\documentclass[b5paper,10pt]{jarticle}
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\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\setcounter{page}{1}
\begin{document}
\begin{math}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二次曲線の極座標表示\\[0.2cm]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~能美武功~~~
（平成１６年１１月１５日）\\[0.2cm]
§1~~楕円の式の作り方とその極座標表示\\[0.2cm]
問~~二つの焦点からの距離の和が一定である点の軌跡を楕円という。\\[0.2cm]
焦点を~(-c,0),~(c,0)~とし、これらからの距離の和を~2a~(a>c)~と\\[0.2cm]
した時、この楕円の式を求めよ。\\[0.2cm]
解\\
~~\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\\[0.2cm]
\sqrt{(x+c)^2+y^2}=-\sqrt{(x-c)^2+y^2}+2a\\[0.2cm]
~~~~~両辺を二乗。\\[0.2cm]
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2\\[0.2cm]
4cx-4a^2=-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\[0.2cm]
a^2-cx=a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\[0.2cm]
~~~~~両辺を二乗。\\[0.2cm]
a^4-2ca^2x+c^2x^2=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)\\[0.2cm]
(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\\[0.2cm]
\displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{x^2}{a^2}+
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{y^2}{(a^2-c^2)}=1\\[0.2cm]
a^2-c^2=b^2~とおくと、\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{x^2}{a^2}+
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{y^2}{b^2}=1~~~~~~~~~~~~~解おわり\\[0.2cm]
\\
問\\
楕円~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{x^2}{a^2}+
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{y^2}{b^2}=1~~のグラフを描け。\\[0.2cm]
解\\
y~軸を切るところは、~x=0~を代入して、y=\pm b\\[0.2cm]
x~軸を切るところは、~y=0~を代入して、x=\pm a\\[0.2cm]
以下省略。~~~~~~~~解おわり。\\[0.2cm]
\\
問\\
楕円~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{x^2}{a^2}+
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{y^2}{b^2}=1~~(a>b)~の焦点の座標を求めよ。\\[0.2cm]
解\\
a^2-b^2=c^2\\[0.2cm]
\therefore~~~焦点の座標は~(\pm \sqrt{a^2-b^2},~0)~~~~
解おわり。\\[0.2cm]
\\
問\\
楕円~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{x^2}{a^2}+
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{y^2}{b^2}=1~~(a>b)~\\[0.2cm]
の焦点の座標は前問の結果から
(\pm c,0)~
（ここで、c=\sqrt{a^2-b^2}）~であるが、\\[0.2cm]
この楕円を左に~c~平行移動した楕円\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{(x+c)^2}{a^2}+
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{y^2}{b^2}=1 \\[0.2cm]
の、極座標表示を求めよ。\\[0.2cm]
解\\[0.2cm]
b^2(x+c)^2+a^2x^2=a^2b^2\\[0.2cm]
x=r\cos \theta,~y=r\sin \theta~を代入して、\\[0.2cm]
b^2(r\cos \theta+c)^2+a^2r^2 \sin^2 \theta=a^2b^2\\[0.2cm]
(a^2\sin^2 \theta+b^2\cos^2 \theta)r^2
+2(b^2c\cos \theta)r+b^2(c^2-a^2)=0\\[0.2cm]
(a^2-a^2\cos^2 \theta+b^2\cos^2 \theta)r^2
+2(b^2c\cos \theta)r-b^4=0\\[0.2cm]
(a^2-c^2\cos^2 \theta)r^2+2(b^2c\cos \theta)r-b^4=0\\[0.2cm]
D/4=(b^2c\cos \theta)^2+b^4(a^2-c^2\cos^2 \theta)
=a^2b^4\\[0.2cm]
\therefore~~~r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{-b^2c\cos \theta \pm
ab^2}{a^2-c^2\cos^2 \theta}\\[0.2cm]
r~はマイナスにはなりえないので、\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{-b^2c\cos \theta+ab^2}
{a^2-c^2\cos^2 \theta}=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{b^2}
{a+c\cos \theta}~~~~~~~~解おわり\\[0.2cm]
問\\
楕円~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{x^2}{a^2}+
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{y^2}{b^2}=1~~(a>b)~\\[0.2cm]
の焦点の座標は前前問の結果から
(\pm c,0)~
（ここで、c=\sqrt{a^2-b^2}）~であるが、\\[0.2cm]
