4,1,1)=x_1^4x_2x_3+x_2^4x_1x_3+x_3^4x_1x_2,\\
(4,2,0)=x_1^4x_2^2+x_1^4x_3^2+x_2^4x_1^2+x_2^4x_3^2+x_3^4x_1^2+x_3^4x_2^2,\\
(3,3,0)=x_1^3x_2^3+x_1^3x_3^3+x_2^3x_3^3,\\
(2,2,2)=x_1^2x_2^2x_3^2.\\
（ここで、(1,0,0)、(1,1,0)、(1,1,1) は、既に方程式の係数で表されていることに注意。）\\
この記号を使うと、u^3+v^3 は簡単に次のように表される。\\
u^3+v^3=2(3,0,0)-3(2,1,0)+12(1,1,1).\\
従って、問題は上式の右辺を(1,0,0)、(1,1,0)、(1,1,1)で表せばよいことになる。\\
まず直観的に(3,0,0)は、(1,0,0)を3乗すれば出てきそうな気がする。やってみると、\\
(1,0,0)^3=(x_1+x_2+x_3)^3=x_1^3+x_2^3+x_3^3+
3(x_1^2x_2+x_1^2x_3++x_2^2x_1+x_2^2x_3+x_3^2x_1+x_3^2x_2)+6x_1x_2x_3\\
=(3,0,0)+3(2,1,0)+6(1,1,1).\\
ここで(2,1,0)が同様にできればいいが、それは(1,0,0)と(1,1,0)をかければ出てきそうである。やってみる。\\
(1,0,0)(1,1,0)=(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)\\
=x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_2^2x_1+x_2^2x_3+x_3^2x_1+x_3^2x_2+3x_1x_2x_3\\
=(2,1,0)+3(1,1,1).\\
\therefore ~~~(2,1,0)=(1,0,0)(1,1,0)-3(1,1,1).\\
\therefore ~~~(3,0,0)=(1,0,0)^3-3(2,1,0)-6(1,1,1)=(1,0,0)^3-3[(1,0,0)(1,1,0)\\
~~~~~~~~~~~~~~-3(1,1,1)]-6(1,1,1)=(1,0,0)^3-3(1,0,0)(1,1,0)+3(1,1,1).\\
\therefore ~~~u^3+v^3=2[(1,0,0)^3-3(1,0,0)(1,1,0)+3(1,1,1)]-3[(1,0,0)(1,1,0)\\
~~~~~~~~~~~~~~-3(1,1,1)]+12(1,1,1)=2(1,0,0)^3-9(1,0,0)(1,1,0)+27(1,1,1)\\
~~~~~~~~~~~~~~=-2a_0^3+9a_1a_2-27a_3. ~~~（解おわり）\\
\end{math}
\end{question}
次に、D を求める。
\begin{question}
\begin{math}
次の公式を示せ。\\
(u^3-v^3)^2=-27(a_1^2a_2^2-4a_2^3-4a_1^3a_3-27a_3^2+18a_1a_2a_3).\\
解~~最初に \omega-\omega^2=(-1+i\sqrt{3})/2-(-1-i\sqrt{3})/2=i\sqrt{3},\\
~~~~~~~~~~~~~~~\omega^2-\omega=(-1-i\sqrt{3})/2-(-1+i\sqrt{3})/2=-i\sqrt{3},\\
であることを注意しておく。さて、計算。\\
u^3-v^3=(x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3)^3-(x_1+\omega^2 x_2+\omega x_3)^3\\
~~~~~~~~~~~~~~=(x_1^3+x_2^3+x_3^3+3\omega x_1^2x_2+3\omega^2x_1^2x_3
+3\omega^2x_2^2x_1\\
~~~~~~~~~~~~~~+3\omega x_2^2x_3+3\omega x_3^2x_1+3\omega^2x_3^2x_2)\\
~~~~~~~~~~~~~~-(x_1^3+x_2^3+x_3^3+3\omega^2 x_1^2x_2+3\omega x_1^2x_3
+3\omega x_2^2x_1\\
~~~~~~~~~~~~~~+3\omega^2 x_2^2x_3+3\omega^2 x_3^2x_1+3\omega x_3^2x_2)\\
~~~~~~~~~~~~~~=i3\sqrt{3}(x_1^2x_2-x_1^2x_3-x_2^2x_1+x_2^2x_3+x_3^2x_1-x_3^2x_2)\\
（この括弧内を計算すると、(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3) となることに\\
注意。即ち、3実根を持つときには、
この値を2乗したものはプラスと\\
なる。つまり、3次方程式の判別式。）\\
さて、上式の右辺の括弧の2乗を計算する。\\
(x_1^2x_2-x_1^2x_3-x_2^2x_1+x_2^2x_3+x_3^2x_1-x_3^2x_2)^2\\
=(4,2,0)\\
-2x_1^4x_2x_3-2x_1^3x_2^3+2x_1^3x_3^2x_2+2x_2^3x_1^2x_3-2x_1^2x_2^2x_3^2\\
+2x_1^3x_2^2x_3-2x_1^3x_3^3-2x_1^2x_2^2x_3^2+2x_3^3x_1^2x_2\\
-2x_1^2x_2^2x_3^2-2x_2^4x_1x_3+2x_2^3x_3^2x_1\\
+2x_3^3x_2^2x_1-2x_3^4x_1x_2\\
-2x_2^3x_3^3\\
=(4,2,0)\\
-2x_1^4x_2x_3-2x_1^2x_2^2x_3^2-2x_1^3x_2^3+2x_1^3x_3^2x_2+2x_2^3x_1^2x_3\\
~~~~~~~~~~~~~-2x_1^2x_2^2x_3^2-2x_1^3x_3^3+2x_1^3x_2^2x_3+2x_3^3x_1^2x_2\\
-2x_2^4x_1x_3-2x_1^2x_2^2x_3^2~~~~~~~~~~~+2x_2^3x_3^2x_1\\
-2x_3^4x_1x_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+2x_3^3x_2^2x_1\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-2x_2^3x_3^3\\
=(4,2,0)-2(4,1,1)-6(2,2,2)-2(3,3,0)+2(3,2,1).\\
さて、(4,2,0) を求めるためには何を計算すればよいか。少し慣れてきた人には分かるだろう。それは、
(1,0,0)^2(1,1,0)^2。では、やってみる。 \\
(1,0,0)^2(1,1,0)^2=(x_1+x_2+x_3)^2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^2\\
=(x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_2^2x_1+x_2^2x_3+x_3^2x_1+x_3^2x_2+3x_1x_2x_3)^2\\
=(4,2,0)+9x_1^2x_2^2x_3^2\\
+2x_1^4x_2x_3+2x_1^3x_2^3+2x_2^3x_1^2x_3+2x_1^3x_3^2x_2+2x_1^2x_2^2x_3^2+6x_1^3x_2^2x_3\\
+2x_1^3x_2^2x_3+2x_1^2x_2^2x_3^2+2x_1^3x_3^3+2x_3^3x_1^2x_2+6x_1^3x_3^2x_2\\
+2x_2^4x_1x_3+2x_1^2x_2^2x_3^2+2x_2^3x_3^2x_1+6x_2^3x_1^2x_3\\
+2x_3^3x_2^2x_1+2x_2^3x_3^3+6x_2^3x_3^2x_1\\
+2x_3^4x_1x_2+6x_3^3x_1^2x_2\\
+6x_3^3x_2^2x_1\\
=(4,2,0)+9x_1^2x_2^2x_3^2\\
+2x_1^4x_2x_3+2x_1^2x_2^2x_3^2+2x_1^3x_2^3+2x_2^3x_1^2x_3+2x_1^3x_3^2x_2+6x_1^3x_2^2x_3\\
~~~~~~~~~~~~~+2x_1^2x_2^2x_3^2+2x_1^3x_3^3+2x_1^3x_2^2x_3+2x_3^3x_1^2x_2+6x_1^3x_3^2x_2\\
+2x_2^4x_1x_3~+2x_1^2x_2^2x_3^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+2x_2^3x_3^2x_1+6x_2^3x_1^2x_3\\
~~~~~~~~~~~~~+2x_2^3x_3^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+2x_3^3x_2^2x_1+6x_2^3x_3^2x_1\\
+2x_3^4x_1x_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+6x_3^3x_1^2x_2\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+6x_3^3x_2^2x_1\\
=(4,2,0)+2(4,1,1)+15(2,2,2)+2(3,3,0)+8(3,2,1).\\
\therefore~~~(4,2,0)=(1,0,0)^2(1,1,0)^2-2(4,1,1)-15(2,2,2)-2(3,3,0)-8(3,2,1).\\
ここで、計算が最後の段階に行き着いたかどうか見やすくするために、次の記号を導入する。\\
(1,0,0)=\sigma _1,\\
(1,1,0)=\sigma _2,\\
(1,1,1)=\sigma _3.\\
すると(4,2,0) は、\\
(4,2,0)=\sigma _1^2\sigma _2^2-2(4,1,1)-15\sigma _3^2-2(3,3,0)-8(3,2,1)\\
となり、まだ(4,1,1), (3,3,0), (3,2,1) が変形すべきものとして残されていることが分かる。\\
従ってまず、(4,1,1)を計算する。それは、(1,0,0)^3(1,1,1) を実行すればよい。\\
(1,0,0)^3(1,1,1)=(x_1+x_2+x_3)^3x_1x_2x_3\\
=[(3,0,0)+3(2,1,0)+6(1,1,1)](1,1,1)=(4,1,1)+3(3,2,1)+6(2,2,2).\\
\therefore ~~~(4,1,1)=\sigma _1^3\sigma _3-3(3,2,1)-6\sigma _3^2.\\
次に、(3,3,0)を求める。それには、(1,1,0)^3 を計算すればよい。\\
(1,1,0)^3=(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^3\\
=(3,3,0)+3(3,2,1)+6(2,2,2).\\
\therefore ~~~(3,3,0)=\sigma _2^3-3(3,2,1)-6\sigma _3^2.\\
次に、(3,2,1)を求める。それには(1,0,0)(1,1,0)(1,1,1) を計算すればよい。\\