この楕円を右に~c~平行移動した楕円\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{(x-c)^2}{a^2}+
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{y^2}{b^2}=1 \\[0.2cm]
の、極座標表示を求めよ。\\[0.2cm]
解\\[0.2cm]
前問と同様の計算により、\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{b^2}
{a-c\cos \theta}~~~~~~~~~解おわり\\[0.2cm]
\\
注意１~~~上の答の~r~の表示の分子、分母を~a~で割って、\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{b^2/a} {1\pm c/a\cos \theta}\\[0.2cm]
b^2/a=l,~ c/a=e\\[0.2cm]
とおけば、\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{l} {1\pm e\cos \theta}\\[0.2cm]
と書ける。\\[0.2cm]
注意２~~~\\
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{l} {1+ e\cos \theta}\\[0.2cm]
のときは、楕円の右側の焦点が原点~(0,0)~にあり、\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{l} {1- e\cos \theta}\\[0.2cm]
のときは、楕円の左側の焦点が原点~(0,0)~にある。\\[0.2cm]
注意３~~~\\
極座標表示におけるこの場合（楕円の場合）では、~-1<e<1~となる。\\[0.2cm]
（-1<c/a<1~であるから。）\\[0.2cm]
\\
§２~~双曲線の式の作り方とその極座標表示\\[0.2cm]
問~~二つの焦点からの距離の差が一定である点の軌跡を双曲線という。\\[0.2cm]
焦点を~(-c,0),~(c,0)~とし、これらからの距離の和を~2a~(a<c)~と\\[0.2cm]
した時、この双曲線の式を求めよ。\\[0.2cm]
解\\
~~\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\\[0.2cm]
\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}+2a\\[0.2cm]
~~~~~両辺を二乗。\\[0.2cm]
(x+c)^2+y^2=4a^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2\\[0.2cm]
4cx-4a^2=4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\[0.2cm]
-a^2+cx=a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\[0.2cm]
~~~~~両辺を二乗。\\[0.2cm]
a^4-2ca^2x+c^2x^2=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)\\[0.2cm]
(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\\[0.2cm]
\displaystyle\genfrac{}{}{0.5pt}{}{x^2}{a^2}-
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{y^2}{(c^2-a^2)}=1\\[0.2cm]
c^2-a^2=b^2~とおくと、\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{x^2}{a^2}-
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{y^2}{b^2}=1~~~~~~~~~~~~~解おわり\\[0.2cm]
\\
問\\
双曲線~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{x^2}{a^2}-
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{y^2}{b^2}=1~~(a>b)~\\[0.2cm]
の焦点の座標は前問の結果から
(\pm c,0)~
（ここで、c=\sqrt{a^2+b^2}）~であるが、\\[0.2cm]
この双曲線を左に~c~平行移動した双曲線\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{(x+c)^2}{a^2}-
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{y^2}{b^2}=1 \\[0.2cm]
の、極座標表示を求めよ。\\[0.2cm]
解\\[0.2cm]
b^2(x+c)^2-a^2x^2=a^2b^2\\[0.2cm]
x=r\cos \theta,~y=r\sin \theta~を代入して、\\[0.2cm]
b^2(r\cos \theta+c)^2-a^2r^2 \sin^2 \theta=a^2b^2\\[0.2cm]
(-a^2\sin^2 \theta+b^2\cos^2 \theta)r^2
+2(b^2c\cos \theta)r+b^2(c^2-a^2)=0\\[0.2cm]
(-a^2+a^2\cos^2 \theta+b^2\cos^2 \theta)r^2
+2(b^2c\cos \theta)r+b^4=0\\[0.2cm]
(-a^2+c^2\cos^2 \theta)r^2+2(b^2c\cos \theta)r+b^4=0\\[0.2cm]
D/4=(b^2c\cos \theta)^2-b^4(-a^2+c^2\cos^2 \theta)
=a^2b^4\\[0.2cm]
\therefore~~~r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{-b^2}{a+c\cos\theta}
または、~ r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{-b^2}
{-a+c\cos^2 \theta}~~~~~~~~解おわり\\[0.2cm]
問~~~上の二つの極座標表示は、どちらが右の枝でどちらが左の枝か。\\[0.2cm]
解~~~\theta=\pi~を代入して、\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{-b^2}{a+c\cos\theta}~のとき、\\[0.2cm]
r= \genfrac{}{}{0.5pt}{}{-(c-a)(c+a)}{a-c}=a+c\\[0.2cm]
即ち、左の枝。\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{-b^2}{-a+c\cos\theta}~のとき、\\[0.2cm]
r= \genfrac{}{}{0.5pt}{}{-(c-a)(c+a)}{-a-c}=c-a\\[0.2cm]