(1,0,0)(1,1,0)(1,1,1)=(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x_1x_2x_3\\
=[(2,1,0)+3(1,1,1)](1,1,1)=(3,2,1)+3(2,2,2).\\
\therefore ~~~(3,2,1)=\sigma _1\sigma _2\sigma _3-3\sigma _3^2.\\
\therefore~~~(4,1,1)=\sigma _1^3\sigma _3-3(\sigma _1\sigma _2\sigma _3-3\sigma _3^2)-6\sigma _3^2\\
~~~~~~~~~~~~~~=-3\sigma _1\sigma _2\sigma _3+3\sigma _3^2+\sigma _1^3\sigma _3.\\
\therefore ~~~(3,3,0)=\sigma _2^3-3[\sigma _1\sigma _2\sigma _3-3\sigma _3^2]-6\sigma _3^2\\
~~~~~~~~~~~~~~=3\sigma _3^2-3\sigma _1\sigma _2\sigma _3+\sigma _2^3
これまで導いてきた公式を並べると、\\
(4,1,1)=~~3\sigma _3^2-3\sigma _1\sigma _2\sigma _3~~~~~~~~~~~~~~+\sigma _1^3\sigma _3,\\
(3,3,0)=~~3\sigma _3^2-3\sigma _1\sigma _2\sigma _3+\sigma _2^3,\\
(3,2,1)=-3\sigma _3^2+\sigma _1\sigma _2\sigma _3.\\
従って、\\
(4,2,0)=\sigma _1^2\sigma _2^2-2(4,1,1)-15\sigma _3^2-2(3,3,0)-8(3,2,1)\\
=\sigma _1^2\sigma _2^2-15\sigma _3^2\\
~~~~~~-2(~~3\sigma _3^2-3\sigma _1\sigma _2\sigma _3~~~~~~~~~~~~~~+\sigma _1^3\sigma _3)\\
~~~~~~-2(~~3\sigma _3^2-3\sigma _1\sigma _2\sigma _3+\sigma _2^3)\\
~~~~~~-8(-3\sigma _3^2+\sigma _1\sigma _2\sigma _3)\\
=\sigma _1^2\sigma _2^2-3\sigma _3^2+4\sigma _1\sigma _2\sigma _3-2\sigma _2^3-2\sigma _1^3\sigma _3.\\
従って結局、\\
(x_1^2x_2-x_1^2x_3-x_2^2x_1+x_2^2x_3+x_3^2x_1-x_3^2x_2)^2\\
=(4,2,0)-2(4,1,1)-6(2,2,2)-2(3,3,0)+2(3,2,1)\\
=\sigma _1^2\sigma _2^2-3\sigma _3^2+4\sigma _1\sigma _2\sigma _3-2\sigma _2^3-2\sigma _1^3\sigma _3.\\
~~~~~~-2(3\sigma _3^2-3\sigma _1\sigma _2\sigma _3~~~~~~~~~~~~~~+\sigma _1^3\sigma _3)\\
~~~~~~-6\sigma _3^2\\
~~~~~~-2(~~3\sigma _3^2-3\sigma _1\sigma _2\sigma _3+\sigma _2^3)\\
~~~~~~+2(-3\sigma _3^2+\sigma _1\sigma _2\sigma _3)\\
=\sigma _1^2\sigma _2^2-27\sigma _3^2+18\sigma _1\sigma _2\sigma _3-4\sigma _2^3-4\sigma _1^3\sigma _3.\\
従って与えられた式(u^3-v^3)^2 は、\\
(u^3-v^3)^2=-27(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2\\
=-27(\sigma _1^2\sigma _2^2-27\sigma _3^2+18\sigma _1\sigma _2\sigma _3-4\sigma _2^3-4\sigma _1^3\sigma _3)\\
=-27[(-a_1)^2a_2^2-27(-a_3)^2+18(-a_1)a_2(-a_3)-4a_2^3-4(-a_1)^3(-a_3)]\\
=-27(a_1^2a_2^2-4a_2^3-4a_1^3a_3-27a_3^2+18a_1a_2a_3)~~~~（解おわり）\\
\end{math}
\end{question}
\begin{question}
\begin{math}
次の3次方程式の根を求めよ。\\
(1+i)x^3+(-1-3i)x^2+(7-17i)x+(-31-53i)=0\\
解~~~まず (1+i) で両辺を割ってx^3 の係数を1にする。\\
x^3+(-2-i)x^2+(-5-12i)x+(-42-11i)=0\\
次にA を計算する。\\
9a_1a_2=-18 +261i\\
-2a_1^3=4+22i\\
-27s_3=1134 +297i\\
u^3+v^3=A=1120+580i\\
次にD を計算する。\\
a_1^2a_2^2=-837 -116i\\
-27a_3^2=-44361 -24948i\\
18a_1a_2a_3=7254 -21528i\\
-4a_2^3=-8140 -3312i\\
-4a_1^3a_3=148 -1936i\\
D=-45936 -51840i\\
\therefore~~~(u^3-v^3)^2=-27D=1240272+1399680i\\
-27D を平方に開いてu^3-v^3 を求める。\\
-27D の絶対値=1870128,\\
-27D の偏角=0.845707852266~(rad),\\
-27D の絶対値の平方根=1367.52623375,\\
-27D の偏角の1/2=0.422853926133,\\
\therefore~~~u^3-v^3=sqrt{-27D}.\\
=1367.52623375(\cos(0.422853926133)+i\sin(0.422853926133))\\
=1247.07658145+561.184461652i .\\
\therefore~~~u^3=(A+\sqrt{-27D})/2=1183.53829072+570.592230826i,\\
~~~~~~v^3=(A-\sqrt{-27D})/2=-63.5382907248+9.40776917384i.\\
u^3, v^3 の立方根を求める。\\
u^3 の絶対値=1313.90196723,\\
u^3 の偏角=0.449231111591,\\
u^3 の絶対値の立方根=10.9526948386,\\
u^3 の偏角の3分の1=0.149743703864,\\
(u^3 の偏角の3分の1)+(2/3)\pi=2.24413880626,\\
(u^3 の偏角の3分の1)-(2/3)\pi=-1.94465139853.\\
以上の結果からu の3個の値、u_1, u_2, u_3 が求まる。\\
u_1=10.8301270189+1.63397459622i,\\
u_2=-6.83012701892+8.56217782649i,\\
u_3=-4-10.1961524227i.\\
全く同様にしてv の3個の値、v_1, v_2, v_3 が求まる。\\
v_1=2.16987298108+3.36602540378i,\\
v_2=-4+0.196152422707i,\\
v_3=1.83012701892-3.56217782649i.\\
これらをx を求める9個の式に代入し、次の9個の値を得る。\\
x_1=5+2i,\\
x_2=2.94337567297+0.943375672974i,\\
x_3=4.88675134595-0.309401076759i,\\
x_4=-0.886751345948+4.30940107676i,\\
x_5=-2.94337567297+3.25277674973i,\\
x_6=-1+2i,\\
x_7=0.056624327026-1.94337567297i,\\
x_8=-2-3i,\\
x_9=-0.056624327026-4.25277674973i.\\
これらを元の方程式に代入して、\\
f(x_1)=0+0i,\\
f(x_2)=-37.7485783982-46.2385963442i,\\
f(x_3)=-5.4458557658-107.966944819i,\\
f(x_4)=90.7791890991-58.6997218479i,\\
f(x_5)=64.3639440343+98.3950151413i,\\
f(x_6)=-0+0i,\\
f(x_7)=-58.9180882685+9.5719296775i,\\
f(x_8)=0+0i,\\
f(x_9)=-53.0306107009+104.938318192i.\\
従って、根は次の3個であることが分かる。\\
x_1=5+2i,\\
x_6=-1+2i,\\
x_8=-2-3i.~~~~~（解おわり）\\
\end{math}
\end{question}
\section{4次方程式の解法}\label{4次方程式の解法}
4次方程式\\
\begin{equation}\label{4次方程式}
x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0,
\end{equation}
\begin{math}
の4根を、x_1, x_2, x_3, x_4 として、上式を因数分解すると、\\
(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=0\\
これを展開して、\\
x^4-(x_1+x_2+x_3+x_4)x^3+(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)x^2\\
-(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)x+x_1x_2x_3x_4=0.\\
両式を比較して、根と係数の関係、\\
x_1+x_2+x_3+x_4=-a,\\
x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=b,\\
x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-c,\\
x_1x_2x_3x_4=d,\\
が出る。\\
4根、x_1, x_2, x_3, x_4 の関数、u_1, u_2, u_3 を次のように定義する。\\
u_1=x_1+x_2-x_3-x_4,\\
u_2=x_1-x_2+x_3-x_4,\\
u_3=x_1+x_2-x_3+x_4.\\
もし何かの幸運で、u_1, u_2, u_3 の値が分かったとすると、根と係数の関係の最初の式、
それと、u の定義式から、x_1, x_2, x_3, x_4 が次のように解ける。\\
x_1=(-a+u_1+u_2+u_3)/4,\\