即ち右の枝。~~~~~~~~~~~~解おわり\\[0.2cm]
問~~~上の二つの極座標表示において、分子分母を~a~で割り、\\[0.2cm]
b^2/a=l,~c/a=e~とおくと、左の枝は、\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{l}{-1-e\cos\theta}\\[0.2cm]
右の枝は、\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{l}{1-e\cos\theta}\\[0.2cm]
と表されるが、おのおの、グラフの存在する角度の範囲を求めよ。\\[0.2cm]
解~~~左の枝は、~r \geqq 0~を解いて、\\[0.2cm]
-1-c/a\cos \theta \geqq 0\\
~~~~~~\cos \theta \leqq -a/c\\
~~~~~-\pi \leqq \theta \leqq -\cos^{-1}(-a/c)~~
or~~\cos^{-1}(-a/c) \leqq \theta \leqq \pi\\
右の枝は、~r \geqq 0~を解いて、\\[0.2cm]
1-c/a\cos \theta \geqq 0\\
~~~~~~\cos \theta \leqq a/c\\
~~~~~-\pi \leqq \theta \leqq -\cos^{-1}(a/c)~~
or~~\cos^{-1}(a/c) \leqq \theta \leqq \pi~~~~~~~解おわり\\
問\\
双曲線~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{x^2}{a^2}-
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{y^2}{b^2}=1~~(a>b)~\\[0.2cm]
の焦点の座標は
(\pm c,0)~
（ここで、c=\sqrt{a^2+b^2}）~であった。\\[0.2cm]
この双曲線を右に~c~平行移動した双曲線\\[0.2cm]
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{(x-c)^2}{a^2}-
\genfrac{}{}{0.5pt}{}{y^2}{b^2}=1 \\[0.2cm]
の、極座標表示を求めよ。\\[0.2cm]
解\\[0.2cm]
さっきと同様の計算を行い、\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{l}{1+e\cos \theta}
~~~or~~~\genfrac{}{}{0.5pt}{}{l}{-1+e\cos \theta}\\[0.2cm]
ただし、~~ b^2/a=l,~c/a=e~~~~~~~~~~~~ 解おわり\\[0.2cm]
問~~~上の二つの極座標表示は、どちらが右の枝でどちらが左の枝か。\\[0.2cm]
解\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{l}{1+e\cos \theta}~~は左の枝。\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{l}{-1+e\cos \theta}~~は右の枝。
~~~~~~~~~~解おわり\\[0.2cm]
問~~~左の枝、右の枝のグラフの存在する角度の範囲を求めよ。\\[0.2cm]
解\\[0.2cm]
左の枝~~~~~~-\cos^{-1}(-c/a) \leqq \cos^{-1}(-c/a)\\[0.2cm]
右の枝~~~~~~-\cos^{-1}(c/a) \leqq \cos^{-1}(c/a)
~~~~~~~~~~~~~~~~解おわり\\[0.2cm]
注意１~~~上の極座標表示において、~e>1~に注意。\\[0.2cm]
(~~\because~~~~ c/a>1)\\[0.2cm]
\\
§３~~放物線の式の作り方とその極座標表示\\[0.2cm]
問~~一つの焦点からと、準線からの距離が等しい点の軌跡を放物線という。\\[0.2cm]
焦点を~(0,0)~とし、準線を~x=c~としたときの放物線の式を求めよ。\\[0.2cm]
解\\[0.2cm]
\sqrt{x^2+y^2}=c-x\\[0.2cm]
x^2+y^2=x^2-2cx+c^2\\[0.2cm]
y^2+2cx-c^2=0~~~~~~~~~~~~~解おわり\\[0.2cm]
問~~~上の放物線を極座標表示せよ。\\[0.2cm]
x=r\cos \theta,~y=r\sin \theta~を代入して、\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{-c\cos \theta \pm c}{\sin^2 \theta}\\[0.2cm]
r>0~~の方をとって、\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{c}{1+\cos \theta}~~~~~~解おわり\\[0.2cm]
問~~一つの焦点からと、準線からの距離が等しい点の軌跡を放物線という。\\[0.2cm]
焦点を~(0,0)~とし、準線を~x=-c~としたときの放物線の式を求めよ。\\[0.2cm]
解\\[0.2cm]
\sqrt{x^2+y^2}=c+x\\[0.2cm]
x^2+y^2=x^2+2cx+c^2\\[0.2cm]
y^2-2cx-c^2=0~~~~~~~~~~~~~解おわり\\[0.2cm]
問~~~上の放物線を極座標表示せよ。\\[0.2cm]
x=r\cos \theta,~y=r\sin \theta~を代入して、\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{c\cos \theta \pm c}{\sin^2 \theta}\\[0.2cm]
r>0~~の方をとって、\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{c}{1-\cos \theta}~~~~~~解おわり\\[0.2cm]
\\
§４~~二次曲線の極座標表示のまとめ\\[0.2cm]
以上から、焦点を原点（0,0）に持ってくれば、二次曲線は\\[0.2cm]
極座標により、次のように表せることが分る。\\[0.2cm]
r=\genfrac{}{}{0.5pt}{}{l}{1+e\cos \theta}\\[0.2cm]
（但し、双曲線の場合は、原点の周囲を廻りこむような軌跡を\\[0.2cm]
描く枝を選ぶ。原点を廻りこまない軌跡は上の分母の~1~が\\[0.2cm]
-1~となる。）\\[0.2cm]
e~の大きさで分類すると、下記のようになる。\\[0.2cm]
\\
e<-1~~~~~右の焦点（これが原点）を廻る双曲線。\\[0.2cm]
e=-1~~~~~焦点が右（これが原点）で、準線が左にある放物線。\\[0.2cm]
-1<e<0~~~~左側の焦点（これが原点）をまわる楕円。\\[0.2cm]
e=0~~~~~~中心が原点である円。\\[0.2cm]
0<e<1~~~~~右側の焦点（これが原点）をまわる楕円。\\[0.2cm]
e=1~~~~~~~焦点が左（これが原点）で、準線が右にある放物線。\\[0.2cm]
1<e~~~~~~左の焦点（これが原点）を廻る双曲線。\\[0.2cm]
\\
まとめ、終り。\\
\end{math}
\end{document}