x_2=(-a+u_1-u_2-u_3)/4,\\
x_3=(-a-u_1+u_2-u_3)/4,\\
x_4=(-a-u_1-u_2+u_3)/4.\\
ところが幸いなことに、次のA, B, C は方程式(\ref{4次方程式}) の係数、a, b, c, d で表される。\\
A=u_1^2+u_2^2+u_3^2,\\
B=u_1^2u_2^2+u_1^2u_3^2+u_2^2u_3^2,\\
C=u_1u_2u_3.\\
実際、後に問題によって計算するように、A, B, C は次のように表される。\\
A=3a^2-8b,\\
B=3a^4-16a^2b+16b^2+16ac-64d,\\
C=-a^3+4ab-8c.\\
即ち、u_1^2, u_2^2, u_3^2 は次の3次方程式の3根。\\
\end{math}
\begin{equation}\label{分解方程式}
t^3-At^2+Bt-C^2=0.
\end{equation}
\begin{math}
3次方程式の時と同様に、この場合も2個づつ出てくる根のうちどれを使ったら
よいかは、やってみないと分からない。即ち、次の4個のx も作っておいて、原
方程式に代入する。\\
x_5=(-a+u_1+u_2-u_3)/4,\\
x_6=(-a+u_1-u_2+u_3)/4,\\
x_7=(-a-u_1+u_2+u_3)/4,\\
x_8=(-a-u_1-u_2-u_3)/4.\\
\end{math}
\\
さて、A, B, C の公式を確かめる。
\begin{question}\label{A の計算}
\begin{math}
u_1^2+u_2^2+u_3^2=3a^2-8b\\
を確かめよ。\\
解~~~3次方程式のときと同様に、ここでも(~~,~~,~~,~~) を次のように定義する。\\
-a=\sigma _1=(1,0,0,0)=x_1+x_2+x_3+x_4,\\
b=\sigma _2=(1,1,0,0)=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4,\\
-c=\sigma _3=(1,1,1,0)=x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4,\\
d=\sigma _4=(1,1,1,1)=x_1x_2x_3x_4,\\
(2,0,0,0)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2,\\
(2,1,1,0)=x_1^2x_2x_3+x_1^2x_2x_4+x_1^2x_3x_4+x_2^2x_1x_3+x_2^2x_1x_4+x_2^2x_3x_4
+x_3^2x_1x_2+x_3^2x_1x_4+x_3^2x_2x_4+x_4^2x_1x_2+x_4^2x_1x_3+x_4^2x_2x_3,\\
(3,1,0)=x_1^3x_2+x_1^3x_3+x_1^3x_4+x_2^3x_1+x_2^3x_3+x_2^3x_4+x_3^3x_1
+x_3^3x_2+x_3^3x_4+x_4^3x_1+x_4^3x_2+x_4^3x_3,\\
等々。\\
さて、A の計算。\\
u_1^2=(x_1+x_2-x_3-x_4)^2\\
=(2,0,0,0)+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_1x_4-2x_2x_3-2x_2x_4+2x_3x_4,\\
u_2^2=(x_1-x_2+x_3-x_4)^2\\
=(2,0,0,0)-2x_1x_2+2x_1x_3-2x_1x_4-2x_2x_3+2x_2x_4-2x_3x_4,\\
u_3^2=(x_1-x_2-x_3+x_4)^2\\
=(2,0,0,0)-2x_1x_2-2x_1x_3+2x_1x_4+2x_2x_3-2x_2x_4-2x_3x_4.\\
\therefore ~~~u_1^2+u_2^2+u_3^2=3(2,0,0,0)-2(1,1,0,0)\\
(2,0,0,0)は、a^2 を計算すれば出る。\\
a^2=(x_1+x_2+x_3+x_4)^2=(2,0,0,0)+2(1,1,0,0)\\
=(2,0,0,0)+2b,\\
\therefore ~~~(2,0,0,0)=a^2-2b.\\
\therefore~~~A=3(a^2-2b)-2b=3a^2-8b.~~~（解おわり）\\
\end{math}
\end{question}
\begin{question}\label{B の計算}
\begin{math}
u_1^2u_2^2+u_1^2u_3^2+u_2^2u_3^2=3a^4-16a^2b+16b^2+16ac-64d,\\
を示せ。\\
解\\
u_1u_2=(x_1+x_2-x_3-x_4)(x_1-x_2+x_3-x_4)\\
~~~~~~=x_1x_1+x_1x_2-x_1x_3-x_1x_4\\
~~~~~~-x_2x_1-x_2x_2+x_2x_3+x_2x_4\\
~~~~~~+x_3x_1+x_3x_2-x_3x_3-x_3x_4\\
~~~~~~-x_4x_1-x_4x_2+x_4x_3+x_4x_4\\
~~~~~=x_1^2-x_2^2-x_3^2+x_4^2-2x_1x_4+2x_2x_3,\\
u_1u_3=(x_1+x_2-x_3-x_4)(x_1-x_2-x_3+x_4)\\
~~~~~~=x_1x_1+x_1x_2-x_1x_3-x_1x_4\\
~~~~~~-x_2x_1-x_2x_2+x_2x_3+x_2x_4\\
~~~~~~-x_3x_1+x_3x_2+x_3x_3+x_3x_4\\
~~~~~~+x_4x_1+x_4x_2-x_4x_3-x_4x_4\\
~~~~~=x_1^2-x_2^2+x_3^2-x_4^2-2x_1x_3+2x_2x_4,\\
u_2u_3=(x_1-x_2+x_3-x_4)(x_1-x_2-x_3+x_4)\\
~~~~~~=x_1x_1-x_1x_2+x_1x_3-x_1x_4\\
~~~~~~-x_2x_1+x_2x_2-x_2x_3+x_2x_4\\
~~~~~~-x_3x_1+x_3x_2-x_3x_3+x_3x_4\\
~~~~~~+x_4x_1-x_4x_2+x_4x_3-x_4x_4\\
~~~~~=x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2-2x_1x_2+2x_3x_4.\\
\therefore \\
(u_1u_2)^2=(x_1^2-x_2^2-x_3^2+x_4^2-2x_1x_4+2x_2x_3)^2\\
~~~~~~=(4,0,0,0)+4x_1^2x_4^2+4x_2^2x_3^2\\
~~~~~~~-2x_1^2x_2^2-2x_1^2x_3^2+2x_1^2x_4^2-4x_1^3x_4+4x_1^2x_2x_3\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~+2x_2^2x_3^2-2x_2^2x_4^2+4x_2^2x_1x_4-4x_2^3x_3\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-2x_3^2x_4^2+4x_3^2x_1x_4-4x_3^3x_2\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-4x_4^3x_1+4x_4^2x_2x_3\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-8x_1x_2x_3x_4,\\
(u_1u_3)^2=(x_1^2-x_2^2+x_3^2-x_4^2-2x_1x_3+2x_2x_4)^2\\
~~~~~~=(4,0,0,0)+4x_1^2x_3^2+4x_2^2x_4^2\\
~~~~~~~-2x_1^2x_2^2+2x_1^2x_3^2-2x_1^2x_4^2-4x_1^3x_3+4x_1^2x_2x_4\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~-2x_2^2x_3^2+2x_2^2x_4^2+4x_2^2x_1x_3-4x_2^3x_4\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-2x_3^2x_4^2+4x_3^2x_2x_4-4x_3^3x_1\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-4x_4^3x_2+4x_4^2x_1x_3\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-8x_1x_2x_3x_4,\\
(u_2u_3)^2=(x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2-2x_1x_2+2x_3x_4)^2\\
~~~~~~=(4,0,0,0)+4x_1^2x_2^2+4x_3^2x_4^2\\
~~~~~~~+2x_1^2x_2^2-2x_1^2x_3^2-2x_1^2x_4^2-4x_1^3x_2+4x_1^2x_3x_4\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~-2x_2^2x_3^2-2x_2^2x_4^2+4x_2^2x_3x_4-4x_2^3x_1\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+2x_3^2x_4^2+4x_3^2x_1x_2-4x_3^3x_4\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-4x_4^3x_3+4x_4^2x_1x_2\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-8x_1x_2x_3x_4,\\
\therefore~~~B=u_1^2u_2^2+u_1^2u_3^2+u_2^2u_3^2\\
~~~~~~~~~~~~~=3(4,0,0,0)+2(2,2,0,0)-4(3,1,0,0)+4(2,1,1,0)-24(1,1,1,1).\\
ここで、(4,0,0,0) の計算のために a^4 を作る。\\
a^4=(x_1+x_2+x_3+x_4)^4\\
~~~~~=(4,0,0,0)+4(3,1,0,0)+6(2,2,0,0)+12(2,1,1,0)+24d.\\
\therefore~~~(4,0,0,0)=a^4-4(3,1,0,0)-6(2,2,0,0)-12(2,1,1,0)-24d.\\
(3,1,0,0) の計算のためにa^2b を作る。\\
a^2b=(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2b)b\\
~~~~=2b^2+(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)\\
~~~~=2b^2+x_1^3x_2+x_1^3x_3+x_1^3x_4+x_1^2x_2x_3+x_1^2x_2x_4+x_1^2x_3x_4\\
~~~~~~~~+x_2^3x_1+x_2^3x_3+x_2^3x_4+x_2^2x_1x_3+x_2^2x_1x_4+x_2^2x_3x_4\\
~~~~~~~~+x_3^3x_1+x_3^3x_2+x_3^3x_4+x_3^2x_1x_2+x_3^2x_1x_4+x_3^2x_2x_4\\
~~~~~~~~+x_4^3x_1+x_4^3x_2+x_4^3x_3+x_4^2x_1x_2+x_4^2x_1x_3+x_4^2x_2x_3\\
~~~~~=(3,1,0,0)+(2,1,1,0)+2b^2.\\
\therefore~~~(3,1,0,0)=a^2b-(2,1,1,0)-2b^2.\\
(2,2,0,0) の計算のためにb^2 を作る。\\
b^2=(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)^2\\
~~~=(2,2,0,0)\\
~~~+2x_1^2x_2x_3+2x_1^2x_2x_4+2x_2^2x_1x_3+2x_2^2x_1x_4+2x_1x_2x_3x_4\\
~~~~~~~~~~~~~~~+2x_1^2x_3x_4+2x_3^2x_1x_2+2x_12x_2x_3x_4+2x_3^2x_1x_4\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+2x_1x_2x_3x_4+2x_4^2x_1x_2+2x_4^2x_1x_3\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+2x_2^2x_3x_4+2x_3^2x_2x_4\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+2x_4^2x_2x_3\\
~~~=(2,2,0,0)+2(2,1,1,0)+6d.\\
\therefore~~~(2,2,0,0)=b^2-2(2,1,1,0)-6d.\\
(2,1,1,0) の計算のために(-a)(-c) を作る。\\
(-a)(-c) =(x_1+x_2+x_3+x_4)(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)\\
~~~~~~=x_1^2x_2x_3+x_1^2x_2x_4+x_1^2x_3x_4+x_1x_2x_3x_4\\
~~~~~~+x_2^2x_1x_3+x_2^2x_1x_4+x_2^2x_3x_4+x_1x_2x_3x_4\\
~~~~~~+x_3^2x_1x_2+x_3^2x_1x_4+x_3^2x_2x_4+x_1x_2x_3x_4\\
~~~~~~+x_4^2x_1x_2+x_4^2x_1x_3+x_4^2x_2x_3+x_1x_2x_3x_4\\
~~~~~=(2,1,1,0)+4d.\\
\therefore~~~(2,1,1,0)=ac-4d.\\
\therefore~~~(2,2,0,0)=b^2-2(2,1,1,0)-6d\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~=b^2-2(ac-4d)-6d\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~=b^2-2ac+2d.\\
\therefore~~~(3,1,0,0)=a^2b-(2,1,1,0)-2b^2\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~=a^2b-(ac-4d)-2b^2\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~=a^2b-2b^2-ac+4d.\\
\therefore~~~(4,0,0,0)=a^4-4(3,1,0,0)-6(2,2,0,0)-12(2,1,1,0)-24d\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~=a^4-4(a^2b-2b^2-ac+4d)\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-6(b^2-2ac+2d)\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-12(ac-4d)\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-24d\\
~~~~~~~~~~~~~~~~=a^4-4a^2b+2b^2+4ac-4d.\\
\therefore~~~B=u_1^2u_2^2+u_1^2u_3^2+u_2^2u_3^2\\
~~~~~~~~~~~=3(4,0,0,0)+2(2,2,0,0)-4(3,1,0,0)+4(2,1,1,0)-24(1,1,1,1)\\
~~~~~~~~~~~=3(a^4-4a^2b+2b^2+4ac-4d)\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+2(b^2-2ac+2d)\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~-4(a^2b-2b^2-ac+4d)\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+4(ac-4d)\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-24d\\
~~~~~~~~~~=3a^4-16a^2b+16b^2+16ac-64d.~~~~（解おわり）\\
\end{math}
\end{question}
\begin{question}\label{B の計算}
\begin{math}
C=u_1u_2u_3=-a^3+4ab-8c\\
を示せ。\\
解\\
C=u_1u_2u_3\\
~=(x_1+x_2-x_3-x_4)(x_1-x_2+x_3-x_4)u_3\\
~=(x_1x_1-x_1x_2+x_1x_3-x_1x_4\\
~+x_2x_1-x_2x_2+x_2x_3-x_2x_4\\
~-x_3x_1+x_3x_2-x_3x_3+x_3x_4\\
~-x_4x_1+x_4x_2-x_4x_3+x_4x_4)u_3\\
~=(x_1^2-x_2^2-x_3^2+x_4^2-2x_1x_4+2x_2x_3)(x_1+x_2-x_3+x_4)\\
~=x_1^3-x_2^2x_1-x_3^2x_1+x_4^2x_1~~~~-2x_1^2x_4+2x_1x_2x_3\\
~-x_1^2x_2+x_2^3+x_3^2x_2-x_4^2x_2~~~~+2x_1x_2x_4-2x_2^2x_3\\
~-x_1^2x_3+x_2^2x_3+x_3^3-x_4^2x_3~~~~+2x_1x_3x_4-2x_3^2x_2\\
~+x_1^2x_4-x_2^2x_4-x_3^2x_4+x_4^3~~~~-2x_4^2x_1+2x_2x_3x_4\\
~=(3,0,0,0)-(2,1,0,0)+2(1,1,1,0).\\
(3,0,0,0) の計算のために(-a)^3 を作る。\\
(-a)^3=(x_1+x_2+x_3+x_4)^3\\
~~~~~=(3,0,0,0)+3(2,1,0,0)+6(1,1,1,0).\\
\therefore~~~(3,0,0,0)=(-a)^3-3(2,1,0,0)-6(-c)\\
(2,1,0,0) の計算のために(-a)b を作る。\\
(-a)b=(x_1+x_2+x_3+x_4)(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)\\
~~~=x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1^2x_4+x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4\\
~~~+x_1x_2^2+x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_2^2x_3+x_2^2x_4+x_2x_3x_4\\
~~~+x_1x_2x_3+x_1x_3^2+x_1x_3x_4+x_2x_3^2+x_2x_3x_4+x_3^2x_4\\
~~~+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_1x_4^2+x_2x_3x_4+x_2x_4^2+x_3x_4^2\\
~~=(2,1,0,0)+3(1,1,1,0).\\
\therefore~~~(2,1,0,0)=(-a)b+3c.\\
\therefore~~~(3,0,0,0)=(-a)^3-3(2,1,0,0)-6(-c)\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~=(-a)^3-3(-ab+3c)-6(-c)\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~=-3a^3+3ab-3c.\\
\therefore~~~C=(3,0,0,0)-(2,1,0,0)+2(1,1,1,0).\\
~~~~~~~~~~~~=-3a^3+3ab-3c-(-ab+3c)+2(-c)\\
~~~~~~~~~~~~=-a^3+4ab-8c.~~~~~（解おわり）\\
\end{math}
\end{question}
\begin{question}\label{4次方程式例題}
\begin{math}
次の4次方程式を解け。\\
(1-i)x^4+(-12-2i)x^3+(13+37i)x^2+(48-36i)x+(-38-34i)=0\\
解~~~両辺を(1-i) で割って、最高次の係数を1にする。\\
x^4-(5+7i)x^3+(-12+25i)x^2-(-42-6i)x+(-2-36i)=0\\
~~~a=5+7i,~~~b=-12+25i,~~~c=-42-6i,~~~d=-2-36i.\\
A, B, C, C^2 を計算する。\\
A=3a^2-8b=24+10i,\\
B=3a^4-16a^2b+16b^2+16ac-64d.=164+480i,\\
C=-a^3+4ab-8c=-6-30i,\\
C^2=-864+360i.\\
次の3次方程式を解く。\\
x^3-(24+10i)x^2+(164+480i)x-(-864+360i)=0.\\
解いた3根をu_1^2, u_2^2, u_3^2 とおいて、\\
u_1^2=24-10i, u_2^2=18i, u_3^2=2i.\\
\therefore ~~~u_1=5-i, u_2=3+3i, u_3=1+i.\\
x_1 から x_8 の式に代入して、\\
x_1=3.5+2.5i, x_5=3+2i, x_6=2+i, x_2=1.5+0.5i,\\
x_7=1+3i, x_3=0.5+2.5i, x_4=-0.5+1.5i, x_8=-1+i.\\
これらを原方程式に代入する。\\
f(x_1)=15.75+20.25i, f(x_5)=0+0i, f(x_6)=0+0i,f(x_2)=9.75-9.75i,\\
f(x_7)=0+0i,f(x_3)=-11.25+2.25i,f(x_4)=-14.25-12.75i,f(x_8)=0+0i.\\
従って、次の4個が根。\\
x_5=3+2i, x_6=2+i, x_7=1+3i, x_8=-1+i.~~~~（解おわり）\\
\end{math}
\end{question}
\end{document}